一類Poisson分布的數(shù)學(xué)模型

范洪福

（上海理工大學(xué)理學(xué)院，上海 200093）

一類Poisson分布的數(shù)學(xué)模型

范洪福

（上海理工大學(xué)理學(xué)院，上海 200093）

詳細(xì)地建立了一種服從Poisson分布的隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)模型，并作了推廣.［關(guān)鍵詞］隨機(jī)變量；Poisson分布；二項(xiàng)分布；相互獨(dú)立

1 引 言

多年為本科學(xué)生講授《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》課程，我們積累了一些教學(xué)經(jīng)驗(yàn).此課程具有豐富的實(shí)際背景，應(yīng)用廣泛.在教學(xué)中，應(yīng)當(dāng)讓理論密切聯(lián)系實(shí)際問(wèn)題，盡量多介紹一些概率模型，分析隨機(jī)現(xiàn)象，讓學(xué)生深刻理解有關(guān)概念和方法，了解本課程豐富的背景，融會(huì)貫通，學(xué)以致用.

在概率論中，Poisson分布是一類極其重要的分布，背景特別豐富.這里，我們來(lái)建立一類服從Poisson分布的隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)模型.在課堂教學(xué)中，我們?cè)?jīng)多次介紹過(guò)此類模型，引起了學(xué)生們濃厚的興趣，從而增強(qiáng)了學(xué)習(xí)《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》課程的興趣，教學(xué)效果頗佳.

2 數(shù)學(xué)模型

我們學(xué)校所處的上海市軍工路是一條交通主干道中環(huán)線，交通繁忙，位于軍工路516號(hào)的學(xué)校大門口每天來(lái)往的汽車眾多.我們來(lái)考察一天內(nèi)經(jīng)過(guò)本校門口的汽車次數(shù)的分布情況.

用隨機(jī)變量X表示“一天內(nèi)經(jīng)過(guò)本校門口的汽車次數(shù)”.將一天24小時(shí)等分成m個(gè)時(shí)段，每個(gè)時(shí)段為5秒，每輛車在一個(gè)時(shí)段內(nèi)至多經(jīng)過(guò)本校門口一次.再用隨機(jī)變量Xi表示“第i個(gè)時(shí)段內(nèi)經(jīng)過(guò)本校門口的汽車次數(shù)”，i＝1，2，…，m，則

且X1，X2，…，Xm近似相互獨(dú)立.

先考慮Xi的分布.假設(shè)有可能經(jīng)過(guò)本校門口的汽車總數(shù)為N輛，在這N輛車中，離本校遠(yuǎn)近分布不同，有的離本校很近，有的較近，有的較遠(yuǎn)，有的很遠(yuǎn).在一個(gè)時(shí)段內(nèi)，它們經(jīng)過(guò)本校門口的概率不同.因此，按照距離遠(yuǎn)近，將全中國(guó)分解成n個(gè)區(qū)域，并設(shè)在第j個(gè)區(qū)域內(nèi)，共有tj輛車在一個(gè)時(shí)段內(nèi)有可能經(jīng)過(guò)本校門口，則有

現(xiàn)提出兩個(gè)假設(shè)條件：

（a）每輛車是否經(jīng)過(guò)本校門口相互獨(dú)立；

（b）對(duì)于屬于第j個(gè)區(qū)域內(nèi)的tj輛車，在一個(gè)時(shí)段（假設(shè)為第i個(gè)時(shí)段）內(nèi)每輛車經(jīng)過(guò)本校門口（記為事件Aij）的概率相等，記P（Aij）＝pij.

由于現(xiàn)在燃油、燃?xì)赓M(fèi)昂貴，如果汽車沒(méi)有事情不會(huì)經(jīng)過(guò)本校門口，條件（a）近似成立.由于已將全國(guó)區(qū)域進(jìn)行劃分，處于同一區(qū)域內(nèi)的汽車離本校遠(yuǎn)近相當(dāng)，它們經(jīng)過(guò)本校門口的概率大致相同，條件（b）成立.

現(xiàn)用隨機(jī)變量Yij表示“在第i個(gè)時(shí)段內(nèi)屬于第j個(gè)區(qū)域內(nèi)的tj輛車中經(jīng)過(guò)本校門口的汽車次數(shù)”，j＝1，2，…，n，則有

由條件（a），Yi1，Yi2，…，Yin近似相互獨(dú)立.

現(xiàn)在首先考慮Yij的分布.

對(duì)于屬于第j個(gè)區(qū)域內(nèi)的tj輛車而言，在5秒內(nèi)每輛車要么經(jīng)過(guò)本校門口（事件Aij），要么不經(jīng)過(guò)本校門口（事件￣Aij），而且相互獨(dú)立，故此為tj重Bernoulli試驗(yàn)，事件Aij發(fā)生的次數(shù)

顯然，這里的tj很大，tj≥10000；pij很小，pij＜0.1.根據(jù)［1］中Poisson定理，近似地有

這里λij＝tj·pij.由于Yi1，Yi2，…，Yin相互獨(dú)立，根據(jù)［1］中98頁(yè)介紹的Poisson分布的可加性，有

由于X1，X2，…，Xm相互獨(dú)立，再次利用Poisson分布的可加性，有

3 模型推廣

以上數(shù)學(xué)模型可以推廣到多種隨機(jī)現(xiàn)象，從而可知Poisson分布的普遍性.

A.考察一所大學(xué)一年內(nèi)發(fā)生的學(xué)生違紀(jì)處分次數(shù)Y.

若把“學(xué)生”比擬為“汽車”，“受到違紀(jì)處分”比擬為“經(jīng)過(guò)本校門口”，則可以類似地把一年時(shí)間等分成m個(gè)時(shí)段；把全校學(xué)生按照違紀(jì)概率的大小劃分成n個(gè)等級(jí).經(jīng)過(guò)類似的討論、分析，可以說(shuō)明隨機(jī)變量Y也服從Poisson分布.

B.考察一家經(jīng)營(yíng)機(jī)動(dòng)車輛強(qiáng)制保險(xiǎn)業(yè)務(wù)的保險(xiǎn)公司一個(gè)月內(nèi)理賠的次數(shù)Z.

若把“機(jī)動(dòng)車”比擬為“汽車”，“發(fā)生需要理賠的交通事故”比擬為“經(jīng)過(guò)本校門口”，則可以類似地把一個(gè)月時(shí)間分成m個(gè)時(shí)段；把購(gòu)買該保險(xiǎn)公司車輛強(qiáng)制保險(xiǎn)的機(jī)動(dòng)車按照發(fā)生需要理賠的交通事故的概率的大小劃分成n個(gè)等級(jí).經(jīng)過(guò)類似的討論、分析，可以說(shuō)明隨機(jī)變量Z也服從Poisson分布.

［1］ 盛驟，等.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)［M］.2版.北京：高等教育出版社，1989.

［2］ Milton J S，Mcteer P M，Corbet J J.Introduction to statistics［M］.Mc Graw-Hill Companies，1997.

A Kind of Mathematical Model of Poisson Distribution

FAN Hong-fu

（College of Science，University of Shanghai for Science ＆Technology，Shanghai 200093，China）

A mathematical model of Poisson distribution is constructed in detail，then it is generalized.

random variable；Poisson distribution；binomial distribution；mutually independent

O29

C

1672-1454（2011）04-0150-02

2008-10-20；

2009-05-18

上海市教委重點(diǎn)課程建設(shè)課題《數(shù)學(xué)物理方程》（2010年-2011年）資助項(xiàng)目