厄米-高斯光束在熱非局域介質中傳輸的數值模擬研究*

李少華 楊振軍 陸大全 胡 巍

(華南師范大學信息光子技術廣東省高校重點實驗室，廣州 510631)(2010年1月27日收到;2010年5月6日收到修改稿)

厄米-高斯光束在熱非局域介質中傳輸的數值模擬研究*

李少華 楊振軍 陸大全 胡 巍?

(華南師范大學信息光子技術廣東省高校重點實驗室，廣州 510631)(2010年1月27日收到;2010年5月6日收到修改稿)

基于非線性薛定諤方程和熱擴散的泊松方程，采用分步傅里葉算法以及多重網格法對厄米-高斯光束在不同形狀的熱非局域介質鉛玻璃中的傳輸進行了數值模擬研究.結果表明，低階厄米-高斯光束可以較為穩定地在鉛玻璃中傳輸.高階厄米-高斯光束在鉛玻璃中傳輸變得不穩定，并且階數越高，穩定性越差.樣品的形狀對于厄米-高斯光束的影響很大.在正方形樣品中，厄米-高斯光束的傳輸與Snyder-Mitchell模型符合得相對較好.在矩形樣品中厄米-高斯光束在傳輸過程中的強度分布將發生較大的變化.

非局域非線性介質，厄米-高斯光束，光束傳輸

PACS:42.65.Tg，42.65.Jx

1.引 言

光孤子自從 1973年被 Hasegawa和 Tappert［1］提出以后，引起了人們廣泛研究.空間光孤子是光束在傳播過程中由非線性效應平衡衍射效應的結果，空間光孤子一直是非線性光學研究前沿.光孤子在全光網絡，光通信以及光邏輯器件方面有著非常重要的應用［2—4］. 在 Snyder 和 Mitchell［5］開創性地提出強非局域下空間光孤子模型后，有關強非局域非線性介質中的孤子研究在近幾年一直是熱點.Guo等［6］在理論上提出和論證了在強非局域下孤子傳輸會出現大相移現象，為邏輯門和光開關的實現提供了一個強有力的理論指導.但是Snyder模型為簡化的理想模型，在真實的物理系統中，光束的傳輸將變得更加復雜，而且理論和數值模擬表明，高階孤子不能夠穩定傳輸.在不同非局域程度下，不同非線性介質中的光孤子的傳輸性質以及孤子間的相互作用的研究已取得了很大的成果［7—12］.

最近有人展開一系列關于有界非局域介質的理論和實驗研究［13—15］，其中包括液晶和鉛玻璃.不像在弱非局域和高斯響應的介質，在熱非局域介質中，熱效應的響應函數和介質邊界的熱擴散有關.因此，在熱非局域介質中，樣品的幾何形狀對于孤子的結構和形狀具有巨大的影響.鉛玻璃是一種目前被證實比較典型的熱非局域介質，研究在鉛玻璃中的孤子傳輸性質也引起了廣泛的關注.Segev等［16］在鉛玻璃試驗中發現了橢圓孤子以及單孤子偏轉振蕩的現象，并且還發現了非局域表面孤子.我們通過理論研究推算出了有界的鉛玻璃的響應函數以及光束中心的振蕩軌跡，并且給出了光束振蕩周期和輸入功率的理論關系［17］.

本文在以上工作的基礎上做了針對厄米-高斯在鉛玻璃里傳輸性質的數值研究.在前期的工作中，只是研究了光束中心軌跡的傳輸，未涉及光束光強分布的演化和穩定性問題.本文進一步討論了在熱非局域介質中，不同階數厄米-高斯光束傳輸過程中所表現出來的光強分布的演化和高階厄米-高斯光束傳輸的穩定性，以及在具有正方形和矩形邊界的樣品中，厄米-高斯光束傳輸過程中展現出的不同性質.同時對于不同入射方式下厄米-高斯光束的傳輸性質也進行了比較.

