高斯波束致微粒旋轉的理論研究*

杜云剛 韓一平 韓國霞 李繼軍

1)(西安電子科技大學理學院應用物理系，西安 710071)

2)(內蒙古工業大學理學院物理系，呼和浩特 010051)

(2009年12月3日收到;2010年4月14日收到修改稿)

高斯波束致微粒旋轉的理論研究*

杜云剛1)2)韓一平1)?韓國霞1)李繼軍2)

1)(西安電子科技大學理學院應用物理系，西安 710071)

2)(內蒙古工業大學理學院物理系，呼和浩特 010051)

(2009年12月3日收到;2010年4月14日收到修改稿)

基于偏振光波是左旋光子與右旋光子組成的，從廣義米理論出發，得出了偏振高斯波束對球形粒子的輻射俘獲力和力矩的表示式.分析了微粒在圓偏振高斯波束照射時產生兩種不同旋轉的原因，并結合光子的量子特性進行了解釋.對圓偏振高斯波束中粒子的兩種力矩進行了數值模擬，討論了粒子半徑、折射率、吸收系數和束腰半徑對力矩及光致旋轉的影響.

光致旋轉，力矩，高斯波束，光子

PACS:87.80.Cc，42.55.－ f，42.25.Ja，42.50.Tx

1.引 言

自1970年Ashkin［1］報道了激光束對粒子的加速和俘獲以來，人們開始建立各種模型分析粒子與波束之間的相互作用［1—4］.Barton 等［5］研究了均勻球內場和球表面散射場的分布，得出了任意波束中球形粒子受到的凈輻射力和力矩的級數表達式，對水滴在空氣中的懸浮進行了討論.Polaert等［6］討論了不同吸收情況的多層球形粒子在線偏振和圓偏振聚焦高斯波束中的力矩和輻射壓力截面.Nieminen 等［7－9］研究了菠菜的葉綠體和“achiral”，“chiral”等微粒的旋轉，并對光致旋轉的原理進行了分析.高明偉等［10］研究了具有軌道角動量的扭轉對稱波束對微米量級微粒的俘獲和旋轉.李銀妹等［11］研究了不同偏振高斯波束對CaCO3晶體微粒的俘獲與旋轉.雷銘等［12］研究了圓偏振光對CaCO3微粒的光致旋轉.目前，對光致旋轉的研究主要集中在具有軌道角動量的特殊波束對具有雙折射特性粒子方面，對俘獲光和俘獲微粒都有一定的局限.

本文在高斯波束對多層球形粒子的輻射俘獲力的工作基礎上［13，14］，給出了球形粒子所受力矩的表示式，數值模擬了球形微粒在圓偏振高斯波束照射時的兩種力矩，分析了粒子產生兩種不同旋轉的原因，并結合光子的量子特性進行了解釋.討論了俘獲波束的束腰半徑、粒子尺寸、粒子吸收等對光致旋轉的影響.

2.高斯波束對球形粒子的輻射俘獲力和力矩

按照經典光學中的相關規定，在右手坐標系中，當光沿著z軸的正方向傳播時，正對著光源觀察，電場矢量作逆時針圓周運動，稱作左旋圓偏振光;反之，電場矢量作順時針圓周運動，稱作右旋圓偏振光.研究表明，宏觀上光波的偏振現象是微觀上光子角動量屬性的表現，我們把角動量本征值是Sz+=+?和Sz－=－?的光子分別稱作左旋光子和右旋光子，實際中最常見的五種光的偏振態，即自然光、線偏振光、部分偏振光、圓偏振光和橢圓偏振光都是由左旋光子與右旋光子組成的，當它們的概率幅之間和相位之間取不同的關系時，宏觀上表現為不同的偏振態［15，16］.換句話說，左旋和右旋圓偏振光是光的兩種基本的本征偏振狀態.基本的圓偏振光由左旋光子或右旋光子中的一種組成，光子的自旋角動量在光傳播方向上的投影取 +?或 －?，自旋角動量不為零.線偏振光可以看作左旋和右旋圓偏振態以相同的比例疊加，這時光子的自旋角動量在光傳播方向上的投影取 +?和 －?的幾率相同，因此平均自旋角動量為零.橢圓偏振光可以看成是不同比例的左旋和右旋圓偏振光的疊加，平均自旋角動量不為零.當波束與微粒作用時，波束中的左、右旋光子與微粒進行能量、動量、角動量的交換，使微粒宏觀上受到力和力矩的作用后產生運動和旋轉.我們對左旋光子與右旋光子組成的不同波束采用不同的波束因子進行描述.

