無調制兩面錐波前傳感器的衍射理論分析和數值仿真*

王建新白福忠寧 禹 黃林海 姜文漢

1)(中國科學院光電技術研究所，成都 610209)

2)(中國科學院自適應光學重點實驗室，成都 610209)

3)(中國科學院研究生院，北京 100049)

4)(內蒙古工業大學機械學院，呼和浩特 010051)

5)(國防科學技術大學光電工程學院，長沙 410073)

(2010年7月2日收到;2010年8月9日收到修改稿)

無調制兩面錐波前傳感器的衍射理論分析和數值仿真*

王建新1)2)3)?白福忠1)2)3)4)寧 禹1)2)5)黃林海1)2)姜文漢1)2)

1)(中國科學院光電技術研究所，成都 610209)

2)(中國科學院自適應光學重點實驗室，成都 610209)

3)(中國科學院研究生院，北京 100049)

4)(內蒙古工業大學機械學院，呼和浩特 010051)

5)(國防科學技術大學光電工程學院，長沙 410073)

(2010年7月2日收到;2010年8月9日收到修改稿)

兩面錐波前傳感器(two-sided pyramid wavefront Sensor，TSPWFS)是一種高空間采樣率和高光能利用率的波前傳感器.為了深入研究它的波前復原原理，采用波動光學理論詳細推導了無調制TSPWFS的衍射理論，給出了無調制TSPWFS波前復原時線性重構矩陣的解析解，并且通過數值仿真確定出最佳的光瞳像中心間距，并對靜態像差的波前復原及閉環校正進行數值仿真.分析結果表明，無調制TSPWFS具有波前復原時不需要現場測量響應矩陣，可以校正系統像差，閉環校正結果穩定等優點，可以在實際自適應光學系統中進行波前探測.

自適應光學，兩面錐波前傳感器，波前復原

PACS:95.75.Qr，42.68.Wt，42.30.Kq

1.引 言

自1996年 Ragazzoni［1］提出四棱錐波前傳感器(PWFS)以來，人們對它的研究一直在不斷地進行［2—8］.與自適應光學系統中其他的波前傳感器如哈特曼-夏克波前傳感器［9—11］相比，PWFS 具有空間采樣率高的優點;與自參考干涉波前傳感器［12］相比較，PWFS具有光能利用率高的優點［13］.PWFS按照工作方式可以分為調制［1，14，15］和無調制［16］兩種方式，無調制PWFS具有光路簡單、能夠觀測更弱星等的優點［17］.通過分析無調制 PWFS的衍射理論發現:兩面錐可以代替四棱錐對入射光波進行分光，由此所建立的兩面錐波前傳感器(TSPWFS)具有更好的波前探測效果.

目前，人們對TSPWFS的研究仍處于初級階段.Philion和 Baker［18］于2006年提出直接相位復原算法，其原理類似于白光干涉儀，但僅對小像差進行了數值仿真分析.Korkiakoski［19］在其論文中簡單地提及了TSPWFS，也未對TSPWFS的波前復原原理、相關參數以及傳感器特性進行具體分析.

本文首先詳細推導了無調制TSPWFS的衍射理論，結果表明這與傅科刀口衍射理論［20］完全一致，具有小像差測量精確、大像差需要閉環的特點;進一步分析了無調制TSPWFS的線性區域，可以利用線性重構算法復原波前;另外分析了相鄰光瞳像中心間距對測量精度的影響;給出了線性重構矩陣的解析解，并利用該重構矩陣進行波前復原;最后通過數值仿真對參數選擇、波前復原及閉環校正進行分析.這些理論分析以及仿真結果為兩面錐器件的參數設計以及TSPWFS光路設計和波前復原提供了依據.

2.無調制TSPWFS理論

無調制TSPWFS的原理如圖1所示.分束鏡首先將入射光分成兩路，每路光均經過兩個傅里葉透鏡組成的4f縮束系統以及一個兩面錐(屋脊棱錐)，其中，透鏡1(或透鏡3)的焦距為f1，透鏡2(或透鏡4)的焦距為 f2;兩個兩面錐的對稱棱邊相互正交(其中一個沿水平方向，另一個沿垂直方向)，且棱邊放置于4f系統的焦平面.兩面錐將透鏡1(或透鏡3)聚焦后的光束沿垂直于對稱棱邊的方向分成兩束，每一束只攜帶一半的頻譜信息，然后經過另一個透鏡2(或透鏡4)后成像在CCD圖像探測器.Ix+，Ix－分別表示x方向上的兩個光瞳像光強分布，Iy+，Iy－分別表示y方向上的兩個光瞳像光強分布.進一步分析同一方向的光瞳像的光強差異，可以計算x和y方向的測量信號Sx和Sy.