2.理論模型

在熱非局域介質中，光束的光強是介質中的熱源，熱量向邊界擴散，引起介質溫度的重新分布，從而導致折射率變化，所以在熱非局域介質中的折射率分布不僅由光束的光強決定，而且介質的邊界對折射率分布也有著重要的影響.

傍軸光束在鉛玻璃中的傳輸可以由非線性薛定諤方程［16］來描述.非線性薛定諤方程由下式給出

其中E代表傍軸光束，k表示僅考慮線性折射率時的波數，n0表示線性折射率，Δn表示折射率的改變量.鉛玻璃中的熱擴散過程可以用泊松方程［18］來描述

其中 κ 是熱傳導系數，T(x，y，z)表示溫度分布，I(x，y，z)表示光束的光強，α是介質的熱吸收系數.折射率的變化可以表示為 Δn=β(T－T0)，其中 β是介質的熱光系數，T0表示邊界處的溫度(本文假設邊界處為恒溫).

為數值模擬的方便，采用下述歸一化對(1)和(2)式進行簡化.得到歸一化后的(1)和(2)式為:

3.數值分析

本文主要模擬和討論厄米-高斯光束在方形和矩形鉛玻璃里中的傳輸，分析邊界對厄米-高斯光束的影響，重點討論厄米-高斯光束在傳輸中的強度分布的變化以及其在傳輸中的穩定性.厄米-高斯光束可以表示為其中A是與功率有關的常數.在數值模擬中，正方形樣品的邊長用D表示;矩形樣品的長邊和短邊分別用DL和DS分別表示，矩形樣品的長寬比為τ=DL/Ds=2，其中短邊為X方向，長邊為Y方向.光束都是采用中心入射的方式.

3.1.基模高斯光束

首先研究(0，0)階厄米-高斯光束，即基模高斯光束在鉛玻璃中的傳輸性質.在液晶介質中，不存在嚴格的孤子功率［21］，即保持光束寬度始終不變的功率.同樣鉛玻璃中由于邊界的作用使熱擴散不均勻，從而邊界對于光束的作用也不均勻，所以也不存在光束寬度保持嚴格不變的孤子.事實上我們經過大量的模擬證明了這一點，無論如何調整輸入功率，光束的束寬總是保持著振蕩的，所以我們定義能夠保持光束寬度的變化小于2%的功率為臨界功率PC.在方形樣品和矩形樣品中，高斯光束都可以存在形成孤子的臨界功率.臨界功率下，從束寬W的變化圖(如圖1)發現，由于樣品的形狀不同，孤子的束寬變化不同(但束寬變化都小于2%).在方形樣品中(圖1(a))，X方向和Y方向的束寬變化是一致的，所以光束總是呈圓形;然而在矩形樣品中(圖1(b))，束寬在X方向和Y方向上有微小的差別:短邊X方向的束寬基本上總是小于長邊Y方向的束寬，但光束的橢圓度很小，所以很難分辨出光束是橢圓型的.我們認為其原因是，在矩形樣品中，熱量沿樣品的短邊即X方向擴散時先受到邊界的作用，所以對光束在X方向上有一個比Y方向更大的壓縮作用.