圓偏振高斯波束在折射率為n0的均勻媒質中傳播，媒質的介電常數為ε，磁導率為μ.在右手坐標系中，我們選波束中心為坐標原點，波束沿z軸正向傳播，束腰半徑為w0，粒子中心的位置為(x0，y0，z0).采用波束因子來描述負時間因子下的圓偏振高斯波束，c－表示左旋圓偏振，c+表示右旋圓偏振，其中包含了平面波系數1)/［n(n+1)］，當束腰半徑趨于無窮時高斯波束退化成平面波.因為線偏振光可以看作左旋和右旋圓偏振態以相同的比例疊加，故線偏振高斯波束在負時間因子下的波束因子可 以 通 過的疊加來獲得，具體關系為［6，16］

根據經典電動力學中關于電磁場動量的討論，在光鑷系統中經顯微鏡物鏡變換會聚到微米量級的激光波束攜帶著很高的能量、動量和角動量.電磁場動量密度為g=εE×B，電磁場角動量密度為j=εr×(E×B).入射高斯波束照射到粒子上發生散射，散射前后波束的動量和角動量將發生變化，也就是處于光場中的粒子將得到一部分動量和角動量，在一段時間內，以粒子受到的輻射俘獲力和輻射力矩表現出來，我們得出軸向和橫向輻射俘獲力的表示式［13］

其中負號表示粒子的角動量變化與波束的角動量變化相反.把相關表示式代入(4)式，按照輻射俘獲力表示式的推導方法，可以推導出力矩Tr各分量的表示式，本文主要研究沿光束傳播方向的輻射力矩分量 Tr，z

式中各符號表示同上.光子的自旋角動量沿波束傳播光軸的投影為 +?或 －?，光束與粒子相互作用時，光子與粒子進行角動量的傳遞，使粒子受到的力矩是相對于粒子質心的，只要把相關參數代入(5)式中，就可以計算高斯波束對粒子的輻射力矩Tr，z.Tr，z可使粒子繞過自身質心的 z軸旋轉.光子與粒子進行動量的傳遞，使粒子受到的輻射力是作用于粒子質心的，只要把相關參數代入(2)，(3)式中，就可以計算圓偏振、線偏振高斯波束對粒子的輻射俘獲力.對特定轉軸(高斯波束的光軸)的輻射俘獲力的分力將使粒子受到力矩的作用，從而實現粒子繞波束光軸的光致旋轉.這樣粒子的旋轉將分為兩種:由輻射俘獲力引起的光致旋轉和由波束的自旋角動量引起的光致旋轉.

3.微粒的光致旋轉

3.1.由輻射俘獲力引起的光致旋轉

粒子偏離圓偏振高斯波束光軸時受到沿光軸方向的輻射力Fz，指向光軸的徑向輻射俘獲力Fr，與Fr垂直的切向力Ft.計算得到的輻射俘獲力Fx和Fy的合力可以分解為Fr和Ft.當離軸縱坐標z一定時，Fr(r，z)和Ft(r，z)只與粒子偏離光軸的距有關.當 r，z一定時，Fr和 Ft的大小是確定的，Ft的方向隨粒子位置而變化.關于Fz，Fr的討論我們已在文獻［13，14］中報道，本文重點考查Ft及粒子受到的力矩.我們利用(2)，(3)式對水中微球的俘獲力和力矩進行數值模擬.水的折射率n0=1.33，激光功率P=100 mW，真空中的波長λ=0.6328 μm，微球的半徑、折射率分別用 a，n1表示.

右旋圓偏振高斯波束作用于離軸粒子時有一個切向力Ft，在Ft的作用下粒子將繞光軸旋轉，也就是粒子受到一個對z軸的力矩 Tz=r×Ft，Tz的值等于切向力Ft與粒子中心偏離光軸距離r的乘積.圖1所示為不同半徑粒子的力矩Tz隨粒子離軸位置 r變化的曲線.w0=0.8 μm，z0=0 μm，n1=1.59.從圖可知左旋、右旋圓偏振高斯波束分別作用于粒子的力矩Tz大小相等，方向相反，這是因為一段時間內左旋光子和右旋光子對離軸粒子的切向力Ft大小相等，方向相反.粒子在徑向偏離光軸時，在一定范圍內隨著偏離的增大，力矩Tz也增大.隨著粒子半徑的增大，力矩 Tz的最大值也增大，最大力矩的位置與光軸的距離也變大.當粒子半徑a=0.5 μm時，最大力矩出現在離軸0.7 μm的位置;當粒子半徑a=1.0 μm時，最大力矩出現在離軸1.0 μm的位置.線偏振高斯波束可以看作左旋和右旋圓偏振態以相同的比例疊加，左旋、右旋圓偏振高斯波束分別作用于粒子的力矩Tz可以相互抵消，數值計算同樣說明線偏振高斯波束作用于粒子的切向力Ft=0，力矩Tz=0.

