二階線性微分方程組解法研究

吳幼明， 馮寶儀

（佛山科學技術學院數學系，廣東佛山 528000）

二階線性微分方程組解法研究

吳幼明， 馮寶儀

（佛山科學技術學院數學系，廣東佛山 528000）

采用降階法和歐拉方法對一類二階線性微分方程組的求解進行了研究，并給出了當系數矩陣的特征根為三種不同情況（互異、共軛、二重根）時微分方程組的通解公式，并通過算例驗證了通解的正確性.

矩陣；微分方程組；線性無關；通解

很多工程技術問題的數學模型都是以微分方程組［1，2］的形式出現，所以對微分方程組的求解問題研究具有現實意義.

針對常系數微分方程組的解法研究，已有很多學者做了深入細致的工作，并得到很多有用的結論.但大部分的工作都是針對一階微分方程組的研究，如文獻［3，4］分別采用初等變換解法和消去法對一階微分方程組進行了求解；文獻［5，6，7］分別采用了遞推公式法，矩陣解法和初等解法對一階微分方程組的解法做了探討，并得到了通解公式；文獻［8］采用標準基解矩陣方法得到了復常系數一階微分方程組的通解公式，等等.而對高階微分方程組的研究文獻卻甚少，文獻［9］采用歐拉方法給出了一類二階微分方程組的通解公式，但該通解公式只適用于系數矩陣的6個特征根互異的情形.本文在文獻［9］的基礎上詳細討論了當系數矩陣的特征根為三種不同情況（互異、共軛、二重根）時的一類二階常系數齊次線性微分方程組的通解，并通過算例驗證了通解的正確性.本文的結論是文獻［9］的延續，因此更具有一般性，為高階微分方程組的研究提供了重要的參考資料.為了敘述的方便引入一些記號如下：

1 方程組的通解

對式（3）作變換f′1＝f3，f′2＝f4后，整理得

1.1 特征根為互異實根.

若式（6）解得的兩根不相等，則矩陣D的特征方程有四個互不相等的根.

當λ＝λ1時，解特征方程（D-λ1E4）ξ＝0，求出特征根λ1對應的特征向量ξ1，即

1.2 特征根為共軛復根.

此時易驗證得g1，g2是方程組（3）的解，且g1，g2線性無關.這就得到方程組（3）的兩個基解.

1.3 特征根為二重根.

2 算 例

2.1 特征根互異的情形.

2.2 特征根共軛的情形.

2.3 特征根兩根相等的情形.

3 結束語

本文利用降階法和歐拉方法，直接導出一類兩個未知函數的二階常系數線性齊次微分方程組的通解公式，該方法初等、實用.利用本文思想可推出三個及以上的未知函數的二階常系數線性齊次微分方程組的通解公式.

［1］ 吳幼明，羅旗幟，岳珠峰.考慮多參數分析薄壁箱梁剪滯效應的力學模型［J］.汕頭大學學報（自然科學版），2004，19（3）：27-32.

［2］ 吳幼明，羅旗幟，岳珠峰，熊稚軍.多因素分析薄壁曲線箱梁剪滯效應的力學模型［J］.中南公路工程，2007，32（3）：42-45.

［3］ 宋燕.常系數齊次線性微分方程組的初等變換解法［J］.遼寧師范大學學報（自然科學版），1995，18（1）：76-81.

［4］ 湯光宋.對用消去法解常系數線性微分方程組的注記［J］.撫州師專學報，1994，（3）：17-21.

［5］ 戴中林.常系數線性齊次微分方程組的遞推公式解法［J］.四川師范學院學報（自然科學版），1995，16（2）：158-160.

［6］ 曹玉平.一階線性常系數微分方程組的矩陣解法［J］.河北理工學院學報，2004，26（1）：104-107.

［7］ 唐爍.常系數線性非齊次微分方程組的初等解法［J］.安徽教育學院學報，2005，23（6）：15-17.

［8］ 鄧四清.復常系數線性齊次微分方程組的解法［J］.郴州師專學報（綜合版），1997，（3）：22-25.

［9］ 吳幼明，羅旗幟.一類二階常系數微分方程組的通解［J］.佛山科學技術學院學報（自然科學版），2002，20（2）：10-14.

Research the Solution of the Second Order Linear Differential Equations

WU You-ming， FENG Bao-yi
（Department of Mathematics，Foshan University，Foshan 528000，China）

Research the solution on one kind of the second order linear differential equations by the methods of reducing order and Euler’s eigenvalues.The general solution formulas of the differential equations are obtained when the characteristic root of coefficient matrix is different，conjugate or duplicate.Through some examples，the general solution formulas are validated.

matrix；differential equations；linear independence；general solution

O241.8

C

1672-1454（2011）04-0171-05

2008-09-16

國家自然科學基金資助項目（11026205）