將數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的思想和方法融入大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)

韓 明

（福建工程學(xué)院數(shù)理系，福州 350108）

將數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的思想和方法融入大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)

韓 明

（福建工程學(xué)院數(shù)理系，福州 350108）

大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)注重理論聯(lián)系實(shí)際，注重?cái)?shù)學(xué)思想和方法的講授，強(qiáng)調(diào)應(yīng)用案例中融入數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)思想的新教學(xué)方法.改革課堂教學(xué)方法，探索新的教學(xué)模式，加強(qiáng)學(xué)生的實(shí)踐性教學(xué)環(huán)節(jié)，培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用和創(chuàng)新能力.最后，本文給出了幾個(gè)例子顯示了數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)與大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)結(jié)合的效果.

大學(xué)數(shù)學(xué)，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，教學(xué)改革，實(shí)踐，創(chuàng)新

1 引 言

傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)課程教學(xué)方法是老師講、學(xué)生練.這種模式注重培養(yǎng)學(xué)生進(jìn)行精密的計(jì)算、嚴(yán)密的邏輯推理能力，而忽視了對(duì)學(xué)生主動(dòng)思考、自主創(chuàng)新能力的培養(yǎng).在這種教學(xué)模式下，學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的認(rèn)識(shí)也僅是停留在記公式、做計(jì)算題和證明題上.這與當(dāng)前社會(huì)對(duì)科技人才的培養(yǎng)中數(shù)學(xué)素質(zhì)和能力的要求相差甚遠(yuǎn).從上世紀(jì)90年代中期開(kāi)始，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)作為大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)改革的產(chǎn)物在國(guó)內(nèi)高等院校誕生，它以與傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教學(xué)不同的方式在大學(xué)數(shù)學(xué)教育中引起廣泛的興趣.

1989年，著名的科學(xué)家錢(qián)學(xué)森教授在中國(guó)數(shù)學(xué)會(huì)教育與科研座談會(huì)上提出：“電子計(jì)算機(jī)的出現(xiàn)對(duì)數(shù)學(xué)科學(xué)的發(fā)展產(chǎn)生了深刻的影響，大學(xué)理工科的數(shù)學(xué)課程是不是需要改革一番？”

1992年，美國(guó)工業(yè)與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)會(huì)的一篇論文就指出：“一切科學(xué)與工程技術(shù)人員的教育必須包括愈來(lái)愈多的數(shù)學(xué)和計(jì)算機(jī)科學(xué)的內(nèi)容.數(shù)學(xué)建模和相伴的計(jì)算正在成為工程設(shè)計(jì)中的關(guān)鍵工具.”美國(guó)科學(xué)、工程和公共事業(yè)政策委員會(huì)在一份報(bào)告中曾指出：“今天，在科學(xué)技術(shù)中最為有用的領(lǐng)域就是數(shù)值分析與數(shù)學(xué)建模.”所有這些思想都與數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)所包含的內(nèi)容密切相關(guān).

周遠(yuǎn)清（前教育部副部長(zhǎng)）、姜啟源發(fā)表在2006年1月11日《光明日?qǐng)?bào)》上的文章《數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽實(shí)現(xiàn)了什么？》指出：十幾年來(lái)在我國(guó)開(kāi)展的“全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽”的實(shí)踐已經(jīng)證實(shí)了數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽至少實(shí)現(xiàn)了以下兩點(diǎn)：（1）提高了學(xué)生的綜合素質(zhì)；（2）推動(dòng)了高校教育改革.

實(shí)踐證明：數(shù)學(xué)建模是連接“學(xué)”和“用”的一個(gè)橋梁.李大潛院士提出：“把數(shù)學(xué)建模的思想和方法融入到大學(xué)的主干數(shù)學(xué)課程中去.”文獻(xiàn)［1］和［2］已經(jīng)做了這方面的嘗試工作.目前，多數(shù)專(zhuān)業(yè)的主干數(shù)學(xué)課程主要有《高等數(shù)學(xué)》、《線(xiàn)性代數(shù)》和《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》，而數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)是連接這三門(mén)課程與數(shù)學(xué)建模（Mathematical Modelling）的一個(gè)橋梁.因此仿照李大潛院士的說(shuō)法，我們可以提出：“把數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的思想和方法融入到大學(xué)的主干數(shù)學(xué)課程中去.”文獻(xiàn)［3］對(duì)數(shù)學(xué)類(lèi)專(zhuān)業(yè)的課程，已經(jīng)做了這方面的嘗試工作；本文將要對(duì)大學(xué)數(shù)學(xué)類(lèi)課程，做這方面的嘗試工作.