在光鑷系統中，粒子受到的輻射俘獲力為皮牛量級，粒子的半徑、粒子的橫向俘獲范圍都在微米量級，所以粒子受到的力矩在10－18N·m量級.一個初始位置在俘獲范圍內偏離光軸的粒子，在徑向輻射俘獲力的作用下向光軸運動，在力矩Tz的作用下圍繞光軸轉動，而且離光軸越近徑向輻射俘獲力和力矩越小，粒子的運動軌跡為逐漸靠近光軸的螺旋線，這樣的俘獲稱為“旋轉俘獲”［17］.有研究表明［18］，隨著小球半徑的增大，在同樣光場中小球所受到輻射俘獲力和力矩的增加速度小于需要克服的阻力和阻力矩增加的速度.所以，雖然小尺寸的粒子受到的輻射俘獲力和力矩相對較小，但反而容易實現圓偏振高斯波束的俘獲和光致旋轉.

圖1 力矩Tz隨粒子離軸位置r變化的曲線 實線a—d分別對應右旋圓偏振高斯波束，粒子半徑 a=2.0，1.5，1.0，0.5 μm;虛線e—g分別對應左旋圓偏振高斯波束，粒子半徑 a=0.5，1.0，1.5 μm

如果4個(也可為3個、5個)相同的小球在同一平面上組成中空聯體球，軸向輻射俘獲力、浮力和重力可使聯體球(球心平面在水平方向)在豎直方向受力平衡，實現聯體球的懸浮;在徑向輻射俘獲力的作用下，將使聯體球的中心軸和俘獲波束的中心軸重合;高斯波束作用于聯體球的力矩大于聯體球受到的阻力矩，將可以實現旋轉.Nieminen等［9］設計了“achiral”和“chiral”等光驅動微機械，這兩種微機械結構可以近似用聯體球模型來分析.不同的圓偏振高斯波束、不同形狀和材料的粒子將影響粒子的旋轉方向和轉速.

圖2所示為右旋圓偏振高斯波束對吸收粒子的力矩Tz隨粒子離軸位置r變化的曲線.a=1.0 μm，Re(n1)=1.59，w0=0.8 μm，z0=0 μm.從圖可知，隨著粒子吸收 Im(n1)的增強，力矩 Tz逐漸減小，但力矩最大值的位置都在r=1.1 μm.這是由于粒子吸收了具有自旋角動量的光子后，使粒子受到的切向力Ft和力矩Tz都減小.在媒質中粒子的阻力矩與粒子的形狀、尺寸有關，所以粒子受的阻力矩不變，而高斯波束對粒子的力矩Tz減小，將導致吸收系數大的粒子不能實現繞光軸轉動.

圖2 右旋圓偏振高斯波束對吸收粒子的力矩Tz隨粒子離軸位置r變化的曲線 曲線 a—e分別表示 Im(n1)=0，0.0005，0.005，0.02，0.05

圖3所示為右旋圓偏振高斯波束對不同折射率粒子的力矩Tz隨粒子離軸位置r變化的曲線.a=1.0 μm，w0=0.8 μm，z0=0 μm.從圖可知，隨著粒子折射率的減小，粒子在各個離軸位置的力矩都變小，曲線整體下移，這是粒子折射率減小使切向力也減小的原因.但力矩最大值的位置都在 r=1.1 μm.當粒子的折射率接近周圍媒質時，粒子受到的力矩趨近于零，作為特例我們可以想象在媒質中存在一個同種成分的粒子，不論這個粒子是否偏離光軸，受到的力矩都為零.在媒質中粒子的阻力矩與粒子的形狀、尺寸有關，所以高折射率、低吸收的粒子更容易實現在高斯波束中繞光軸的光致旋轉.