其次，我們模擬和研究了非臨界功率時高斯光束在鉛玻璃中的傳輸性質.經過大量的數值模擬可知，非臨界功率下，高斯光束在方形樣品中在非臨界功率下傳輸時可以形成穩定的呼吸子，而在矩形樣品中傳輸時是一個準周期橢圓呼吸的過程.圖2給出了3倍臨界功率下高斯光束的束寬變化圖.其中圖2(a)是方形樣品中高斯光束在大功率傳輸時X方向和Y方向的束寬變化曲線，虛線表示X方向的束寬變化，實線表示Y方向的束寬變化.可以看到虛線和實線基本重合，很難分辨.這說明兩個方向上的束寬變化是完全一致的，光束在傳輸過程中的呼吸效應沒有改變光束的形狀，光束一直是保持一個圓形.圖2(b)是高斯光束在大功率下矩形樣品中傳輸時X方向和Y方向的束寬變化曲線，從結果可以看到X方向和Y方向的束寬變化及其包絡變化都是一個準周期性呼吸變化.當Y方向的束寬振蕩到包絡的最頂點時，X方向的束寬正好振蕩到束寬包絡的最低谷，此時光束的形狀是一個橢圓.如Z=7處的光束強圖分布圖(圖3(b)).當X方向和Y方向的束寬變化曲線重合時，此時光束的形狀又回到了圓(圖3(c)).這是由于光束在傳輸過程中，光束強度的變化是一個分數傅里葉變換的過程［22］.當光束成一個橢圓形狀時，分數傅里葉變換在X軸和Y軸方向的積分范圍不同，使得光束光強變化在X軸和Y軸方向上分數傅里葉變換的周期不相等，導致在光束的傳輸過程中，光束的兩個方向上的束寬變化步調不一致，也就是說橢圓的長短軸一直在改變，即模擬結果中光束的束寬一直在變化.同時從圖2(b)可以看出，當光束束寬越大時，包絡的振蕩越劇烈，光束束寬越小時，包絡的振蕩越平緩.由此可知光束束寬越大，邊界對于光束的影響越大.比較圖2(a)和(b)的實線可知，在X方向上光束矩形樣品中的束寬總是小于方形樣品中的束寬，所以光束在矩形短邊X方向上受到了壓縮作用，這和臨界功率下高斯光束的性質是一致的，只是在大功率下，光束橢圓度的較高，邊界作用較明顯.

圖2 3倍臨界功率下高斯光束的光束束寬圖 (a)方形樣品中光束束寬圖，其中模擬參數是A3pc=12.0，D=20;(b)矩形樣品中光束束寬圖，其中模擬參數是A3pc=12.0，DL=20

為了更直觀地理解樣品形狀對于高斯光束的影響，我們模擬了光束在不同傳輸距離時的強度分布圖，見圖3和4.從光束傳輸強度分布圖可以明顯看出:在大功率下，高斯光束在不同形狀的樣品中呈現不同的傳輸性質，在方形樣品中可以形成較穩定的呼吸子，并且可以穩定傳輸很遠的距離.而在矩形樣品中卻出現準周期性橢圓呼吸的形狀，這與上面的分析和結果符合得很好.為驗證高斯光束在鉛玻璃中傳輸的穩定性，我們模擬了加入微擾的情況下、高斯光束臨界功率時在方形樣品和矩形樣品中的傳輸.假設初始光場為(1+η·ρ(X，Y))ψ，其中 ρ(X，Y)為一個在(－1，1)之間隨機取值的函數，η=0.1，模擬結果見圖5.從圖5可知，在加入微擾的情況下，無論在方形樣品還是矩形樣品中，高斯孤子都是穩定的.但是經過大量的模擬發現，在矩形樣品中這種穩定性會隨著樣品的長度變小而被破壞，隨著樣品邊界的減小，光束傳輸越來越不穩定.

3.2.低階厄米-高斯光束

在體介質中，由高斯光束取π的相位差形成的偶極孤子是可以線性穩定傳輸的［23］.對于非局域非線性介質，邊界對于偶極孤子的傳輸有著很大的影響.例如，在由液晶分子排列方向決定非局域程度的向列液晶介質中，偶極孤子的振幅和相位的振蕩性已被充分地討論和研究［24］，向列液晶分子排列方向對偶極孤子的傳輸穩定性有著很大的影響.在這節中我們討論厄米-高斯光束中的偶極孤子，即(0，1)厄米-高斯光束在鉛玻璃中的傳輸性質，研究鉛玻璃介質邊界對(0，1)厄米-高斯光束傳輸性質的影響以及光束傳輸的穩定性.對于(0，1)階厄米-高斯光束入射矩形樣品時，可采取兩種不同的入射方式:一種是平行入射方式，即光束的長邊平行于矩形樣品的長邊(如圖6(a));另一種是正交入射方式，即光束的長邊平行于矩形樣品的短邊(如圖6(b)).這兩種不同的入射方式使光束在樣品中產生不同的折射率分布，從而能夠使得邊界對光束在鉛玻璃中的傳輸產生不同的影響.

