基于數學教育觀的“理解”之理解

畢力格圖，史寧中，馬云鵬

（1.東北師范大學教育科學學院，吉林長春130024；2.內蒙古興安職業技術學院數學系，內蒙古烏蘭浩特137400）

基于數學教育觀的“理解”之理解

畢力格圖1，2，史寧中1，馬云鵬1

（1.東北師范大學教育科學學院，吉林長春130024；2.內蒙古興安職業技術學院數學系，內蒙古烏蘭浩特137400）

“理解”是解釋學的核心概念。基于哲學解釋學的理解觀，我們認為，理解本質上是以概念和關系為核心的意義復原、生成過程和存在方式，而存在方式就是認知過程與結果的相互融合。它具有主體性、相對性、差異性、循環性等基本特征。關于“理解”含義的認識與把握，對研究確定數學質量標準、數學教師專業標準以及提高數學教學質量起著關鍵性的作用。數學知識的系統性、嚴密性決定了知識之間的復雜的內在聯系，要善于從整體上、本質上掌握相互關系，通過舉例說明或講故事、數學語言翻譯、系統講授、合理評價和反思等表現形式，采取梳理、綜合、分類、對比、轉化等方法不斷提升理解者的理解水平。教師的智慧表現于教學過程，不僅要注重學習者的理解形成的過程，還要關注思考過程、探究過程中的理解。

理解；解釋學；專業標準；數學認知

“理解”是教育學和心理學中普遍使用的一個詞。在不同的學術范疇內，對理解有不同的解釋。對“理解”這一概念含義的不同認識，導致與其相關的標準、要求與評價指標等方面問題的不同解釋。就數學課程與教學而言，其主要目的之一就是促進學生對數學知識的深入、全面理解，進而不斷豐富和完善學習者的認知結構，培養數學理解能力和思維能力。在數學教學實踐中，人們通常把“理解”看成一種認知方式，一種獲得知識的手段。而以理解為核心的哲學解釋學的興起與發展極大地豐富了教學中“理解”的內涵，也導致教育教學理念的變革。然而，數學學科之中的“理解”究竟是什么含義，人們有不同的理解與認識。正確理解與把握“理解”的含義，對研究確定數學質量標準、數學教師專業標準以及提高數學教學質量起著關鍵性的作用。

一、“理解”的含義

（一）辭典中對理解的不同解釋

在我國，“理解”一詞，最早見于元朝末年編撰的《宋史》：“心通理解”，是指從內心上明白，從道理上了解。理解，從字面上分析，“理”是指事物的緣由，“解”是指剖開、解釋、解答、分析、破解或通達、推敲或推理，就是理性的思考和解讀，領悟事理，依理而解。

《辭海》中將“理解”解釋為“了解；領會。是通過事物間聯系的揭露而認識新事物的過程。”［1］《馬克思主義百科要覽》（上卷）中指出“理解是辯證唯物主義認識論的一個范疇，指對事物的相互聯系及其本質規律的逐漸認識過程。……所謂間接理解，是人們借用前人的經驗和自身的以往經驗，通過一系列的分析、綜合、抽象、概括，從模糊籠統、沒有分化的理解逐漸過渡到明確、清晰、分化的理解。”《馬克思主義哲學大辭典》中將“理解”解釋為“理性認識活動。是認識借助概念，通過分析、比較、概括以及聯想、直覺等邏輯或非邏輯的思維活動。”《倫理學大辭典》中將理解解釋為“一般指對人的行為、思想以及理論、觀點、概念的深刻了解，懂得其含義和價值。指解釋者透過生命的各種‘表現’形式（如語言、表情、藝術作品、自傳等……‘理解’這一范疇有兩個層次：一是對個體的理解；二是在前者的基礎上對‘客觀精神’（包括語言、“生活”方式、價值體系等）的理解。”《社會科學大詞典》中將“理解”解釋為“是逐步認識事物的聯系、關系，進而明確其本質和規律的思維活動。”《黑格爾辭典》中將理解解釋為“運用理性能力，以概念的形式，達到對象的真實內容的把握或理解。”