圖3 右旋圓偏振高斯波束對不同折射率粒子的力矩Tz隨粒子離軸位置 r變化的曲線 曲線 a—d分別表示 n1=1.59，1.49，1.44，1.39

圖4所示為不同束腰半徑右旋圓偏振高斯波束對粒子的力矩Tz隨粒子離軸位置r變化的曲線.a=1.0 μm，n1=1.59，z0=0 μm.從圖可知，隨著束腰半徑的增大，力矩Tz的最大值減小，力矩最大值出現的位置與光軸的距離變大.在光束功率一定的條件下，隨著波束的束腰半徑的增大，單位時間內通過光束橫截面上單位面積內的光子數變少，也就是與粒子相互作用的光子變少，所以粒子受到的力矩變小.從上面的分析可知，力矩 Tz最大值出現的位置與俘獲波束的束腰半徑、粒子的半徑有關，而與粒子的折射率、吸收系數無關.

3.2.由波束的角動量引起的光致旋轉

根據輻射力矩 Tr，z的表示式，我們對高斯波束作用于粒子的輻射力矩進行數值模擬.水的折射率n0=1.33，激光功率P=100 mW，真空中的波長λ=0.6328 μm，微球的半徑、折射率分別用 a，n1表示.數值計算表明:在微球粒子沒有吸收時(Im(n1)=0)，Tr，z=0，與微球的半徑和微球在波束中的位置無關.

圖4 不同束腰半徑右旋圓偏振高斯波束對粒子的力矩Tz隨粒子離軸位置r變化的曲線 曲線 a—c分別表示 w0=0.8，2.0，4.0 μm

圖5 輻射力矩Tr，z隨粒子離軸位置 r變化的曲線 實線 a—d分別對應右旋圓偏振高斯波束，粒子半徑 a=2.0，1.5，1.0，0.5 μm;虛線 e—g分別對應左旋圓偏振高斯波束，粒子半徑 a=0.5，1.0，1.5 μm

圖5所示為不同半徑粒子的輻射力矩 Tr，z隨粒子離軸位置 r變化的曲線.w0=0.8 μm，z0=0 μm，n1=1.59+i0.001.從圖可知，左旋、右旋圓偏振高斯波束分別作用于粒子的輻射力矩 Tr，z大小相等，方向相反，這是因為左旋、右旋圓偏振高斯波束分別是左旋、右旋光子組成的，兩種光子的角動量方向相反，粒子在同一位置吸收的光子數量相同.右旋光子的自旋角動量在光傳播方向上的投影取－?，所以右旋圓偏振高斯波束作用于粒子的輻射力矩Tr，z為負值.粒子在波束中同一位置時，隨著粒子半徑的增大，粒子吸收的光子數量增加，力矩 Tr，z增大.粒子在徑向偏離光軸時，粒子中心在光軸上輻射力距最大，隨著偏離高斯波束光軸的距離增大，該位置光強變小，粒子吸收的光子數量減小，輻射力矩減小.由高斯波束光強分布的特點，對同一z位置，輻射力矩Tr，z只與偏離光軸的距離有關，與偏離的方向無關.線偏振高斯波束可以看作左旋和右旋圓偏振態以相同的比例疊加，左旋、右旋圓偏振高斯波束分別作用于吸收粒子的輻射力矩 Tr，z可以相互抵消，數值計算同樣說明線偏振高斯波束作用于吸收粒子的輻射力矩Tr，z=0.

圖6所示為右旋圓偏振高斯波束對吸收粒子的輻射力矩Tr，z隨粒子離軸位置 r變化的曲線.a=1.0 μm，w0=0.8 μm，z0=0 μm.對比圖中 a，d，e，f，g等五條曲線可知，粒子在波束中同一位置時，隨著粒子吸收Im(n1)的增大，粒子吸收的光子數量增加，輻射力矩 Tr，z增大.而且粒子吸收 Im(n1)從10－7增加到10－3，輻射力矩線性增大.對比圖中 a，b，c等三條曲線可知，在粒子吸收Im(n1)相同時，隨著粒子折射率 Re(n1)的減小，能進入粒子被吸收的光子數量變少，粒子在各個離軸位置的力矩Tr，z都變小.作為特例我們計算在媒質中存在一個同種成分的吸收粒子(n1=1.33+i0.001)，計算結果和圖中曲線c很接近，說明粒子吸收是產生輻射力矩 Tr，z的原因.

圖7所示為不同束腰半徑右旋圓偏振高斯波束對粒子的輻射力矩Tr，z隨粒子在光軸位置 z變化的曲線.a=1.0 μm，n1=1.59+i0.001，x0=y0=0 μm.基模高斯波束的束腰中心光強最強，在光傳播方向(z軸)上光強呈梯度分布，所以隨著粒子在光軸上偏離束腰中心的距離增加，單位時間內通過光束橫截面上單位面積內的光子數變少，被粒子吸收的具有角動量的光子變少，粒子受到的輻射力矩Tr，z變小.從圖可知，在波束功率一定的條件下，隨著束腰半徑的增大，在光軸上同一位置的粒子受到的力矩也減小.當 w0=5.0 μm時，粒子位置 z0在－40—40 μm 范圍內，輻射力矩 Tr，z接近一個定值，說明粒子吸收的光子數相同.