和基模高斯光束一樣，先從束寬的角度來分析低階厄米-高斯光束的傳輸性質.經過大量的模擬發現，無論如何調整入射功率，都找不到光束在 X和Y方向同時保持不變的功率.當光束束寬在Y方向上保持微小振蕩時，在X方向上是明顯呼吸效應(如圖7);而當束寬保持X方向微小振蕩時，在Y方向上則是明顯的呼吸效應，這和基模高斯光束在臨界功率下兩個方向都能保持孤子傳輸有著明顯不同.這是由于(0，1)階厄米-高斯光束是非對稱光束，X和Y方向的初始束寬不相等，而在鉛玻璃中，孤子的臨界功率只是和光束的束寬有關［17］，所以非對稱光束在X和Y方向的臨界功率是不相等的.比較圖7(a)中的3條束寬變化曲線可知，在臨界功率下，平行入射矩形樣品時Y方向上的束寬基本上總是最大，方形樣品次之，正交入射時最小.這也就是說，矩形的短邊會給光束一個比長邊更大的壓縮力，使該方向上的光束被壓縮.

為了深入理解邊界對低階厄米-高斯光束的影響，我們接著模擬了低階厄米-高斯光束以不同方式入射矩形樣品在不同傳輸距離時的強度分布(見圖8和9).對比圖8(b)和9(b)可以看出，矩形的短邊對于光束有壓縮的作用，這一點正好說明了上面束寬分析的正確性.并且從折射率等高線圖(圖10)可以看出，在矩形樣品中，短邊方向的溫度梯度大于長邊方向的溫度梯度，也就是短邊方向的折射率梯度大于長邊方向的折射率梯度，在等高線圖中就是短邊方向的等高線密度密一些，而長邊方向的等高線密度疏一些.這樣兩者相比較，光束在短邊方向上就如同被壓縮，相對在長邊方向上就如同被拉伸.

圖9 矩形樣品中(1，0)階厄米-高斯光束(正交入射)的強度分布圖 (a)Z=0，(b)Z=1，(c)Z=2，(d)Z=3，(e)Z=4，(f)Z=5，(g)Z=64，(h)Z=100(模擬參數和光束圖相同)

為了驗證低階厄米-高斯光束在熱非局域介質中傳輸的穩定性，我們模擬了加入微擾后的低階厄米-高斯光束(1+ η·ρ(X，Y))ψ，在臨界功率下在方形樣品和矩形樣品中傳輸的穩定性(圖11).比較圖11各分圖可知，在加入了微擾的情況下，光束平行入射矩形樣品的傳輸最穩定，在方形樣品的傳輸穩定性次之，正交入射矩形樣品的傳輸最不穩定，這和偶極孤子［25］的穩定性相匹配.

圖11 在加入10%微擾的下(0，1)階厄米-高斯光束的強度圖(a)平行入射矩形樣品，Z=0;(b)平行入射矩形樣品，Z=390;(c)正交入射矩形邊界，Z=0;(d)正交入射矩形邊界，Z=64;(e)方形樣品，Z=0;(f)方形樣品，Z=64

3.3.高階厄米-高斯光束

在這一部分將討論高階厄米-高斯光束在鉛玻璃中的傳輸性質.在Snyder-Mitchell模型下高階厄米-高斯光束可以形成穩定的孤子的傳輸.而在高斯響應下，非局域程度對于高階厄米-高斯光束傳輸有著很大的影響［26］.但Snyder-Mitchell模型與高斯響應都是理想情況，實際中并不存在，所以研究在有界熱非局域介質中的高階厄米-高斯光束的傳輸性質更有實際意義.我們通過數值模擬發現，高階厄米-高斯光束在鉛玻璃中的傳輸都是不穩定的，但是光束在近距離傳輸過程中光強分布會出現周期性的演化.