從認知層面上講，認識得越全面，了解得越透徹，理解得就越深刻，使主體對客體有更準確的認識和把握，是了解、理解、操作、應用和推理等認知維度的核心。認知心理學認為，“理解實質上就是一個學習者以信息的傳輸、編碼為基礎，根據已有信息建構內部的心理表征、并進而獲得心理意義的過程”［2］。換句話說，“理解”是主體以已有知識、經驗或體驗為基礎，獲取新的知識、經驗或體驗并把它融入已有認知網絡系統之中，建構意義和新的認知結構的過程。理解者的理解過程是由選擇、信息編碼、意義重構與融合三個階段構成。

（二）解釋學關于“理解”的解釋

在國外，關于“理解”的研究甚多，“理解”是當代西方一種重要的哲學學說——解釋學的研究對象，即解釋學的核心概念。解釋學最早誕生于古希臘，是關于古典文獻的注解和解釋的技術，是古希臘教育的重要組成部分，主要包含修辭學和詩學兩部分［3］。解釋學的“理解”有兩種含義：

一是“復原”說。這是一般解釋學的理解觀，其代表人物是施萊爾馬赫和狄爾泰。理解是意義“復原”的認知過程，是主體通過語言分析和心理移情在心理上重新體驗、復制和重構文本、作品的意義或作者心理背景的過程。施萊爾馬赫將理解概括為“避免誤解的藝術”，理解就是消除“誤解”，理解的對象是人類及其生活史［4］。狄爾泰更加完善了“復原說”，并提出用移情的方法進行復原，認為理解就是從文本、作品、行為記載出發，通過語言分析和心理移情，把握作者本意、意圖、情感和價值觀，進而更好地構建新的認知結構，達到理解與作者原意的一致。

二是“視界融合”說。這是哲學解釋學的理解觀，其代表人物是海德格爾和他的學生伽達默爾。在海德格爾看來，“理解”并不是一種認知方式，它既不是主觀意識的認識活動和功能，也不是獲取知識的心理工具，而是所有心理活動的基礎和條件，是一種存在方式［5］。伽達默爾在繼承老師的基本觀點的基礎上提出了“理解”的“視界融合”說。他認為，理解不是一種簡單意義的“復原”，而是主體“視界”和客體（文本或作品）“視界”通過觀察、對話、交流，不斷溝通和交融，不斷生成和創造，不斷豐富和拓展，進而提升為更高層次的“視界”。

縱觀國內外關于理解的研究，不難發現，幾乎都傾向于宏觀理解，這就需要適應學科特點的微觀理解即學科屬性的研究，與此同時，應用性、可測性和可行性方面存在諸多問題。哲學解釋學對理解內涵進行宏觀與抽象辨析，而認知心理學把理解納入到主體的心理與認知活動過程中進行研究。然而，學科教育教學改革，要以哲學和心理學理解觀為理論依據，深入細致地研究學科認知規律，抓住學科內容的本質，正確把握其基本特征，清晰地認識理解的形成過程、表現形式、方法與途徑，以學科核心要素為切入點進行理解。

二、“理解”的基本特征

對于理解而言，只有正確把握其基本特征，才能夠結合具體的學科內容有效地指導專業實踐活動。基于哲學解釋學和認知心理學的理論認識，理解具有以下幾種基本特征：

（一）主體性

哲學解釋學宣稱，“一切理解都是自我理解。理解是人的存在方式，人在理解中存在，在存在中理解。”［6］理解的目的不僅僅是為了獲取對文本、作品、行為記載的原意，又是為了在已有認知的基礎上理解自我、認識自我。因此，要理解必須有主體的存在，理解具有鮮明的個性化特征。