設入射光瞳處的光場為

其中，u0和φ(x，y)分別表示入射光場的強度和相位，P為光瞳函數，λ為波長.光場 E1(x，y)被分束鏡分成兩路，分束鏡的透射率與反射率之比等于a/b，傳播至透鏡焦平面處的光場可用它的傅里葉變換 E2x(u，v)和 E2y(u，v)來表示如下:

棱邊分別與x和y軸相垂直時，焦平面處兩面錐的相位延遲函數分別表示為

其中，m=0表示光線落在坐標軸正方向的錐面，m=1表示光線落在坐標軸負方向的錐面，sgn(u)為折射率，α表示錐側面與底面之間的夾角.兩面錐后的光場復振幅為:

接著該光場經過中繼透鏡2(或透鏡4)成像在CCD圖像傳感器，此處沿x和y方向分束的光場復振幅分別表示為

式中，“＜”表示卷積.(8)和(9)式中的最后一項卷積部分等效于一個位置平移作用，在分析光瞳像面上光場強度時不需要考慮這一項的影響，此后，光瞳像的復振幅簡化為

式中Re()表示取復振幅實部，“*”為共軛符號.通過比較同一方向兩個光瞳像之間的光強差異可以得到測量信號Sx和Sy

將(14)式代入(15)和(16)式，整理后得到測量信號與待測波前之間的關系式

上面兩式中積分限P(x)和P(y)表示過(x，y)垂直于坐標軸的直線與光瞳函數邊界交點.

從(19)和(20)式可以看出，當被測波前為小像差時，無調制TSPWFS的測量信號是該探測點與其他各點畸變波前之差的加權平均，而相鄰點對該點的影響權值最大.即使對于小像差測量，將測量信號等效成波前偏導信息僅保留了信號中的主要信息.由CCD探測器記錄的光強信息得到的測量信號Sx和Sy是前N階Zernike項在系數較小時各階信號Gxk與Gyk的線性疊加.

式中的波前復原矩陣G+表示響應矩陣G的廣義逆，通過采用奇異值分解法(SVD)計算得到.

當待測波像差較大時，(17)和(18)式中正弦函數使用泰勒低階展開代替時的誤差較大，此時測量信號不再具有線性結構，因此使得無調制 TSPWFS不能再準確地進行波前測量.然而由于測量信號的斜率測量趨勢是正確的，于是就可以使用變形鏡對入射光場進行負反饋閉環校正.

3.數值仿真

3.1.光瞳像中心間距的確定

光瞳像的復振幅是入射光瞳的復振幅與兩面錐相位延遲函數的逆傅里葉變換的卷積，這會造成CCD圖像探測器上光瞳像周圍存在衍射效應，當兩個光瞳像相隔很近的時候，衍射造成的外溢能量就會落到相鄰光瞳像內部，從而影響測量的精度.為減小這一現象對波前測量和閉環校正的影響，光瞳像之間要有一定間隔，光瞳像的能量外溢寬度越寬，取得最佳復原精度所需的光瞳像中心間隔就越大.光瞳像中心間隔與光瞳像的比值用參數M來表示，M=2α(n－1)f1/d.通過數值仿真確定出最佳的M值，進而為光學系統中一些主要參數(兩面錐底角α，光學系統F數f1/d)的設計提供依據.

仿真中假設4f系統放大率等于1，在511×511像素的圖像中心選擇一個63×63像素的圓形區域作為入射光瞳的有效區域.通過對入射波前進行傅里葉變換得到焦平面處的復振幅，引入描述兩面錐分光作用的相位延遲函數Φx和Φy后再對振幅濾波結果進行傅里葉變換得到光瞳像強度分布.圖2顯示了平面波經過TSPWFS后在水平方向的兩組光瞳像，可以看出，由幾何光學所決定的光瞳像的周圍會有衍射現象存在，當光瞳中心間隔較近時，兩個光瞳像之間光強分布相對較強，并且光瞳像內部(有效區域)的光強分布也受到兩光瞳像之間干涉作用的影響.為了減小這種干涉作用對測量精度和閉環穩定性的影響，同時又能最大限度地利用CCD圖像探測器的靶面，我們需要選擇合適的光瞳像中心間距，為此進行了數值仿真.

圖2 平面波經過TSPWFS后在水平方向的兩組光瞳像 (a)M=1.2，(b)M=3.5

波前復原精度β定義為殘余波前的均方根誤差(RMS)與原始波前的RMS之比.首先對一個d/r0=2波前誤差較小的Kolmogorov大氣湍流相位屏進行波前復原(3至65階Zernike像差組成，d表示入瞳直徑，r0表示Fried常數，波面 RMS值等于0.08λ，峰谷值等于0.5λ)，其復原精度隨M的變化關系如圖3(a)所示.對于兩組不同的空間采樣率，復原精度隨著光瞳像中心間距的增加呈現出的變化規律一致，隨著光瞳中心間隔變大先提高后趨于平穩的趨勢，在M>3后復原精度幾乎不隨著M的變大而有所提高，而且采樣率高時復原精度高.圖3(b)是對一個d/r0=20波前誤差較大的大氣湍流相位屏(RMS值等于0.93λ，峰谷值等于4.53λ)進行閉環校正，在經過17次閉環迭代以后復原精度隨M的變化關系.同樣可以得到上面的結論，即M>3閉環校正精度較高且基本不變化，而M<1.4時即使增加閉環迭代次數，校正精度也不再提高.圖3表明光瞳像中心間距對波前復原精度的影響很大，同時又影響一定像素數的CCD的靶面利用率，從而影響波前探測的采樣密度，M應選擇為2—3.實際使用時應根據采樣密度.測量精度和閉環速度進行折中選擇.當用于波前測量時，M值應大一些，而用于閉環時則可以小一些，既可以保證CCD靶面的利用率和采樣密度，同時又能兼顧波前測量和閉環校正的精度.