高階厄米-高斯光束有多個極，并且各極之間呈矩陣分布，所以我們把高階厄米-高斯光束稱為(m+1)×(n+1)矩陣光束，例如(1，1)階厄米-高斯光束稱為2×2矩陣光束，更高階的光束依次類推.首先討論(1，1)階厄米-高斯光束，圖12是2×2矩陣光束在鉛玻璃中傳輸到不同距離的強度分布圖.從模擬結果可以看出，無論是在方形樣品還是矩形樣品中，2×2矩陣光束都可以保持4極狀態穩定地傳輸一段距離.在穩定傳輸一段距離后，我們觀察到了兩種光束花樣的相互轉化，光束從四極矩陣光束演化成一個類似圓環狀的光束，并且這種光束花樣演化是具有周期性的，盡管這種周期性是不穩定的.這和高斯響應下厄米-高斯和拉蓋爾高斯光束簇可以相互轉化的性質是相一致的［27］，這說明鉛玻璃作為一種典型的實際存在的強非局域介質能體現著強非局域介質的固有的性質.同時比較圖12(a)—(f)和(g)—(l)可以看出:2×2矩陣光束在方形樣品中可以穩定傳輸的距離比在矩形樣品中穩定傳輸的距離要長，這是由于方形樣品相比矩形樣品有著更加對稱的折射率分布，從而能夠對具有均勻對稱性質的2×2矩陣光束各極保持更加均衡的作用，因此在方形樣品中可以穩定傳輸更遠的距離.而且由于樣品形狀不一樣，矩陣光束的各極受到邊界的壓縮作用不一樣，相當于對光束施加了一個力矩作用，因此光束發生了一個角度的偏轉.

為了更加全面地研究熱非局域介質中高階厄米-高斯光束強度花樣演化的性質，我們繼續討論更高階厄米-高斯光束的傳輸性質.同樣，首先研究光束在方形樣品中的傳輸性質，與四極光束一樣，(1，2)階厄米-高斯光束在方形鉛玻璃中傳輸時也會發生類似的周期性的花樣演化.其中2×3矩陣光束轉化為一個半開的類圓環狀的光束，如圖13(a)—(d)，這和體介質中孤子態的相互轉化［28］是類似的;但是這種演化在經過了兩個周期后，光束的花樣變化不會重現，這是由于邊界的作用，這種周期性的花樣轉化是不穩定的.接著模擬矩形樣品中高階厄米-高斯光束的傳輸性質，以研究樣品形狀對于高階厄米-高斯光束花樣演化的影響.從模擬結果發現，2×3矩陣光束在傳輸一段距離后都會演化成一個橢圓形項鏈光束，如圖13(e)—(h).為了進一步驗證我們的結果，我們模擬了3×3和3×4矩陣光束在矩形樣品中的傳輸，同樣會出現矩陣光束向橢圓形項鏈光束的轉化現象.對比在方形樣品中矩陣光束向類圓環的光束演化，這說明樣品的形狀對于高階厄米-高斯光束的傳輸有很大的影響，樣品形狀不同，花樣演化的形狀也不同.并且可以看出由于矩形樣品的邊界對于對光束的影響不一致，橢圓形項鏈光束的長軸總是平行于矩形邊界的長邊，這和低階厄米-高斯光束在矩形樣品中被壓縮的性質是一致的.

