一類二階微分方程的特征值估計(jì)及其反問題

王於平， 楊傳富

（1.南京林業(yè)大學(xué)理學(xué)院應(yīng)用數(shù)學(xué)系，江蘇南京 210037； 2.南京理工大學(xué)理學(xué)院應(yīng)用數(shù)學(xué)系，江蘇南京 210094）

一類二階微分方程的特征值估計(jì)及其反問題

王於平1， 楊傳富2

（1.南京林業(yè)大學(xué)理學(xué)院應(yīng)用數(shù)學(xué)系，江蘇南京 210037； 2.南京理工大學(xué)理學(xué)院應(yīng)用數(shù)學(xué)系，江蘇南京 210094）

借助Rouché定理及漸近分析的方法，給出了邊界條件含有特征參數(shù)的一類二階微分方程的特征值漸近公式.運(yùn)用特征值漸近公式給出了特征值反問題的一個(gè)惟一性結(jié)果及重構(gòu)公式.

二階微分方程；參數(shù)邊值條件；特征值漸近式；特征值反問題

本文考慮了下列邊界條件含有特征參數(shù)的二階微分方程的特征值問題

1 特征值估計(jì)

定理1問題（0.1）的特征值至多可數(shù)，記為，n∈Z Z，當(dāng)｜n｜充分大時(shí)，λn是簡單零點(diǎn)，且有估計(jì)式

特征值對應(yīng)的特征函數(shù)y n（x）＝λncos（λn x）＋hsin（λn x）.

證方程－y″（x）＝λ2y（x）的通解為

且y′（x）＝－c1λsin（λx）＋c2λcos（λx）.y（x）是問題（0.1）的特征函數(shù)必須y（x）滿足問題（0.1）的邊界條件，因此

則y（x）是問題（0.1）的特征函數(shù)必須

2 特征值反問題

考慮下列兩個(gè)特征值問題

3 邊條件參數(shù)h，k的重構(gòu)

由定理2可知：對于問題（0.1），它的一組特征值可惟一確定邊條件參數(shù)h，k.如果給定問題（0.1）的一組特征值，怎么由特征值構(gòu)造邊條件參數(shù)h，k？

［1］Fulton C T.Two－point boundary value problems with eigenvalue parameter contained in the boundary conditions［J］.Proc.Roy.Soc.Edinburgh，1997，77（A）：293－308.

［2］Hochstadt H.Asymptotic estimates of the Sturm－liouville spectrum［J］.Comm.Pure Appl.Math，1961，4：749－764.

［3］Yang C F and Huang Z Y.Inverse spectral problems for 2m－dimensional canonical Dirac operators［J］.Inverse Problems，2007，23：2565－2574.

［4］鐘玉泉.復(fù)變函數(shù)論［M］.北京：人民教育出版社，2004.

Estimate of the Eigenvalue and Inverse Problem of a Class of Second－order Differential Equations

WANGYu－ping1，YANGChuan－fu2
（1.Department of Applied Mathematics，Nanjing Forestry University，Nanjing 210037，China；2.Department of Applied Mathematics，Nanjing University of Science and Technology，Nanjing 210094，China）

With the help of Rouché’s theorem and the methods of asymptotic analysis，we give asymptotic formula of the eigenvalue of a class of second－order differential equations with eigenparameter contained in the boundary conditions.A uniqueness result of inverse eigenvalue problem and reconstructions ofhandkare presented.

second－order differential equation；eigenparameter in the boundary conditions；asymptotics of eigenvalue；inverse eigenvalue problem

O174.5

A

1672－1454（2011）04－0118－04

2008－11－03；［修改日期］2009－05－18

南京理工大學(xué)教學(xué)改革項(xiàng)目（AB42640）；南京理工大學(xué)基金項(xiàng)目（AB41366，AE88787）；江蘇省自然科學(xué)基金（BK2010489）