任意多面體隱身罩材料參數的推導及驗證*

顧 超 屈紹波 裴志斌 徐 卓 劉 嘉 顧 巍

1)(空軍工程大學理學院，西安 710051)

2)(西安交通大學電子陶瓷與器件教育部重點實驗室，西安 710049)

3)(成都理工大學工程技術學院計算機科學與技術系，樂山 614300)

(2010年3月25日收到;2010年4月15日收到修改稿)

任意多面體隱身罩材料參數的推導及驗證*

顧 超1)?屈紹波1)2)裴志斌1)徐 卓2)劉 嘉1)顧 巍3)

1)(空軍工程大學理學院，西安 710051)

2)(西安交通大學電子陶瓷與器件教育部重點實驗室，西安 710049)

3)(成都理工大學工程技術學院計算機科學與技術系，樂山 614300)

(2010年3月25日收到;2010年4月15日收到修改稿)

基于坐標變換理論推導了任意多面體隱身罩的隱身條件，并得到了相應隱身罩材料參數的張量表達式.根據導出的材料參數的張量表達式，通過全波仿真分別對正四面體和十四面體隱身罩進行仿真驗證，仿真結果證實了所得材料參數張量表達式的正確性，研究結果為三維復雜形狀隱身罩的設計奠定了理論研究基礎.

坐標變換，多面體隱身罩，張量表達式，全波仿真

PACS:78.20.Ci，41.20.Jb

1.引 言

相對于電磁頻譜能夠實現隱身的技術引起了科學界的極大興趣.超材料覆層可以減少物體對電磁波的散射［1—3］.這種方法的缺點是隱身效果的好壞取決于被隱身物體的特性，如形狀、大小和材質等.最近，一種能減少甚至消除物體的電磁信號，又不受被隱物體限制的隱身新方法被提出［4，5］.這種方法利用電磁隱身罩將被隱物體包圍，實現透波隱身.隱身罩具有各向異性、隨空間位置而變化的電磁參數.根據隱身罩的形狀，通過坐標變換方法可以推出隱身罩的電磁參數［6］.Pendry等［4］基于坐標變換方法推導了圓柱和球形隱身罩的電磁參數.基于同樣的方法，也推導出了橢圓柱、方形、正多棱柱等隱身罩的電磁參數［7—13］.此后人們對電磁隱身罩進行了廣泛而深入的研究.通過射線追蹤法研究了球形和柱形隱身罩，結果表明入射電磁波的確在隱身罩的引導下繞著被隱區域傳播且隱身罩外部電磁波的傳播沒有受到任何影響［14］.通過時域有限差分方法仿真了二維圓柱隱身罩，結果表明放置在被隱區域的物體相對于入射電磁波而言的確是隱身的［15，16］.通過 Mie散射模型對理想球形隱身罩進行了分析，結果表明隱身罩對電磁波的散射場和被隱區域的電磁場都等于零［17］.同時，通過 Mie散射模型對理想圓柱隱身罩進行了分析，結果表明邊界條件在罩內外界面處匹配且散射場為零［18］.

上述研究中，所有電磁參數的推導、隱身效果的數值仿真和理論分析針對的都是結構具有高度對稱性的圓柱、球、橢圓和正多棱柱等物體.然而，實際中有許多不規則的物體需要隱身，例如戰車、戰艦和飛機等.

本文基于坐標變換方法推導了任意多面體隱身罩材料參數的一般張量表達式，并利用商業有限元電磁軟件包Comsol對正四面體和十四面體隱身罩進行了全波仿真，結果證實了所得材料參數張量表達式的正確性.相對于圓柱、球、橢圓和正多棱柱等形狀，不規則多面體提供了更大的可實現性，能夠實現更多物體的隱身.

2.任意多面體隱身罩材料參數的推導

考慮任意N面體隱身罩，其橫截面為任意多面體環域，如圖1所示.利用坐標變換將任意多邊體區域壓縮成任意多面體環域.在原空間中考慮任意點H(xm，ym，zm)，在新空間中的對應點是G(x，y，z).定義OH和OG的長度為

圖1 多面體隱身罩示意圖

原空間到新空間的坐標變換可以定義為

其中M是OG與內多面體的交點，R是OM的長度，l是壓縮比.

假設內多面體第i個面的方程為

其中(xi0，yi0，zi0)是第i個面上任意一點的坐標，Ai，Bi，Ci是第i個面法線的方向數.

與第i個面平行，分別過點H(xm，ym)和G(x，y)的兩個平面的方程為:

過O作第i個面的垂線，記此垂線同第i個面、平行于第i個面且過H(xm，ym)的平面、平行于第i個面且過G(x，y)的平面依次相交于M1，H1，G1.

由(3)式可得OM1的長度，由(4a)式可以得到OH1的長度，由(4b)式可以得到OG1的長度，分別為

由變換前后，原空間和新空間的單位向量應該相等，可以得到

因此，坐標變換可以寫成如下形式:

坐標變換的Jacob變換矩陣為

假設原始空間是自由空間，根據Maxwell方程相對于坐標變換的形式不變性，可以得到材料參數在新空間中的張量表達式

材料參數的張量表達式可記為:

其中 εxx，εxy，εxz，εyx，εyy，εyz，εzx，εzy和 εzz是

其中 det(A)是變換矩陣 A的行列式，見附錄A.