21世紀(jì)對(duì)各類(lèi)專(zhuān)業(yè)技術(shù)人才的培養(yǎng)中數(shù)學(xué)素質(zhì)和能力的要求越來(lái)越高，我們培養(yǎng)的人才應(yīng)具有帶專(zhuān)業(yè)背景的實(shí)際問(wèn)題建立數(shù)學(xué)模型的能力，這樣才能在實(shí)際工作中發(fā)揮更大的創(chuàng)造性.把數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的思想和方法融入到大學(xué)的主干數(shù)學(xué)課程中去，正是為培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用計(jì)算機(jī)研究、學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的能力，鍛煉學(xué)生動(dòng)手能力，進(jìn)而提高學(xué)生的創(chuàng)造能力.

2 什么是數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)

大家都知道物理實(shí)驗(yàn)和化學(xué)實(shí)驗(yàn)，那么什么是數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)?zāi)兀块L(zhǎng)期以來(lái)，人們對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)的認(rèn)識(shí)就是概念、定理、公式和解題.在傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中，教師在黑板上講數(shù)學(xué)，而學(xué)生則在課堂上聽(tīng)數(shù)學(xué)和在紙上做題目.這樣，對(duì)多數(shù)學(xué)生而言，數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)探索活動(dòng)沒(méi)有能夠真正開(kāi)展起來(lái)，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性也沒(méi)有真正被調(diào)動(dòng)出來(lái).

隨著計(jì)算機(jī)的普及和發(fā)展，改變了數(shù)學(xué)只用紙和筆進(jìn)行研究的傳統(tǒng)方式，特別是利用計(jì)算機(jī)成功地解決了“四色問(wèn)題”對(duì)數(shù)學(xué)領(lǐng)域產(chǎn)生了巨大的影響，盡管有些數(shù)學(xué)家不承認(rèn)這是一個(gè)證明（即嚴(yán)格的按數(shù)學(xué)邏輯推理得到的證明），但是問(wèn)題的最終解決還是被數(shù)學(xué)界接受了.20世紀(jì)70年代末，我國(guó)數(shù)學(xué)家吳文俊從中國(guó)傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)機(jī)械化思想出發(fā)，創(chuàng)立了幾何定理機(jī)器（計(jì)算機(jī)）證明的“吳方法”，實(shí)現(xiàn)了利用計(jì)算機(jī)進(jìn)行推理證明的突破，獲得了國(guó)內(nèi)外學(xué)術(shù)界的高度稱(chēng)贊與廣泛重視，他因此獲得我國(guó)首屆重大科技成果獎(jiǎng).

隨著科學(xué)技術(shù)的進(jìn)步，尤其是計(jì)算機(jī)技術(shù)的快速發(fā)展，數(shù)學(xué)對(duì)當(dāng)代科學(xué)乃至整個(gè)社會(huì)的影響和作用日益顯著.數(shù)學(xué)成為科學(xué)研究的主要支柱，其方法及計(jì)算已經(jīng)與理論研究和科學(xué)實(shí)驗(yàn)成為科學(xué)研究中不可缺少的手段.同時(shí)現(xiàn)代數(shù)學(xué)幾乎滲透到包括自然科學(xué)、經(jīng)濟(jì)管理以至人文社會(huì)科學(xué)在內(nèi)的所有學(xué)科和應(yīng)用領(lǐng)域中，通過(guò)建立數(shù)學(xué)模型（Mathematical Model）、應(yīng)用數(shù)學(xué)理論和方法并結(jié)合計(jì)算機(jī)來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題已成為極其普遍的模式.因此，社會(huì)對(duì)科技人才的培養(yǎng)中的數(shù)學(xué)素質(zhì)和能力已經(jīng)提出了更高的要求.然而傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)課程對(duì)此反映不足，不能體現(xiàn)數(shù)學(xué)在科技和現(xiàn)實(shí)生活中所起的重要作用.因此出現(xiàn)了像李大潛院士指出的那種“長(zhǎng)期存在的矛盾現(xiàn)象：一方面數(shù)學(xué)很有用，另一方面學(xué)生學(xué)了數(shù)學(xué)以后卻不會(huì)用.”

關(guān)于什么是數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，目前還沒(méi)有一個(gè)統(tǒng)一的定義.所謂數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)（Mathematical experiment），是在現(xiàn)代教育理論（特別是建構(gòu)主義學(xué)習(xí)理論）指導(dǎo)下，旨在引導(dǎo)學(xué)生借助數(shù)學(xué)軟件理解抽象的數(shù)學(xué)理論、自主探索和研究數(shù)學(xué)問(wèn)題以及數(shù)學(xué)的應(yīng)用問(wèn)題的實(shí)踐過(guò)程（文獻(xiàn)［4］）.

