霍爾推力器磁場位形及其優化的數值研究

鄧立赟 藍紅梅 劉 悅

(大連理工大學物理與光電工程學院，大連 116024)

(2010年4月20日收到;2010年5月6日收到修改稿)

霍爾推力器磁場位形及其優化的數值研究

鄧立赟 藍紅梅 劉 悅?

(大連理工大學物理與光電工程學院，大連 116024)

(2010年4月20日收到;2010年5月6日收到修改稿)

基于麥克斯韋方程，在軸對稱假設下建立了霍爾推力器磁場的數學模型.用有限差分方法對模型進行了離散.給出了數值求解模型的迭代法.通過對模型的數值求解，得到了相應的數值結果.通過對所得數值結果的分析，研究了磁場線圈電流變化對霍爾推力器磁場位形的影響.通過調整磁場線圈電流的大小找到了理想磁場位形.研究表明，對于理想磁場位形，內通道的磁鏡比在3—3.5之間，外通道的磁鏡比在0.4—0.9之間;增加磁場線圈的電流，出口的磁場強度隨著增加，但不能增加磁鏡比.通道內部的磁場強度幾乎不隨著磁場線圈電流的變化而變化.

霍爾推力器，磁場位形，磁場線圈電流，磁鏡比

PACS:52.75.Di，41.20.Gz

1.引 言

進入21世紀以來，隨著人類探索宇宙空間范圍的拓展，傳統的化學火箭已不能滿足日益增加的對于深空探測的要求.為了克服傳統推進技術的缺點，目前許多發達國家都在研究各種新型推進技術以滿足未來太空探索的需要.新型推進技術當中，電推進技術是最具應用前景的，因此在目前研究中最為廣泛.霍爾推力器是最典型的電推進器，由于其具有結構緊湊、比沖大、效率高和壽命長等優點，可以在未來的深空探測中應用于衛星姿態控制、航天器軌道修正、軌道轉移、動力補償等任務.

霍爾推力器主要是由同軸的圓柱形通道、陶瓷器壁、以及進氣口處的陽極與噴射口處的陰極、用于產生磁場的線圈等組成.霍爾推力器的工作氣體主要選用氙氣，也有人選用氪氣.工作氣體通過進氣口進入通道，同時陰極產生的電子進入通道對工作氣體進行電離.陽極和陰極之間的電勢差產生電場，使氣體充分電離并加速等離子體中的帶電粒子(電子和離子).磁場線圈產生的磁場通過霍爾效應磁化等離子體中的電子，使電子留在通道內，而沒有磁化的離子噴出通道，從而產生推力.這就是霍爾推力器的工作原理.

由于霍爾推力器在未來的深空探測任務中有很好的應用前景，因此受到廣泛研究.人們分別對霍爾推力器中等離子體的震蕩［1—5］、電子的反常遷移 和 輸 運［6，7］、等 離 子 體 與 器 壁 材 料 的 相 互 作用［8—12］、等離子體鞘層［13—16］、二次電子發射［17—19］和磁場位形的效應［20—25］等進行了深入研究.

眾所周知，霍爾推力器是通過霍爾效應來產生推力，而磁場是產生霍爾效應的關鍵.同時，磁場位形對于霍爾推力器放電特性、使用壽命和效率等許多方面產生很大影響，所以對霍爾推力器磁場位形的研究非常重要，既對霍爾推力器的機理研究有理論指導意義，也對霍爾推力器的設計和實驗提供理論基礎.2002年，Peterson等［20］研究了霍爾推力器的磁場結構.2003年，Garrigues等［21］用數值模擬的方法研究了霍爾推力器的磁場位形對壽命的影響.2005 年，Keidar和 Boyd［22］研究了霍爾推力器中的磁鏡效應.2009年，鄂鵬等［23］研究了霍爾推力器中的磁場位形，于達仁等［24］研究了霍爾推力器磁場位形對羽流的影響，耿少飛等［25］研究了霍爾推力器磁場對電子和離子的影響.

本文基于麥克斯韋方程，在軸對稱假設下建立了霍爾推力器磁場的數學模型，模型中包含有鐵物質，使得其具有很強的非線性，很難求解.本文用有限差分法對模型進行了離散，給出了數值求解模型的迭代法，并對模型進行了數值求解，得到了相應的數值結果.通過對所得數值結果的分析，研究了磁場線圈電流變化對霍爾推力器磁場位形的影響.

2.霍爾推力器磁場的數學模型

對于霍爾推力器的磁場，由麥克斯韋方程有

(1)式中磁場B可以用磁矢勢A表示

根據霍爾推力器的結構，霍爾推力器的磁場可以認為是軸對稱的.在軸對稱的假設下，在柱坐標系 (r，θ，z)中，磁矢勢A只有θ分量，而且只是r和z的函數，因此，磁矢勢A可以表示為

電流密度J可以表示為

將(5)式代入(4)式有

由(7)式有

將(3)，(6)和(7)式代入(2)式有

方程(10)的邊界條件為

圖1 霍爾推力器剖面圖

方程(8)，(9)和(10)與上述邊界條件組成了霍爾推力器磁場的數學模型.