（二）相對性

主體理解與現實生活和客體相關聯，都是在特定的時空的某種條件下發生。由于主體存在的狀態即前理解（傳統、先知、先見、成見、偏見）、語言（理解是以主體語言去理解客體語言）、間距（時空、思想、語言的間距）具有一定的歷史局限性，理解都是相對的，但是相對理解也包含著絕對的成分。例如，同一個人，在初中、高中、大學學習過程中，關于函數的理解是有很大差距的。

（三）差異性

在理解過程中，由于主體所處的歷史時代、傳統與文化背景、思想與語言等基本條件存在著差異，主體的現實理解絕對“復原”客體原意是幾乎不可能的，或者超越原意（即作者沒想到的或當時根本沒想過的意義），或者缺失原意（未能完全理解或根本無法想到的意義），這都是有可能的，稱之為理解的差異性。要想創新和發展，縮小理解差異的范圍，就需要理解主體之間進行廣泛的交流和對話。

（四）循環性

從理解的發展視角分析，理解是在局部與整體、特殊與一般、文本與現實的循環中不斷發生、生成和重構的過程。隨著理解的基本條件的不斷變化和理解者的自我反思、自我超越、自我完善，人的認知結構不斷變化，進而提升理解的程度，這種循環是永無止境的動態過程，稱之為理解的循環性。

三、數學理解的本質與內容特征

關于數學理解，不論是認知方式還是存在方式的觀點，本質上以概念和關系為核心的意義復原、生成過程和存在方式，而存在方式就是認知過程與結果的相互融合。也就是說，數學理解對象的核心就是概念和關系，是指主體以已有的認知水平和對數學的概念與關系把握的基礎上，通過某種方式或途徑獲取新的數學知識、思想方法、經驗或體驗并把它融入已有認知網絡系統之中，建構意義和新的認知結構的過程。真正理解了概念和關系才能夠找到最經濟和簡單的數學表述和論證。因此，數學學科之中的理解的內容主要由兩個部分構成：

一是圍繞概念的內容，即數學概念的定義、性質（概念本質的剖析）及其證明、定理（從定義和性質得出的真命題）及其證明、法則與公式及其推導過程、分類與分類標準、概念的來源與背景知識等都屬于理解范疇。概念是思維的細胞，因此對概念的清晰理解是正確思維和生成意義的前提和基礎。數學概念的理解包含內涵的理解（如，從定義出發準確找出概念的特征或性質）和外延的理解（如，利用確定的標準進行正確分類以及對每一個子概念的種差有清晰的認識）兩個方面。就集合而言，美麗的圖案、優秀學生、有用的工具、健康人、長線或短線等模糊的對象構不成集合，與集合的確定性矛盾。

二是圍繞關系的內容，即已有認知結構之中的概念和新概念之間線性關系、樹形關系以及簡單應用、簡單操作、簡單推理等也都屬于理解范疇，而網狀關系則是應用。其中，線性關系是指頭腦中的關于概念與概念、概念與故事的一對一結構；樹形關系是指頭腦中的關于概念與概念、概念與故事的一對多結構；網狀關系是指頭腦中的關于概念與概念、概念與故事的多對多結構。史寧中教授指出：數學是研究對象之間的關系，包括數量關系、圖形關系、隨機關系。而簡單應用、簡單操作、簡單推理是指不超過兩個步驟的應用、操作、推理。所謂步驟，假設有若干個簡單命題A?B，B?C，C?D，D?E，……從A出發經過B得出C的過程稱之為兩個步驟。例如，從三角形的內角和為180°這一性質得出，三角形的外角和為360°、四邊形可看成兩個三角所以外角和為360°、五邊形的……等等都是理解，但是，得出所有多邊形的外角和都為360°是三角形性質的應用。

