關(guān)于定積分微元法的一點(diǎn)補(bǔ)充

佘智君

（貴州大學(xué)理學(xué)院基礎(chǔ)教學(xué)部，貴州貴陽(yáng) 550003）

關(guān)于定積分微元法的一點(diǎn)補(bǔ)充

佘智君

（貴州大學(xué)理學(xué)院基礎(chǔ)教學(xué)部，貴州貴陽(yáng) 550003）

通過(guò)一個(gè)實(shí)例提出問(wèn)題，進(jìn)而給出微元法中推導(dǎo)微元及檢驗(yàn)微元表達(dá)式的簡(jiǎn)便方法.［關(guān)鍵詞］定積分；微元法；微分

1 引 言

《數(shù)學(xué)分析》和《高等數(shù)學(xué)》教材都介紹了微元法，應(yīng)用微元法可將一些幾何、物理等實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為定積分來(lái)求，而微元又是微元法的關(guān)鍵，能否合理選擇所求量的微元，關(guān)系到所求量的正確性，那么究竟如何選擇微元才能保證所取微元是合理的呢？學(xué)生經(jīng)常感到困惑，以致于他們只能模仿例題“機(jī)械地套用”微元法.在“微元法”中，我們經(jīng)常用直線段代替曲線段，以不變量代替變量，以均勻代替不均勻，那么是否直觀上近似的量都可以作為所求量的微元呢？我們先看下面的例子.

設(shè)曲線y＝f（x）＞0是［a，b］上的光滑曲線，求該曲線繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)曲面的面積.

在直觀上看，當(dāng)d x→0時(shí)，在［x，x＋d x］上切線段AB≈弧，直線段≈弧，那么切線段及直線段分別繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得小扁圓臺(tái)的側(cè)面積是否都可以作為所求旋轉(zhuǎn)曲面面積的微元d A呢？現(xiàn)記切線段＝d s，直線段＝d x.

圖1

同一旋轉(zhuǎn)曲面的面積，怎么會(huì)出現(xiàn)兩個(gè)不同結(jié)果呢？這其中之一一定有誤，問(wèn)題又出在哪呢？

2 微元法的條件及證明

2.1 一般地，若所求量U滿足下列條件：

（i）U是與某個(gè)變量x的變化區(qū)間［a，b］有關(guān)的量；

（ii）U對(duì)區(qū)間［a，b］具有可加性；

（iii）將區(qū)間［a，b］分成若干小區(qū)間，取其中任一小區(qū)間［x，x＋d x］，如果對(duì)應(yīng)于區(qū)間［x，x＋d x］的部分量ΔU能近似地表示為［a，b］上的一個(gè)連續(xù)函數(shù)在x處的函數(shù)值f（x）與d x的乘積，且ΔU＝f（x）d x＋o（d x），稱f（x）d x為量U的微元，記作：d U，即d U＝f（x）d x，則U＝f（x）d x.上述方法稱為定積分的微元法.

這時(shí)我們會(huì)提出以下問(wèn)題：

2.2 為什么ΔU＝f（x）d x＋o（d x）就有U＝f（x）d x？

關(guān)于該問(wèn)題，《數(shù)學(xué)分析》和《高等數(shù)學(xué)》教材都沒(méi)有作理論的論證，對(duì)此本文將作如下推導(dǎo)：

記U（x）＝U［a，x］，顯然U（a）＝0，U［a，b］＝U.

因?yàn)棣＝f（x）d x＋o（d x），所以由微分的定義有d U＝f（x）d x，于是U′（x）＝f（x），再由牛頓-萊布尼茨定理得

2.3 如何檢驗(yàn)ΔU＝f（x）d x＋o（d x）？

因?yàn)閒（x）是要求的連續(xù)函數(shù)，也就是說(shuō)U是未知的，所以要嚴(yán)格檢驗(yàn)ΔU＝f（x）d x＋o（d x）是非常困難的，對(duì)此給出如下命題：

命題 設(shè)f（x）在［a，b］上連續(xù)，U是一個(gè)與區(qū)間［a，b］有關(guān)的量，且U對(duì)區(qū)間［a，b］具有可加性，若對(duì)區(qū)間［a，b］上的任意小區(qū)間［x，x＋d x］有

其中M，m分別是f（x）在區(qū)間［x，x＋d x］的最大、最小值，則

該命題的（＊）式在許多實(shí)際問(wèn)題中是可直觀看出的，這樣它不僅給出了如何求微元中的連續(xù)函數(shù)f（x），而且還克服了ΔU＝f（x）d x＋o（d x）不可直接檢驗(yàn)的問(wèn)題.

3 總 結(jié)

因此第二種解法是錯(cuò)誤的，錯(cuò)誤的根源在于忽略了微元的條件ΔU＝f（x）d x＋o（d x），誤認(rèn)為只要是所求量的近似量就可作為它的微元，所以應(yīng)用微元法解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，要特別注意其條件ΔU＝f（x）d x＋o（d x），在教學(xué)中應(yīng)強(qiáng)調(diào)微元法的關(guān)鍵是根據(jù)實(shí)際問(wèn)題確定被積函數(shù)f（x），從而正確的寫(xiě)出所求量的微元，把教學(xué)生如何找所求量的微元作為重點(diǎn).

［1］ 同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)教研室.高等數(shù)學(xué)（上冊(cè)）［M］.4版.北京：高等教育出版社，2000.

［2］ 陳傳璋，金福臨，朱學(xué)炎，歐陽(yáng)光中.數(shù)學(xué)分析（上冊(cè)）［M］.2版.北京：高等教育出版社，1995.

［3］ 陳玉，賀秋林.微元法原理探究［J］.工科數(shù)學(xué)，2001，17（3）：95-96.

A Supplement on Differential Element Method of Definite Integral

SHE Zhi-jun
（Department of Basic Sciences，Guizhou University，Guiyang，550003，China）

A question is proposed by aconcrete example，and we propose simple method for the deriving and detection of the differential expression.

definite integral；method of differential element；differential

O172

C

1672-1454（2011）04-0176-03

2008-09-26