有限元方法一致質量矩陣的理論分析與應用

胡 可

( 廣東科學技術職業學院 建筑工程與藝術設計學院，廣東 珠海 519090 )

0 引言

預應力問題的研究在工程領域得到廣泛應用[1-2].利用有限元方法[3-5]對預應力問題進行研究是有效的[6]，質量矩陣模式影響有限元分析的結果[7]，相對其他質量矩陣模式[8]，一致質量矩陣模式在有限元分析中實用更加廣泛，如對角線化的一致質量矩陣[9]、有限元一致質量矩陣迭代解[10]、全耦合梁單元的一致質量矩陣[11]等.一致質量矩陣既可用整體坐標表示，也可用局部坐標表示.盡管可以通過變換矩陣[12]達到統一，但對相對簡單研究對象的實際計算是不方便的.筆者推導質量矩陣坐標變換公式，將單元的一致質量矩陣的表示統一在整體坐標系下，給出空間桁架單元、梁單元及三角形膜單元一致質量矩陣的計算方法.

1 質量矩陣坐標變換

有限元分析比較實用的質量矩陣即為單元一致質量矩陣，在推導質量矩陣與剛度矩陣時，使用相同的位移模式：

(1)

在建立單元一致質量矩陣時，為了計算方便，在局部坐標系下推導單元質量矩陣，然后變換到整體坐標系中.設me、qe與q′e分別為局部坐標系下的單元質量矩陣、節點位移向量、節點速度向量，單元動能T在局部坐標系下一般表示為

eTmeq′e.

(2)

如果單元節點位移與節點速度用整體坐標系下的Qe與Q′e表示，則存在變換關系

qe=λQe，q′e=λQ′e.

將其代入式(2)得

eTλTmeλQ′e.

(3)

如果在整體坐標系下的單元質量矩陣用Me表示，則單元動能可以表示為

eTMeQ′e.

(4)

由于動能為標量，則與坐標無關，令式(3)與式(4)相等，得到整體坐標系下的單元質量矩陣為

Me=λTmeλ.

(5)

在計算時，可以用式(1)直接在整體坐標系下計算單元質量矩陣；或者先在局部坐標系下進行計算，再由式(5)給出整體坐標系下單元質量矩陣的計算.

2 一致質量矩陣

2.1 空間桁架單元

空間桁架單元在整體坐標系下的單元分析見圖1，在整體坐標系下的節點位移分量Qe為

Qe=[Q3i-2Q3i-1Q3iQ3j-2Q3j-1Q3j]T.

圖1 空間桁架單元示意

假設線性位移模式為

U(x)=[u(x)v(x)w(x)]T=NQe,

式中：N為3×6形函數，并且有

如果密度ρ與橫截面面積A為常數，由式(1)可以得到空間桁架單元在整體坐標系下的一致質量矩陣為

(6)

2.2 空間剛架單元

空間剛架單元在局部坐標系下的單元分析見圖2，在局部坐標系下的節點位移分量qe為

qe=[q1q2…q12]eT.

假設線性位移模式為

U(x)=[u(x)v(x)w(x)]T=Nqe,

式中：N為3×12形函數，并且有

圖2 空間剛架單元示意

如果密度ρ、橫截面面積A與極慣性矩J為常數，由式(1)可以得到空間剛架單元在局部坐標系下的一致質量矩陣為

對于平面剛架單元，通常只是考慮軸向位移自由度與平面彎曲自由度，在局部坐標系下的一致質量矩陣為

對于梁單元，不考慮軸向位移自由度，在局部坐標系下的一致質量矩陣為

(7)

通過式(5)坐標變換，剛架單元和梁單元的一致質量矩陣可以得到整體坐標系下的一致質量矩陣的計算式.

2.3 三角形膜單元

三角形膜單元在整體坐標系下的單元分析見圖3，在整體坐標系下的節點位移分量Qe為

圖3 三角形膜單元示意

假設線性位移模式為

U(x,y)=[u(x,y)v(x,y)w(x,y)]T=NQe,

式中：N為3×9形函數，并且有

式中：

其中：A為三角形膜單元的面積；xij=xi-xj,yij=yi-yj(i,j,k).

在局部坐標系下計算，可以簡化一致質量矩陣的體積分，如果密度ρ、單元面積A與單元厚度t為常數，由式(1)完成積分后，再由式(5)得到三角形膜單元在整體坐標系下的一致質量矩陣為

(8)

3 結論

(1)如果材料的密度與橫截面面積為常數，空間桁架單元的一致質量矩陣適用于在整體坐標系下直接計算.

(2)對于梁單元，在不考慮軸向位移自由度時，其一致質量矩陣適用于在局部坐標系下計算，然后再做坐標變換.

(3)若三角形膜單元的材料密度、單元面積與單元厚度為常數，則一致質量矩陣可以直接在整體坐標系下給出.