張奠宙教授指出：數學教育，自然是以“數學內容”為核心［7］。然而，數學內容的核心要素就是概念和關系，概念的形成和關系的疏通都具有層次性。教師在具體教學內容設計過程中，要關注各階段的理解水平。依據布魯姆分類、SOLO分類、加涅學習階段和范希爾理論，我們認為，數學理解是具有階段性的，是有一種合理的循環次序存在，這是由數學學科的抽象性、邏輯性、應用性等特性和理解者內在心理活動、具體的學科內容、所處的客觀環境與心理環境所決定的。就以數學實例來講，是以已有實例、正反實例、典型實例、自編實例、概括性實例等不同層次的例子為思維載體，展示抽象過程、邏輯關系、應用價值，分析特征，才能夠加深理解，逐步提高認知水平。皮瑞——基倫（Pirie＆Kieren）的關于理解的理論模型［8］（見圖1），非常直觀地說明了理解形成過程的層次性。

圖1 皮瑞——基倫理解模型

四、有效提升數學教師理解觀的建議

課程改革以來，隨著教師教育理論研究和專業實踐研究的深入，諸多的學科教學問題凸顯出來。尤其是建立合理的教師專業標準的情況較為復雜，有必要從多視角、多維度深入細致地進行理論研究。就以數學學科而言，數學認知維度的確立是編制數學教師專業標準的關鍵一環。我們不但需要知道學生掌握了哪些知識技能，更需要知道學生對這些知識技能掌握到什么程度、能否利用已有的數學知識技能解決實際問題。本研究依據哲學解釋學和認知心理學理論觀點，將數學認知維度劃分為5個子維度，即了解、理解、操作（即技能操作）、應用和推理（即演繹推理和歸納推理）。其中“理解”是核心，了解是“前理解”，操作、應用和推理是“后理解”，通過“后理解”更進一步理解、完善認知結構。前與后是相對概念，“前”是“后”的基礎或條件，“后”又是“前”的深入或發展，理解正是這種循環過程中不斷完善和提升。

（一）教師要全面正確把握理解的含義

作為數學教師，對“理解”的認識不能停留在日常生活中的經驗水平，而應在哲學和心理學理論引領下，結合數學學科教學的基本知識、基本技能、基本思想、基本活動經驗（簡稱“四基”）建構科學的理解觀，正確把握數學理解的含義，清晰地認識理解形成過程、表現形式和方法途徑，在實際教學中正確、完整、合理地表征數學知識。就以概念表征的理解為例，包括書面符號表征、圖表表征、實踐操作表征、語言表征、實物情境表征等等。

（二）教師要對“理解的形成過程”有清晰的認識

數學知識的系統性、嚴密性決定了知識之間的復雜的內在聯系，要善于從整體上、本質上掌握相互關系，并通過梳理、綜合、分類、對比、轉化，設計形成數學理解的有效途徑。教師的智慧表現于教學過程和設計與評價理念，不僅要注重學習者的理解形成的過程，還要關注思考過程、探究過程中的理解。教師只有對“理解的形成過程”有清晰的認識，才能夠正確把握教學過程中的關鍵要素，具體與抽象、特殊與一般之間融會貫通，達到精中求簡、返璞歸真之效果。就以數學學科來說，理解的形成是圍繞數學概念與關系，以事實、定義、實例或內涵的解析和外延的分類為載體，用歸納的方法抽象出一類事物的共同屬性，逐步建構數學知識之間的認知網絡的循環過程。這種網絡的豐富性、復雜性和開放性決定著理解的深度與廣度。由于每個個體的數學已有的“四基”存在著差異，并且受非智力因素的影響，理解形成的過程和水平有著差距。以概念為例，如下圖2非常形象地展示了理解形成的一般過程［9］：

圖2 概念形成的一般過程

在實際教學過程中，概念的教學有時以直接給出定義、繼承已有經驗或尋求發展脈絡的方式進行，并融合到已有的數學知識體系之中。而理解水平體現在對事實的觀察、比較、分析、綜合、抽象等心智活動的廣度、深度、難度和嚴謹性上。