圖12 (1，1)階厄米-高斯光束傳輸不同位置的強度圖 (a)—(f)是方形樣品，Z=0，44，84，92，100，108，花樣演化的周期 ZT=16，模擬參數是 Apc=3.00，D=20;(g)—(l)是矩形樣品，Z=0，38，76，84，92，100，花樣演化的周期 ZT=16，樣品的形狀沒有改變花樣演化的周期，模擬參數是 Apc=3.00，DL=20

圖 13 (1，2)階厄米-高斯光束傳輸不同距離的強度圖 (a)—(d)是在方形樣品，Z=0，70，75，80，Apc=1.00，D=20;(e)—(h)是正交入射矩形樣品，Z=0，10，17，22，Apc=1.00，DL=20

綜上可知，高階厄米-高斯光束在熱非局域介質中不能穩定傳輸，階數越高，光束傳輸越不穩定，但是光束會出現周期性的花樣的演化.樣品的形狀對于光束花樣演化有很大影響.在方形樣品中，光束會從一個矩陣光束演化成一個環狀的光束，再回到矩陣光束;而在矩形樣品中，高階厄米-高斯光束會演化成一個橢圓形項鏈光束.

4.結 論

本文用數值模擬的方法研究了在熱非局域介質中不同階數厄米-高斯光束的傳輸性質.通過模擬驗證了熱非局域介質中低階厄米-高斯孤子的存在，發現在熱非局域介質中，隨著階數的增加，厄米-高斯光束越來越不穩定.對于基模高斯光束而言，在臨界功率下，高斯光束能夠形成穩定的孤子傳輸，邊界的影響幾乎可以忽略;在大功率下，邊界對高斯光束的傳輸性質有很大的影響.通過比較非對稱厄米-高斯光束不同方式入射矩形樣品的模擬結果，發現矩形的短邊對光束具有壓縮作用.對高階厄米-高斯光束而言，光束并不會像在理想的Snyder模型中可以保持孤子傳輸，而是會出現有趣的周期性花樣演化，樣品的形狀對于光束花樣演化有著很大的影響，而且高階厄米-高斯光束在鉛玻璃中的傳輸都是不穩定的.本文的結果揭示了鉛玻璃在光信息無失真傳輸和圖像處理當中的應用，同時對于熱非局域介質實驗具有一定的參考意義.在此基礎上我們將繼續研究在實際的熱非局域介質中其他孤子解的傳輸特性.

［1］Hasegawa A，Tappert F 1973Appl.Phys.Lett.23 142

［2］Suter D，Blasberg T 1983Phys.Rev.A 48 4583

［3］Desyatnikov A S，Sukhorukov A A，Kivshar Y S 2005Phys.Rev.Lett.95 203904

［4］Kip D，Soljajic M，Segev M，Eugenieva E，Christodoulides D N 2000Science290 495

［5］Snyder A W，Mitchell D J 1997Science276 1538

［6］Guo Q，Luo B，Yi F，Chi S，Xie Y 2004Phys.Rev.E 69 016602

［7］Zhu Y Q，Long X W，Hu W，Cao L G，Yang P B 2008Acta Phys.Sin.57 2260(in Chinese)［朱葉青、龍學文、胡 巍、曹龍貴、楊平保2008物理學報57 2260］

［8］Yang P B，Cao L G，Hu W，Zhu Y Q，Guo Q，Yang X B 2008Acta Phys.Sin.57 285(in Chinese)［楊平保、曹龍貴、胡巍、朱葉青、郭 旗、楊湘波2008物理學報57 285］

［9］Shao Y Q，Guo Q 2006Acta Phys.Sin.55 2751(in Chinese)［邵毅全、郭 旗2006物理學報55 2751］

［10］Guo Q，Zhang X P，Hu W，Shou Q 2006Acta Phys.Sin.55 1832(in Chinese)［郭 旗、張霞萍、胡 巍、壽 倩 2006物理學報 55 1832］

［11］Zheng Y J，Xuan W T，Lu D Q，OuYang S G，Hu W，Guo Q 2010Acta Phys.Sin.59 1075(in Chinese)［鄭亞建、宣文濤、陸大全、歐陽世根、胡 巍、郭 旗2010物理學報59 1075］