在實際計算中，計算區域是一個包含推力器剖面的一個矩形區域，計算區域的邊界離推力器足夠遠，我們取距推力器足夠遠處為無窮遠，并在這個邊界上采用上面的邊界條件.

推力器區域如圖1所示.其中，有3個磁場線圈分別定義為1號線圈，2號線圈，3號線圈，相應的電流分別為 NI1，NI2和 NI3，灰色區域則為鐵物質區域.

計算區域中有鐵物質，而鐵物質的相對磁導率需要通過圖2所示的μ—B曲線得到.方程(10)中的磁導率μ在計算區域中是一個有空間分布的函數.在沒有鐵物質的區域里，我們取磁導率為真空磁導率;在有鐵物質的區域里，先通過μ—B曲線計算出相對磁導率，再乘以真空磁導率作為鐵物質區域的磁導率.

圖2 μ—B曲線

在計算霍爾推力器磁場的時候，需要在上述邊界條件下求解方程(8)，(9)和(10)，這時需要用到磁導率μ;而利用μ—B曲線計算相對磁導率μ時，需要知道磁場B.因此，這是一個具有很強非線性的偏微分方程邊值問題，需要數值求解，并且需要用迭代法.強非線性使得求解很難.

3.數值方法

首先，用有限差分法對模型進行離散.方程(10)的差分格式如下:

方程(8)的差分格式如下:

方程(9)的差分格式如下:

在離散的過程中，假設r方向和z方向的空間步長相等，都是h.整理(11)式得

其中

方程(14)是個具有很強非線性的代數方程組.為了求解這個方程組，我們構造如下的迭代法:

7)輸出結果.

4.數值結果與討論

我們用上面的迭代法計算了3個磁場線圈在不同電流情況下產生的磁場，通過改變3個磁場線圈電流的大小試圖找到理想磁場位形.

理想磁場位形的判斷條件為:1)在通道的中間存在磁場零點;2)磁場在通道出口處沿軸向增加;3)存在磁透鏡位形的磁場.

圖3表示當3個磁場線圈電流分別為NI1=200 A，NI2=350 A和NI3=35 A時整個計算區域的磁場位形.

圖3 整個計算區域磁通 NI1=200 A，NI2=350 A，NI3=35 A

圖4 霍爾推力器磁通 NI1=200 A，NI2=350 A，NI3=35 A

圖4表示當3個磁場線圈電流分別為NI1=200 A，NI2=350 A和NI3=35 A時霍爾推力器的磁場位形.可以看到，在通道中間存在磁場零點.磁場零點的存在使電子被束縛在磁阱里，能夠更好地增加電子對氣體的電離，提高電離效率.

圖5表示當3個磁場線圈電流分別為NI1=200 A，NI2=350 A和NI3=35 A時霍爾推力器通道內的磁場位形.由圖5可以看出，在通道的出口處為磁透鏡位形的磁場，磁透鏡磁場能夠對離子起到匯聚作用，減小羽流散射角，提高推進器的效率.

根據文獻［22］，磁鏡比定義為 Bw/B0，其中 Bw表示器壁處的磁場強度，B0表示通道出口處中心磁場強度.此時通過計算，內外通道磁鏡比分別為3.2730，0.6077，出口處中心磁場大小為 234×10－4T.

圖5 霍爾推力器通道內的磁通 NI1=200 A，NI2=350 A，NI3=35 A

圖6 霍爾推力器通道中心的磁場 NI1=200 A，NI2=350 A，NI3=35 A

圖6為磁場通道中心從陽極區域沿軸向到出口處磁場強度的變化.可以看出磁場沿軸向從陽極區域到出口處不斷增加，即在此組磁場線圈電流下找到了理想磁場位形.

經過大量數值計算，我們在10組電流強度下找到了理想的磁場位形，表1給出了相應的內外通道磁鏡比和通道出口中心處的磁場強度.從表中可以看出，在理想磁場位形下，隨著磁場線圈電流強度的增加，通道出口處磁場強度也隨之增加，但是內外通道磁鏡比并沒有隨著電流強度的增加而增加.

圖7分別給出了5組參數下通道中央沿軸向的磁場分布.由圖7可以看出，在理想磁場位形下，磁場隨著電流強度的增加而增加，但磁場強度的增加主要在通道出口處附近，通道內部磁場幾乎不會受到磁場線圈電流大小的影響.

表1 理想磁場位形中的磁鏡比和出口磁場強度

5.結 論

了霍爾推力器磁場的數學模型.由于模型中包含有鐵物質，使得其具有很強的非線性，很難求解.本文采用有限差分法對模型進行了離散，給出了數值求解模型的迭代法，并對模型進行了數值求解，得到了相應的數值結果.通過對所得數值結果的分析，研究了3個磁場線圈中電流的變化對霍爾推力器磁場位形的影響.通過調整磁場線圈電流的大小可以找到理相的磁場位形，在理想的磁場位形下內通道的磁鏡比在3—3.5之間，外通道的磁鏡比在0.4—0.9之間.理想磁場位形下，增加磁場線圈的電流，通道出口處的磁場強度隨著增加，但不能增加磁鏡比.同時通道內部的磁場強度幾乎不會隨著磁場線圈電流的變化而變化.