（三）教師要對“理解的表現形式”有清晰的認識

以數學的理解而言，清晰地認識其表現形式是理解者形成邏輯行為程序（思考、分析、抽象、簡明、演繹、推理、設計、應用、評價等）的基礎，具體形式如下：

第一，能夠舉例說明或講故事。史寧中教授認為：理解的重要表現之一就是能夠舉例說明。因為，數學思想方法、理念及潛能作為一個整體，蘊藏在一個個生動的數學案例和故事之中，它是抽象與現實的天然橋梁。舉例的目的在于探究理解對象的原形或現實中的存在方式。

第二，能夠靈活地翻譯數學語言。數學語言是表達數學思想方法、知識和邏輯的、精心設計的專門語言，具有抽象性、準確性、簡約性和形式化等特點，由符號語言、文字語言和圖表語言組成，簡稱數學語言。數學語言之間的相互轉換即翻譯是理解的又一種表現形式。數學教育教學要關注引導學生自己形成思想，理解知識的關系和性質，把握數學內在的統一性，更關注理解思維和推理基礎上的靈活記憶，加強數學語言的精確度、清晰度和簡明性。

第三，能夠系統講解學科知識。講解，是理解的表現形式之一，是教師運用演繹、推理、說明、分析、闡釋、揭示等手段講授學習內容的教學方法，是教師作為學生知識建構的促進者的最重要的體現形式之一。通過教師條理清晰、詳略得當、措辭精當、表達流暢的講解，使學生理解文本原意，超越或生成新的意義。講授法有課容量大、便利理念表達、效率高等優點，系統講解并不等于“滿堂灌”，我們不要受對立世界觀的影響。人們試圖證明學科知識、教學知識、課程知識等知識哪一個更重要，同樣對教學方法也想分出等級關系。這是徒勞的作為，分類不等于“分等級”。不管哪一種知識或方法，在教與學的過程中融為一體，相互結合或補充，交替使用才能夠達到良好的教學效果。就像生物體的水分一樣（如人70%以上、水母98%左右），可是我們無法直接看到，也無法評價哪一個成分更重要。

第四，能夠正確評價教與學的過程與結果。哲學解釋學認為，評價是一種理解方式。史寧中教授說：“知識是結果，可以是思考的結果，也可以是經驗的結果，所以知識的教育是結果的教育。人的智慧表現于過程，要注重過程的教學。不僅僅是知識產生的過程，過程的教育強調學生的參與。關注學生的思考過程、探究過程，使學生能思考問題、會思考問題。”教師對課程標準、學科成分、課程實施、教學設計、師生關系等有正確的理解，才能夠形成正確的評價理念，調動學生情感，提高教學質量。

第五，能夠全面分析和反思教學行為。在數學學習過程之中，分析和反思是數學思維的核心，是學習者對自身的理解與行為模式的優勢、劣勢以及局限性所做出的理性思考，能夠清晰地診斷學習過程與結果中存在的問題，分散難點，避免誤解或偏見，養成良好的習慣。美國數學教育家波利亞認為：“如果沒有了反思，他們就錯過了解題的一次重要而有效益的方面”。

（四）教師要對“理解的方法與途徑”有清晰的認識

數學教學活動，本質上是以解釋、觀察、交流與反思、操作、應用、評價為形式展開的理解活動。眾所周知，教育教學成敗的關鍵因素就是教師的素養。一個沒有經過良好的專業實踐訓練的數學教師，很難擺脫狹隘和膚淺。對學生來說，教師的角色扮演能力是關鍵，即教師的文化心理素養（由價值取向、思維方式、審美趣味構成）和學科素養，對學生有著強大的、持久的影響力。通過名師引領、課例示范、同伴互助、專題論壇、同課異構、廣泛交流等多種途徑促進教師專業發展，交流理解的方法與途徑，提高教師的理解能力，為學生提供豐富多彩的情景，有效激發數學學習興趣，激勵學生動腦思考、動眼觀察、動手操作、動耳傾聽、動身體驗，也為學生提供探索與思考的余地，倡導在合作交流之中理解數學。

