考慮啟動壓力和二次梯度的應力敏感油藏穩定滲流模型

張 強， 王永清， 楊玲智， 蔣 睿

( 西南石油大學 油氣藏地質及開發工程國家重點實驗室，四川 成都 610500 )

0 引言

近年來，隨著油氣勘探開發的逐步深入，已經把重點逐步轉移到低滲透油氣藏.理論研究、室內實驗以及生產經驗表明：低滲透儲層具有啟動壓力梯度，即只有生產壓差大于某個數值，儲層流體才會流動[1-2]；應力敏感油藏的存在[3]；公式推導時忽略的二次梯度作用帶來的理論誤差可達20% 以上[4-6].因此，在滲流中啟動壓力梯度、二次梯度項以及應力敏感對滲流的影響不應該被忽略.然而以往的研究都只考慮這3種因素中的1種或2種對產能的影響，沒有建立綜合的滲流模型.根據低速非達西滲流理論，同時考慮高階梯度項和地層的應力敏感因素，筆者推導綜合考慮2種因素的儲層產能評價公式.

1 數學模型的建立

假設均質等厚圓形應力敏感油藏中心一口井穩定生產；產層全部打開；滲透率各向同性，隨壓力變化而變化；地層均質，壓縮系數和黏度是常值；流體單相微可壓縮；忽略重力和毛管力.

低滲透油藏低速非達西滲流在軸對稱時的滲流方程為

(1)

式中：vr為流體滲流速度；K為地層滲透率；μ為原油黏度；p為地層壓力；λ為啟動壓力梯度；r為距離井底距離.

液體的狀態方程為

ρ=ρiexp[Cρ(p-pi)],

(2)

式中：ρ為液體密度；ρi為原始地層壓力下液體密度；pi為原始地層壓力；Cρ為液體等溫壓縮系數.

巖心滲透率隨凈應力的增加呈指數遞減規律[3],可描述為

K=Kiexp[CK(p-pi)],

(3)

式中：Ki為初始滲透率；CK為滲透率模量，定義為

(4)

由質量守恒原理可得連續性方程為

·(ρvr)=0.

(5)

(6)

對液體狀態方程式(2)先取對數再求導可得

(7)

對滲透率方程式(3)取對數再求導可得

(8)

聯立式(1)、式(5-8)，可得考慮二次梯度項和啟動壓力梯度的非線性滲流控制偏微分方程為

(9)

式中：CρK=Cρ+CK.

令p=lnx/CρK,可得

(10)

(11)

得到線性滲流微分方程為

(12)

2 滲流問題的求解

式(8)中滲流微分方程為二階變系數齊次微分方程，由文獻[7]可知：變系數分別為p(r)=-λCρK+1/r，q(r)=-λCρK/r，且當R=λCρK時，R2+p(r)R+q(r)≡0,則式(12)有解為

(13)

可得滲流微分方程有解為

(14)

式中：c1,c2為與邊界條件有關的常數；Ei為冪積分函數.其壓力分布為

(15)

為了確定c1,c2,需要添加內外邊界條件,如當井底rw處定壓為pw，外邊界re處定壓為pe時，有x|r=rw=exp(CρKpw),x|r=re=exp(CρKpe).可得c1,c2分別為

(16)

c2=exp[CρK(pw-λrw)]+c1Ei(-λCρKrw).

(17)

3 產量公式的分析

當內、外邊界均為定壓邊界時，滲流速度v分布為

(18)

根據達西定律,可得考慮啟動壓力梯度和二次梯度項時地面原油產量為

(19)

式中：q為井底產油量；h為油層厚度；B為原油壓縮因子.

當地層為剛性介質時，即CK=0時,得考慮二次梯度和啟動壓力梯度的產量公式為

(20)

如果忽略二次梯度的影響，取Cρ=0,得考慮啟動壓力梯度和應力敏感油藏的產量公式為

(21)

如果忽略二次梯度和地層應力敏感的影響，取CρK趨于零，式(16)為求解0/0型的極限，應用洛必達法則可得只考慮啟動壓力梯度的產量公式為

(22)

如果不考慮啟動壓力梯度，對式(18)取λ=0,可得普通直井的產量公式為

(23)

比較式(19-23)可知：式(20)、式(21)、式(22)及式(23)是式(19)的特例，即只考慮啟動壓力梯度、只考慮二次梯度項、只考慮應力敏感因素以及三者均不考慮所得產能公式是文中公式(19)的特例.故式(19)更貼近生產實際，應用范圍更廣.

4 結論

(1)所推導的產量公式綜合考慮啟動壓力梯度、二次梯度項以及應力敏感的影響，更貼近生產實際，應用范圍廣泛.

(2)只考慮啟動壓力梯度、二次梯度項、應力敏感因素或三者均不考慮所得產能公式是文中公式的特例.