考慮二次壓力梯度非線性滲流三區復合油藏模型分析

張 林， 賈永祿， 張福祥， 楊向同， 秦世勇

( 1. 西南石油大學 油氣藏地質與開發國家重點實驗室，四川 成都 610500； 2. 中國石油塔里木油田分公司，新疆 庫爾勒 841000 )

滲流力學是開發地下流體資源的理論基礎，近年來滲流理論不斷完善，但有關非線性滲流問題的理論與應用研究處于初級階段，非線性滲流力學的研究越來越受到重視，已成為現代滲流力學發展的新方向[1-3].由于二次壓力梯度作用帶來的理論誤差達到20%以上[4]，在滲流研究中不應該被忽略.在流動方程中保留二次梯度項的非線性方法是由Odeh A S和Babu D K提出的[5].W W-G YEh針對非均質油藏建立考慮二次梯度非線性項的偏微分方程，運用隱式差分格式將控制方程離散化，得到數值解，并討論各類參數對解的影響[6].Jan Finjord建立考慮二次壓力梯度的滲流試井模型，通過分析強調二次梯度隨時間變化后對井底流壓的影響不可忽略的重要性[7-8].Chakrabarty C等研究含二次梯度影響的徑向壓力分布解析解，定量分析二次梯度項的影響[9].Streltsova T D進行非均質儲層的試井研究，使用相似的技巧，從而避免求雙孔隙度系統的聯立解[10].Braeuning S等考慮井筒儲集和表皮效應的非線性徑向流動模型，分析二次壓力梯度項在變流量試井分析中的影響[11].同登科等通過拉氏逆變換求得短時間和長時間的漸進解，討論二次梯度對壓力的影響，從而描述線性解和非線性解的差異[12-17].這些文獻研究均質地層和雙重介質油藏，筆者研究考慮二次梯度三區復合油藏模型，對樣版曲線進行敏感性分析，發現二次壓力梯度更能真實地反映復雜油藏的滲流規律.

1 非線性滲流方程

當單相流體通過多孔介質時，運用質量守恒原理得到直角坐標系下的流動連續方程：

(1)

式中:u為滲流速度；t為滲流時間；ρ為液體密度；φ為巖石孔隙度.

滲流運動方程符合達西定律，得到運動方程：

(2)

式中：k為油層滲透率；μ為黏度；p為壓力.

多孔介質和液體是可壓縮的，得到狀態方程：

對彈性液體ρ=ρ0exp[Cρ(p-p0)],

(3)

對彈性多孔介質φ=φ0exp[Cr(p-p0)],

(4)

式(3-4)中:Cr為巖石等溫壓縮系數；Cρ為液體等溫壓縮系數；ρ0，φ0，p0為某一參考數值，通常取標準狀況下的.

聯立式(1-4)推出：

(5)

式中:Ct為綜合壓縮系數，Ct=Cρ+Cr.

將式(5)變換為徑向圓柱坐標下：

(6)

式(6)為具有二次壓力梯度項的非線性滲流控制偏微分方程，將壓力梯度的平方項稱為二次壓力梯度項(Quadratic Pressure Gradient Term).傳統滲流模型研究是通過假設小的壓縮系數和壓力梯度而將非線性項忽略，因此線性滲流是非線性滲流的近似、簡化與處理，非線性滲流更符合原油在多孔介質中滲流的實際.

2 模型求解

2.1 物理模型

圖1 三區復合油藏物理模型

假設：(1)圓形均質等厚油藏中心一口井定產量生產；(2)產層厚度全部打開，流體徑向流入井內；(3)儲層孔隙介質及滲透率呈三區分布特性，每區內均勻分布，各向同性，與壓力無關(見圖1)；(4)流體和巖石微可壓縮，其壓縮系數為常數，流體黏度為常數；(5)考慮井筒儲集效應和表皮效應的影響；(6)忽略重力和毛管力影響；(7)等溫達西滲流；(8) 外邊界條件可以是無窮大地層.

2.2 數學模型

其中：下標1代表一區；下標2代表二區；下標3代表三區；r為離井的距離；rw為井半徑；pi為原始地層壓力；pw為井底壓力；h為油層厚度；q為地面產量；Cs為井儲系數；B為體積系數；Re為外邊界距離；t為生產時間；p1，p2，p3為1區、2區、3區地層壓力；r1，r2，r3為1區、2區、3區半徑；k1，k2，k3為1區、2區、3區油層滲透率；φ1，φ2，φ3為1區、2區、3區儲層孔隙度.

滲流偏微分控制方程為

(7)

(8)

(9)

式中：TD=tD/CD.

(1)初始條件：

p1D|TD=0=p2D|TD=0=p3D|TD=0=0.

(10)

(2)內邊界條件：

(11)

(3) 連接條件：

對于壓力連續，p1D|r=r1D=p2D|r=r1D,

(12)

p2D|r=r2D=p3D|r=r2D.

(13)

(14)

(15)

(4)外邊界條件：

(16)

2)求解.

作變量代換

(17)

對式(7～16)進行變量代換后，模型變化為

(18)

(1)初始條件：

x1|TD=0=x2|TD=0=x3|TD=0=0.