建構(gòu)主義學(xué)習(xí)理論強(qiáng)調(diào)以學(xué)生為中心，要求學(xué)生由外部刺激的被動(dòng)接受者和知識(shí)的灌輸對(duì)象轉(zhuǎn)變?yōu)樾畔⒓庸さ闹黧w、知識(shí)意義的主動(dòng)建構(gòu)者；教師由知識(shí)的傳授者、灌輸者轉(zhuǎn)變?yōu)閷W(xué)生主動(dòng)建構(gòu)意義的幫助者、促進(jìn)者.計(jì)算機(jī)技術(shù)的普及，為實(shí)現(xiàn)建構(gòu)主義的學(xué)習(xí)環(huán)境提供了理想的條件.可見(jiàn)在建構(gòu)主義學(xué)習(xí)環(huán)境下，教師和學(xué)生的地位、作用與傳統(tǒng)教學(xué)相比已發(fā)生很大變化.這就意味著教師應(yīng)該在數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)中要采用全新的教學(xué)模式、全新的教學(xué)方法和教學(xué)設(shè)計(jì)思想.

學(xué)生憑借簡(jiǎn)單易學(xué)、高度集成化的數(shù)學(xué)軟件系統(tǒng)，能方便地對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題或?qū)嶋H應(yīng)用問(wèn)題進(jìn)行符號(hào)演算、數(shù)值計(jì)算和圖形分析，從而能夠提高數(shù)學(xué)實(shí)踐能力、培養(yǎng)探索精神，進(jìn)而在實(shí)踐和探索過(guò)程中提高學(xué)生的創(chuàng)造能力.數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)既然是實(shí)驗(yàn)，就要求學(xué)生多動(dòng)手、多上機(jī)、勤思考，在教師的指導(dǎo)下探索解決實(shí)際問(wèn)題的方法，在失敗與成功中獲得真知.

在提到數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)時(shí)，不能不提數(shù)學(xué)建模以及全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽.由教育部高教司和中國(guó)工業(yè)與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)會(huì)共同主辦的全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽，每年一次，十幾年來(lái)這項(xiàng)競(jìng)賽的規(guī)模以平均年增長(zhǎng)25%以上的速度發(fā)展.競(jìng)賽雖然發(fā)展得如此迅速，但是參加者畢竟還是很少一部分學(xué)生，要使它具有強(qiáng)大的生命力，必須與日常的教學(xué)活動(dòng)和教育改革相結(jié)合.十幾年來(lái)，在競(jìng)賽的推動(dòng)下許多高校相繼開(kāi)設(shè)了數(shù)學(xué)建模課程以及與此密切相關(guān)的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課程.另外怎樣在大學(xué)的主干數(shù)學(xué)課程中融入數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的思想，也是十分有意義的工作.

3 把數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的思想和方法融入到大學(xué)的主干數(shù)學(xué)課程

以下通過(guò)幾個(gè)例子，應(yīng)用MATLAB軟件，從幾個(gè)不同的側(cè)面看一下“數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的思想和方法融入到大學(xué)的主干數(shù)學(xué)課程”的效果.

如果用手工推導(dǎo)，得出這樣的結(jié)果需要繁雜、細(xì)致的工作，而且稍有不慎就可能得出錯(cuò)誤的結(jié)果.

通過(guò)例1我們看到，手工推導(dǎo)得出的結(jié)果的可信程度有時(shí)會(huì)受到懷疑.

例2 在《線(xiàn)性代數(shù)》課程中學(xué)習(xí)了求矩陣的行列式的方法，比如用代數(shù)余子式的方法可以把一個(gè)n階行列式問(wèn)題化簡(jiǎn)成n-1階行列式問(wèn)題，而n-1階行列式又可化簡(jiǎn)為n-2階行列式問(wèn)題，這樣用遞歸的方法可以最終化簡(jiǎn)成二階行列式求解問(wèn)題.因此可以得到結(jié)論，任意階矩陣的行列式都可以直接求出來(lái).

事實(shí)上，這個(gè)結(jié)論忽視了算法的計(jì)算復(fù)雜度問(wèn)題，這樣的算法計(jì)算量龐大，高達(dá)（n-1）（n＋1）！＋n.比如n＝20時(shí)，運(yùn)算次數(shù)為（n-1）（n＋1）！＋n＝9.707279012624794×1020（應(yīng)用MATLAB，執(zhí)行命令19＊factorial（21）＋20即可得到），相當(dāng)于在每秒億次的巨型機(jī)（如中國(guó)最快的銀河計(jì)算機(jī)）上3000年的計(jì)算量.考慮Hilbert矩陣

以下應(yīng)用MATLAB分別計(jì)算n＝10和n＝20時(shí)Hilbert矩陣的行列式和秩.