需要注意的是:由(12)式得到的是含 xm，ym，zm的表達式，需要作如下進一步代換:

3.算例仿真及討論

為了驗證所推導公式的正確性，利用軟件包COMSOL對多面體隱身罩進行全波仿真.建立如圖2所示的仿真模型，平面波由端口1入射到外部放置多面體隱身罩的銅多面體(充當被隱身物體，占滿隱身罩的內部空間)上，計算區域邊界設置成完美電導體(整個結構相當于放置在波導中).考慮兩種隱身罩:正四面體和十四面體隱身罩，其參數如表1所示.

表1 兩種隱身罩的參數

圖2 仿真模型三維示意圖

兩種隱身罩:正四面體和十四面體隱身罩，計算區域電場Z分量的分布如圖3和圖4所示.由圖可見，在隱身罩的外部，波形保持不變，和沒有被隱物體(散射體)存在的情況相同;在隱身罩的內部，波平滑地繞過了被隱物體，離開隱身罩時基本上完全恢復成原來的傳播方向.兩種隱身罩均具有很好的隱身效果，從而驗證了所推導公式的正確性.

圖3 正四面體隱身罩電場分布示意圖 (a)平視圖，(b)斜視圖

圖4 十四面體隱身罩電場分布示意圖 (a)平視圖，(b)斜視圖

4.結 論

基于坐標變換，本文推導了任意多面體隱身罩材料參數的張量表達式，并通過全波仿真對所推公式進行了驗證.結果表明:利用所推公式設計的隱身罩的確能夠控制電磁波繞著內部被隱身區域傳播，并使波離開隱身罩時恢復成原來的傳播方向，從而成功地將內部被隱物體隱身.本文推導的公式對于復雜形狀物體的隱身具有一定的指導意義.

附錄A.

［1］Alù A，Engheta N 2005Phys.Rev.E 72 016623

［2］Alù A，Engheta N 2007Opt.Express15 3318

［3］Silveirinha M G，Alù A，Engheta N 2007Phys.Rev.E 75 036603

［4］Pendry J B，Schurig D，Smith D R 2006Science312 1780

［5］Leonhardt U 2006Science312 1777

［6］Ward A J，Pendry J B 1996J.Mod.Opt.43 773

［7］Cummer S A，Popa B I，Schurig D，Smith D R 2006Phys.Rev.E 74 036621

［8］Ma H，Qu S B，Xu Z，Zhang J Q，Wang J F 2009Chin.Phys.B 18 179

［9］Ma H，Qu S B，Xu Z，Zhang J Q，Wang J F 2009Chin.Phys.B 18 1850

［10］Kwon D H，Werner D H 2008Appl.Phys.Lett.92 013505

［11］Jiang W，Cui T，Yu G，Lin X，Cheng Q，Chin J 2008J.Phys.D:Appl.Phys.41 085504

［12］Rahm M，Schurig D，Roberts D A，Cummer S A，Smith D R，Pendry J B 2008Photon Nanostruct:Fundam Appl.6 87

［13］Wu Q，Zhang K，Meng F Y，Li L W 2009Acta Phys.Sin.58 1619(in Chinese)［吳 群、張 狂、孟繁義、李樂偉 2009物理學報 58 1619］

［14］Schurig D，Pendry J B，Smith D R 2006Opt.Express4 9794

［15］Zhao Y，Argyropoulos C，Hao Y 2008Opt.Express16 6717

［16］Weder R 2008J.Phys.A:Math.Theor.41 065207

［17］Chen H，Wu B I，Zhang B，Kong J A 2007Phys.Rev.Lett.99 063903

［18］Ruan Z，Yan M，Neff C W，Qiu M 2007Phys.Rev.Lett.99 113903

PACS:78.20.Ci，41.20.Jb

Deduction and verification of electromagnetic parameter of arbitrary polyhedron cloaks*

Gu Chao1)?Qu Shao-Bo1)2)Pei Zhi-Bin1)Xu Zhuo2)Liu Jia1)Gu Wei3)
1)(Science College，Air Force Engineering University，Xi’an 710051，China)
2)(Key Laboratory of Electronic Materials Research of Ministry of Education，Xi’an Jiaotong University，Xi’an 710049，China)
3)(Department of Computer Science and Technology，The Engineering and Technical College，Chengdu University of Technology，Leshan 614300，China)
(Received 25 March 2010;revised manuscript received 15 April 2010)

On the basic of the coordinate transformation theory，we deduce the condition for irregular polyhedron cloaks and obtain tensor expressions of electromagnetic parameters.Using tensor expressions of electromagnetic parameters，we verify the effect of 4-sided polyhedron cloak and 14-sided polyhedron cloak through full-wave simulations.The results confirm the validity of tensor expressions of electromagnetic parameters we derived.The present work may serve as a basis for the design of three-dimensional baroque cloak.

coordinate transformation，polyhedron cloak，tensor expression，full-wave simulation

*國家自然科學基金(批準號:50632030，60871027)、國家重點基礎研究發展計劃(批準號:2009CB623306)和陜西省自然科學基金(批準號:SJ08F01)資助的課題.

*Projects supported by the National Natural Science Foundation of China(Grant Nos.50632030，60871027)，the National Basic Research Proqram of China(Grant No.2009CB623306)and the Natural Science Foundation of Shaanxi Province，China(Grant No.SJ08F01).