(19)

(2)內邊界條件：

(20)

(3)連接條件：

對于壓力連續，x1D|rD=r1D=x2D|rD=r1D,

(21)

x2D|rD=r2D=x3D|rD=r2D.

(22)

(23)

(24)

(4)外邊界條件：

(25)

引入基于TD的Laplace變換：

(26)

式中：z為拉氏變量.

對式(18～25)進行Laplace變換得其通解：

(27)

式中：I0(·)為第一類零階變形貝塞爾函數；K0(·)為第二類零階變形貝塞爾函數；I1(·)為第一類一階變形貝塞爾函數；K1(·)為第二類一階變形貝塞爾函數.

在井底處rD=1，當p=pw時，pD=pwD，將通解代入內、外邊界條件和連續條件，可以得到在井底處關于xw的一組拉氏空間線性方程組：

(28)

式中：A,B,C,D,E,F為待定系數.

3 滲流規律

3.1 樣板曲線

3.2 敏感性分析

受二次壓力梯度影響的三區復合油藏井底壓力動態響應特征曲線見圖2.無窮大邊界條件下的三區復合油藏壓力和壓力導數雙對數非線性滲流特征曲線見圖2(a).由圖2(a)可以看出，三區復合油藏樣版曲線的導數曲線出現不同臺階，由于壓力波傳到外區時間較長，外區物性差，使得二次梯度的影響強烈.當無因次二次壓力梯度因數β為0時，則蛻化為線性模型，可以劃分6個滲流階段.

第Ⅰ階段：為純井筒儲集階段，油井開井生產，井筒中的積液流動，地層中原油處于靜止狀態，壓力與壓力導數雙對數曲線呈單位斜率，線性模型與非線性模型相同，即非線性滲流是原油在地下多孔介質中的流動.

圖2 三區復合油藏非線性滲流特征曲線

第Ⅱ段：為表皮效應反映階段，油井近井地帶存在污染(鉆、完井等施工作業過程中可能造成地層堵塞)，壓力導數曲線呈明顯的“駝峰”狀，線性模型與非線性模型之間開始出現差異，參數團(CDe2S)對滲流特征曲線的影響見圖2(b).由圖2(b)可以看出，參數團(CDe2S)的值越大，“駝峰”越明顯.

第Ⅲ段：為1區滲流階段，反映1區的地層特性，當1區達平面徑向流階段時，由于受到非線性作用，與線性模型相比，壓力導數曲線不再遵循“0.5線”規則，而是位于“0.5線”下方.

第Ⅳ階段：為2區滲流階段，反映2區的地層特性，與1區相比，壓力導數變換1個臺階，若2區物性(滲透率、孔隙度和巖石壓縮系數等)比1區物性差，則壓力導數曲線的臺階上升；若2區物性比1區物性好，則壓力導數曲線的臺階下降；若2區與1區的物性差異越大，臺階上升(或下降)越明顯(圖2(c))；若1區半徑越大，則壓力波傳到2區的時間越長，臺階出現的時間越晚(圖2(d)).

第Ⅴ階段：為3區滲流階段，類似于第Ⅳ階段，若3區物性比2區物性差，則壓力導數曲線的臺階上升；若3區物性比2區物性好，則壓力導數曲線的臺階下降；若3區與2區的物性差異越大，臺階上升(或下降)越明顯(圖2(c))；若2區半徑越大，則壓力波傳到3區的時間越長，臺階出現的時間越晚(圖2(d)).

第Ⅵ階段：為外邊界反應階段，外邊界距離越遠，上翹或下掉的時間越晚.

3.3 非線性項影響

由表1和表2可以看出：儲層物性越差，二次梯度的作用越明顯；隨著生產時間的增加，二次梯度的作用越明顯；在同一量綱一時刻下，隨著β的增大，線性與非線性量綱一壓力之間的誤差隨之增大.當β較大時，二次梯度項影響不應被忽略.相反，如果β較小時，二次梯度項的影響較小，可以忽略不計.當β趨近于0時，樣版曲線與常規模型樣版曲線重合，即蛻變為常規模型.因此，非線性滲流規律更能代表原油在油藏中的真實流動規律，應加強非線性滲流理論研究.

表1 非線性項的偏移分析(β=0.01)

表2 非線性項的偏移分析(β=0.05)

4 結論

(1)由于區域物性差異,實際油藏往往呈現嚴重的非均質特性，考慮二次梯度的非線性滲流模型可以更好地研究非均質油藏原油的滲流規律.

(2)新型非線性滲流特征曲線在形態和特征上與線性模型曲線明顯不同，壓力和壓力導數曲線與常規模型曲線存在偏移，1區壓力導數不再遵循“0.5線”規則.

(3)推導非線性滲流控制方程，發現線性滲流是非線性滲流的近似、簡化與處理，非線性滲流更符合原油在多孔介質中滲流的實際.

(4)非線性項對原油滲流過程中壓力波的傳播影響明顯，非線性滲流規律更能代表原油在油藏中的真實流動規律，應加強非線性滲流理論研究.