以上結(jié)果說(shuō)明n＝10和n＝20時(shí)Hilbert矩陣的行列式的值接近零，這也說(shuō)明高階Hilbert矩陣接近奇異矩陣.以上結(jié)果還說(shuō)明，雖然n＝10和n＝20時(shí)Hilbert矩陣都接近奇異矩陣，但它們都是滿(mǎn)秩矩陣，因此都是非奇異矩陣.

應(yīng)用MATLAB軟件，（i）畫(huà)出n個(gè)人中至少有兩個(gè)人生日相同的概率曲線(xiàn)（1≤n≤100）；（ii）對(duì)n＝10，20，30，40，50，60，70，80，計(jì)算n個(gè)人中至少有兩個(gè)人生日相同的概率.

解 （i）輸入命題

運(yùn)行結(jié)果見(jiàn)下表

n 10 20 30 40 50 60 70 80 pn 0.1169 0.4114 0.7063 0.8912 0.9704 0.99410.9992 0.9999

例4 若

解 （i）輸入命令x＝［0∶0.01∶2，2＋eps∶0.01∶5，5］；

運(yùn)行結(jié)果見(jiàn)圖2.

圖1 生日問(wèn)題的概率曲線(xiàn)圖

圖2 函數(shù)f（x）的區(qū)域填充圖

例1是符號(hào)演算問(wèn)題，例2，例3的（2）和例4的（2）是數(shù)值計(jì)算問(wèn)題，例3的（i）和例4的（i）是圖形分析問(wèn)題.應(yīng)該說(shuō)明，以上四個(gè)例子中的程序都已通過(guò)MATLAB7.0的運(yùn)行.

4 結(jié)束語(yǔ)

通過(guò)以上四個(gè)例子，我們從幾個(gè)不同的側(cè)面初步地領(lǐng)略了“把數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的思想和方法融入到大學(xué)的主干數(shù)學(xué)課程中去”的效果.同濟(jì)大學(xué)出版社出版了一套“大學(xué)數(shù)學(xué)”教材，包括《高等數(shù)學(xué)》，《線(xiàn)性代數(shù)》，《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》，《數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)》等，這套教材體現(xiàn)了“把數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的思想和方法融入到大學(xué)的主干數(shù)學(xué)課程中去”.關(guān)于進(jìn)一步需要研究的其他問(wèn)題［4，6］，還需要我們繼續(xù)努力探索.

［1］ 劉瓊蓀，鐘波.將數(shù)學(xué)建模思想融入工科“概率統(tǒng)計(jì)”教學(xué)中［J］.大學(xué)數(shù)學(xué)，2006，22（2）：152—154.

［2］ 黎彬，陳小強(qiáng)，李世貴.數(shù)學(xué)建模思想融入大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)研究與實(shí)踐［J］.重慶科技學(xué)院學(xué)報(bào)，2007，14（4）：171—172.

［3］ 張小紅.將數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的思想融入數(shù)學(xué)類(lèi)課程［C］∥大學(xué)數(shù)學(xué)課程報(bào)告論壇組委會(huì).大學(xué)數(shù)學(xué)課程報(bào)告論壇論文集2006.北京：高等教育出版社，2007：254—256.

［4］ 韓明，王家寶，李林.數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)（MATLAB版）［M］.上海：同濟(jì)大學(xué)出版社，2009.

［5］ 韓明.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)（第二版）［M］.上海：同濟(jì)大學(xué)出版社，2010.

［6］ 薛定宇，陳陽(yáng)泉.高等應(yīng)用數(shù)學(xué)問(wèn)題的MATLAB求解［M］.北京：清華大學(xué)出版社，2004.

Applying the Idea and Methods of Mathematical Experiment to the Teaching of College Mathematics

H AN Ming
（Department of Mathematics and Physics，F(xiàn)ujian University of Technology，F(xiàn)uzhou 350108，China）

In the teaching of college mathematic，teachers should combine theory with practice，focus on the teaching of mathematics ideas and methods and apply the idea of mathematical experiment in application cases.They should improve classroom teaching，exolore new teaching model and focus on students’practice to develop their abilities in application and innovation.Finally，this papre several examples are given，show that the effect of mathematical experiment to the teaching of the course of college mathematics.

college mathematic；mathematical experiment；teaching reformation；practice；innovation

G424.1

C

1672-1454（2011）04-0137-05

2008-09-05