感謝哈爾濱工業大學于達仁教授及其研究團隊的老師和學生們給予的幫助和支持，感謝大連理工大學等離子體理論與模擬科技創新團隊的老師和同學提出的寶貴意見.

本文基于麥克斯韋方程，在軸對稱假設下建立

［1］Boeuf J P，Garrigues L 1998Appl.Phys.Lett.84 3541

［2］Guerrini G，Michaut C 1999Phys.Plasmas6 343

［3］Choueiri E Y 2001Phys.Plasmas8 1411

［4］Yu D R，Wei L Q，Zhao Z Y，Han K，Yan G Y 2008Phys.Plasmas15 043502

［5］Yu D R，Wang C S，Wei L Q，Gao C，Yu G 2008Phys.Plasmas15 113503

［6］Meezank N B，Hargus W A，Cappelli Jr M A 2001Phys.Rev.E 63 026401

［7］Smirnov A，Raitses Y，Fisch N J 2004Phys.Plasmas11 4922

［8］Meezan N B，Cappelli M A 2002Phys.Rev.E 66 036401

［9］Ahedo E，Gallardo J M，Martinez-Sanchez M 2003Phys.Plasmas10 3397

［10］Gascon N，Dudeck M，Barral S 2003Phys.Plasmas10 4123

［11］Barral S，Makowski K，Peradzynski Z，Gascon N，Dudeck M 2003Phys.Plasmas10 4137

［12］Yu D R，Li Y Q，Song S H 2006J.Phys.D:Applied Physics39 2205

［13］Raitses Y，Staack D，Smirnov A，Fisch N J 2005Phys.Plasmas12 073507

［14］Francesco T，Savino L，Mario C 2005Phys.Plasmas12 093506

［15］Francesco T，Savino L，Mario C，Ralf S 2009Appl.Phys.Lett.94 251502

［16］Yu D R，Zhang F K，Li H，Liu H 2009Acta Phys.Sin.58 1844(in Chinese)［于達仁、張鳳奎、李 鴻、劉 輝 2009物理學報 58 1184］

［17］Sydorenkoa D，Smolyakov A，Kaganovich I，Raitses Y 2006Phys.Plasmas13 014501

［18］Raitses Y，Smirnov A，Staack D，Fisch N J 2006Phys.Plasmas13 014502

［19］Garrigues L，Hagelaar G J M，Boniface C，Boeuf J P 2006J.Appl.Phys.100 123301

［20］Peterson P Y，Gallimore A D，Haas J M 2002Phys.Plasmas9 4354

［21］Garrigues L，Hagelaar G J M，Bareilles J，Boniface C，Boeuf J P 2003Phys.Plasmas10 4886

［22］Keidar M，Boyd I D 2005Appl.Phys.Lett.87 121501

［23］E P，Yu D R，Wu Z W，Han K 2009Acta Phys.Sin.58 2535(in Chinese)［鄂 鵬、于達仁、武志文、韓 軻 2009物理學報 58 2535］

［24］Yu D R，Li J，Li H，Li Y，Jiang B H 2009Plasma Sci.Technol.11 714

［25］Geng S F，Tang D L，Zhao J，Qiu X M 2009Acta Phys.Sin.58 5520(in Chinese)［耿少飛、唐德禮、趙 杰、邱孝明 2009物理學報58 5520］

PACS:52.75.Di，41.20.Gz

Numerical study on Hall thruster magnetic configuration and its optimization

Deng Li-Yun Lan Hong-Mei Liu Yue?
(School of Physics and Optoelectronic Technology，Dalian University of Technology，Dalian 116024，China)
(Received 20 April 2010;revised manuscript received 6 May 2010)

Based on Maxwell's equations，under axis-symmetric assumption，a mathematical model of the magnetic field of a Hall thruster is established.A finite difference method is used for discretizing the model.An iterative method for numerically solving the model is given.The numerical results are obtained.From analysis of the results，the effect of the current in the magnetic field coils on the magnetic configuration of a Hall thruster is investigated.Through adjusting the current，the ideal magnetic configurations are found.It was shown that，for ideal magnetic configuration，the magnetic mirror ratio in the inner channel is between 3 and 3.5，and the magnetic mirror ratio in the outer channel is between 0.4 and 0.9.With the increasing of the current in the magnetic field coils，the magnetic field at the exit of the channel increases，but the magnetic mirror ratio cannot be increased.The magnetic field in the inner channel hardly changes with change of the currents in the magnetic field coils.

Hall thruster，magnetic configuration，current in magnetic field coil，magnetic mirror ratio

?通訊聯系人.E-mail:liuyue@dlut.edu.cn

?Corresponding author.E-mail:liuyue@dlut.edu.cn