球形粒子受到的輻射力矩Tr，z大于周圍媒質對其的阻力矩時，粒子將圍繞過球心的z軸旋轉.右旋圓偏振高斯波束中離軸吸收粒子在輻射俘獲力Fr和力矩Tz(z軸正方向)的作用下螺旋靠近光軸，輻射力矩Tr，z(z軸負方向)增大到比阻力矩大時，粒子開始旋轉，粒子中心到達光軸上后，旋轉角速度達到最大.在這一過程中力矩 Tz和輻射力矩 Tr，z的相對轉軸和方向都不相同，這和Chang等［18］報道的結果相同.粒子的折射率Re(n1)對力矩Tz的影響大，粒子的吸收Im(n1)對輻射力矩Tr，z的影響大.線偏振光可以看作左旋和右旋圓偏振態以相同的比例疊加，平均自旋角動量為零.吸收粒子在線偏振高斯波束中吸收左旋、右旋光子的概率相同，輻射力矩Tr，z=0，也就是粒子不會因為吸收光子而產生旋轉.

4.結 論

根據文獻［11，12］報道的光致雙折射微粒的旋轉，光束作用于雙折射微粒時，其偏振狀態會發生改變，光束中光子本身所攜帶的自旋角動量就會發生改變，根據角動量守恒定律，雙折射微粒將從激光光束獲得相應的角動量，并產生圍繞自身光軸的自轉.本文通過對均勻粒子的輻射俘獲力和力矩的數值模擬表明:圓偏振高斯波束作用于離軸粒子的切向力產生一個力矩Tz，左旋圓偏振與右旋圓偏振時的力矩大小相等，方向相反;高度會聚的圓偏振高斯波束將使高折射率、低吸收、小尺寸的微粒獲得更大的力矩和圍繞光軸的旋轉速度.粒子吸收圓偏振高斯波束中的光子產生輻射力矩 Tr，z，左旋圓偏振與右旋圓偏振時的輻射力矩 Tr，z大小相等，方向相反;高度會聚的圓偏振高斯波束將使高折射率、高吸收、小尺寸的微粒獲得更大的輻射力矩 Tr，z和圍繞過粒子質心的轉軸的角速度.線偏振高斯波束作用于球形粒子時沒有切向力產生的力矩 Tz和輻射力矩Tr，z.微粒受到的力矩與俘獲波束的光功率成正比，橢球狀、棒狀、聯體結構的微粒可以用偏振高斯波束實現旋轉.光致旋轉技術可以驅動微機械裝置，是實現微機械馬達的有效手段，是研究旋轉馬達蛋白、流體的微觀性質、細胞膜剪切力等不可或缺的研究工具.本文的結論對光致旋轉的實驗系統改進和實驗中力矩及轉速的測量、旋轉微粒的設計有參考價值.

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PACS:87.80.Cc，42.55.－ f，42.25.Ja，42.50.Tx

Theoretical study on the rotation of particles driven by Gaussian beam*

Du Yun-Gang1)2)Han Yi-Ping1)?Han Guo-Xia1)Li Ji-Jun2)
1)(Department of Applied Physics，School of Science，Xidian University，Xi’an 710071，China)
2)(Department of Physics，School of Science，Inner Mongolia University of Technology，Hohhot 010051，China)
(Received 3 December 2009;revised manuscript received 14 April 2010)

Based on the fact that the polarized beam is composed of L-photon and D-photon，the expressions of the radiation trapping forces and torques of spherical particle exerted by polarized Gaussian beam are obtained in the framework of the generalized Lorenz-Mie theory.The reasons of the two different rotations of particles driven by circularly polarized Gaussian beam are analyzed and explained in combination with the quantum properties of photon.Then numerical simulations are performed for the two kinds of torques acted on the particles by polarized Gaussian beam，and the effects on the torques and optically driven rotations of the radius，relative refractive index，absorbing coefficient of the particle and waist radius of the beam are discussed.

optically driven rotation，optical torque，Gaussian beam，photon

*國家自然科學基金(批準號:60771039)和內蒙古工業大學科研基金(批準號:X200721)資助的課題.

?通訊聯系人.E-mail:yphan@xidian.edu.cn