圖3 β隨M的變化關系 (a)對d/r0=2的湍流相位屏靜態像差復原結果，(b)對d/r0=20的湍流相位屏閉環校正結果

3.2.靜態像差波前復原及閉環校正

下面的仿真中選擇 M=3，空間采樣率為63×63.首先對RMS值分別等于0.02λ和0.1λ的單階Zernike像差進行波前復原，對應的復原精度如圖4所示.單階Zernike像差的數值仿真結果表明:1)高階Zernike像差的復原精度普遍低于低階像差;2)原始波前 RMS值越大，復原精度越低.因此，對于較大像差，TSPWFS的復原結果已經不能滿足測量精度要求，需要采用閉環校正.

圖5 d/r0=20大氣湍流相位屏閉環校正過程中波前RMS值的變化曲線

接下來對一個d/r0=20的大氣湍流相位屏(RMS值等于0.70λ，峰谷值等于3.66λ)進行閉環校正，圖5顯示在15次迭代過程中殘余波前RMS值的變化曲線.結果顯示，隨著迭代次數的增加，殘余波前RMS值迅速降低，當迭代次數大于6次后殘余波前RMS值接近于零且趨于穩定.仿真數據表明TSPWFS閉環校正結果穩定，可以用于在實際自適應系統中進行波前測量.

4.結 論

本文根據波動光學理論，推導了無調制TSPWFS的衍射理論，給出了測量信號與待測波前之間的關系式.理論分析顯示，無調制TSPWFS的衍射理論與傅科刀口衍射理論完全一致，具有小像差測量準確，大像差需要閉環的特點.針對這種特點，提出采用符合無調制TSPWFS衍射理論的Zernike模式解析解，按照實際系統的空間采樣率對該解析解進行數值離散，然后將離散結果作為線性重構矩陣進行波前復原.

通過數值仿真確定光瞳中心距的最佳數值，對其物理機理進行分析，數值仿真與理論分析結果對實驗系統中透鏡F數以及兩面錐底角的設計提供依據.Zernike像差波前復原仿真結果以及一個d/r0=20大氣湍流相位屏的閉環校正結果顯示，無調制TSPWFS具有不需要現場測量響應矩陣，可以校正系統像差和閉環校正結果穩定等優點.

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PACS:95.75.Qr，42.68.Wt，42.30.Kq

Diffraction theory analysis and numerical simulation of non-modulation two-sided pyramid wavefront sensor*

Wang Jian-Xin1)2)3)?Bai Fu-Zhong1)2)3)4)Ning Yu1)2)5)Huang Lin-Hai1)2)Jiang Wen-Han1)2)
1)(Institute of Optics and Electronics，Chinese Academy of Sciences，Chengdu 610209，China)
2)(Key Laboratory on Adaptive Optics of the Chinese Academy of Sciences，Chengdu 610209，China)
3)(Graduate University of the Chinese Academy of Sciences，Beijing 100049，China)
4)(College of Mechanical Engineering，Inner Mongolia University of Technology，Huhhot 010051，China)
5)(College of Photon-Electron Science and Engineering，National University of Defense Technology，Changsha 410073，China)
(Received 2 July 2010;revised manuscript received 9 August 2010)

Two-sided pyramid wavefront sensor(TSPWFS)is a kind of wavefront sensor with high spatial resolution and light energy utilization.To deeply study the principle of wavefront reconstruction of this wavefront sensor using wave optics theory，this paper deduces the diffraction theory of non-modulation TSPWFS and gives the analytic solution of linear reconstruction matrix for wavefront reconstruction.With numerical simulation the optimal distance between adjacent pupil image centers was determined.Also，wavefront reconstruction and closed-loop correction of static aberrations by using nonmodulation TSPWFS as a wavefront sensor were simulated.The results show that non-modulation TSPWFS has three main advantages.i.e.，it does not require measuring the response matrix in real optical setup，and can correct the optical systemic aberration，and can achieve stable closed-loop correction result.Additionally，non-modulation TSPWFS can be applied to a real adaptive optics system to detect wavefront.

adaptive optics，two-sided pyramid wavefront sensor，wavefront reconstruction

*國家自然科學基金青年科學基金(批準號:61008038)資助的課題.

*Project supported by the Young Scientists Fund of the National Natural Science Fanndation of China(Grant No.61008038).