總之，數學教育教學要以師生發展為本，把理解的主動權交給理解者，讓學習者自主探索，主動積極地建構認知結構，得到和諧地發展。新課改所提出的學習理念：“每一個學生都可以學習數學；不同的學生學習不同水平的數學；允許學生以不同的速度學習數學；學生可以用自己的方法學習數學”［10］正體現了理解性學習的觀念。只有樹立正確的理解觀，數學教育才能夠使人在自我理解、自我實現、自我創造過程中提升主體價值與意義、發展數學素養、培養數學創造性思維與能力。

［1］辭海編輯委員會.辭海［M］.香港：中華書局香港分局，1979：2312.

［2］李新成.現代認知心理學關于理解過程的研究［J］.教育理論與實踐，1997（2）：45－49.

［3］金生鈜.理解與教育——走向哲學解釋學的教育哲學導論［M］.北京：教育科學出版社，1997：31－39.

［4］伽達默爾.真理與方法 ［M］.上海：上海譯文出版社，1999：380－385.

［5］廖青.解釋學視野下的“理解”及其對教學的啟示［J］.成都大學學報：教育科學版，2008（10）：8－10.

［6］王金福.解釋學：對理解的理解 ［J］.贛南師范學院學報，2001（2）：6－10.

［7］張奠宙.當心“去數學化”［J］.數學教學，2005（6）：14－22.

［8］鮑健生，周超.數學學習的心理基礎與過程［M］.上海：上海教育出版社，2009：131.

［9］曹才翰，蔡金法.數學教育學概論［M］.南京：江蘇教育出版社，1989：67.

［10］數學課程標準研制組.數學課程標準解讀［M］.北京：北京師范大學出版社，2002：2－6.

The Understanding of“Understanding”Based on the View of Mathematics Education

BI Li－getu1，2，SHI Ning－zhong1，MA Yun－peng1
（1.College of Educational Science，Northeast Normal University，Changchun 130024，China；2.Department of Mathematics，Xing An Vocational and Technical College，Hulanhaote 137400，China）

“Understanding”is the core concept of hermeneutics.Based on concept of philosophical hermeneutics of understanding theory，we think，understand is meaning recovery，the building process，and existence with concepts and relationships at the core.In addition，existence is the integration of cognitive processes and result.It has subjective，relative，difference，circulation and other basic features.Recognizing and securing the meaning of understanding plays a key role in research and enact the quality standards of mathematics，mathematics teacher professional standards and improve the quality of teaching mathematics.Systematic and rigorous of mathematical knowledge determine the complex intrinsic contact of knowledge，teacher should be good at grasping the relationship by the whole and nature idea，through the form of expression，examples or stories，mathematical language translation，systemic teaching，a reasonable evaluation and reflection，taking the methods of pectination，synthesis，classification，comparison，conversion and so on to improve the understanding levels of students.Teacher’s wisdom is reflected in the teaching process，not only focus the learner’s understanding formation process，but also concern about the understanding in the thought process and explore process.

Understanding；Hermeneutics；Professional standards；Mathematical Cognition

G42

A

1001－6201（2011）02－0159－05

［責任編輯：何宏儉］

2010－11－10

全國教育科學“十一五”規劃2010年度國家重點課題（ADA100009）；教育部委托重大項目《中學教師專業標準研究》（數學、語文）

畢力格圖（1966－），男，內蒙古科右中旗人，東北師范大學教育科學學院博士研究生，興安職業技術學院數學系副教授；史寧中（1950－），江蘇宜興人，東北師范大學校長，教授，博士生導師，國務院學科評議組成員，中國教育學會副會長；馬云鵬（1954－），男，吉林洮南人，東北師范大學教育科學學院教授，博士生導師，香港中文大學哲學博士。