［12］Chen L X，Lu D Q，Hu W，Yang Z J，Cao W W，Zheng R，Guo Q 2010Acta Phys.Sin.59 327(in Chinese)［陳利霞、陸大全、胡 巍、楊振軍、曹偉文、鄭 睿、郭 旗2010物理學報 59 327］

［13］Rotschild C，Segev M，Xu Z，Kartashov Y V，Torner L，Cohen O 2006Opt.Lett.31 3312

［14］Rotschild C，Alfassi B，Cohen O，Segev M 2006Nature Physics2 769

［15］Dreischuh A，Neshev D N，Petersen D E，Bang O，Krolikowski W 2006Phys.Rev.Lett.96 043901

［16］Rotschild C，Cohen O，Manela O，Segev M，Carmon T 2005Phys.Rev.Lett.95 213904

［17］Liang Y B，Zheng Y J，Yang P B，Cao L G，Lu D Q，Hu W，Guo Q 2008Acta Phys.Sin.57 5690(in Chinese)［梁炎斌、鄭亞建、楊平保、曹龍貴、陸大全、胡 巍、郭 旗2008物理學報 57 5690］

［18］Iturbe-Castillo M D，Stepanov S，Sanchz-Mondragon J J 1996Opt.Lett.21 1622

［19］Agrawal G P Translated by Jia D F，Yu Z H，Tan B，Hu Z Y 2002Nonlinear Fiber Optics and Application of Nonlinear Fiber Optic(Beijing:Electronic Industry Press)pp34，35(in Chinese)［Agrawal G P著賈東方、余震虹、談 斌、胡智勇譯2002非線性光纖光學原理及應用 (北京:電子工業出版社)第34，35頁］

［20］Teukolsky S A，Vetterling W T，Flannery B P Translated by Fu Z Y，Zhao M N，Ding Y 1995Numerical Recips in C:The Art of Scientific Computing(Beijing:Electronic Industry Press)pp734—749(in Chinese)［Teukosky S A，Vetterling W T，Flannery B P著傅祖蕓、趙海娜、丁 巖譯1995 C語言數值算法程序大全 (北京:電子工業出版社)第 734—749頁］

［21］Strinic A I，Petrovic M，Timotijevic D V，Aleksic N B，Belic M R 2009Opt.Express17 11698

［22］Lu D Q，Hu W，Zheng Y J，Liang Y B，Cao L G，Lan S，Guo Q 2008Phys.Rev.A 78 043815

［23］Garcia-Ripoll J J，Perez-Garcia V M，Ostrovskaya E A，Kivshar Y S 2000Phys.Rev.Lett.85 82

［24］Garcia-Reimbert C，Minzoni A A，Marchant T R，Smyth N F，Worthy A L 2008PhysicaD 237 1088

［25］Ye F W，Kartashov Y V，Torner L 2008Phys.Rev.A 77 043821

［26］Deng D M，Zhao X，Guo Q，Lan S 2007J.Opt.Soc.Am.B 24 2537

［27］Buccoliero D，Desyatnikov A S，Krolikowski W，Kivshar Y S 2007Phys.Rev.Lett.98 053901

［28］Buccoliero D，Desyatnikov A S 2009Opt.Express17 9609

PACS:42.65.Tg，42.65.Jx

Numerical study of Hermite-Gaussian beams in nonlocal thermal media*

Li Shao-Hua Yang Zhen-Jun Lu Da-Quan Hu Wei?
(Laboratory of Photonic Information Technology，South China Normal University，Guangzhou 510631，China)
(Received 27 January 2010;revised manuscript received 6 May 2010)

Based on the nonlocal nonlinear Schr?dinger equation and Poisson equation of thermal diffusion，using the slip-step Fourier algorithm and multi-grid method，we numerically investigated the propagation properties of Hermite-Guassian beams in the nonlocal thermal media.The results show that low-order Hermite-Gaussian beams can propagate stably，in contrast with the unstable propagation of high-order Hermite-Gaussian beams.The worse the stability is，the higher the order is.The effect of the boundary of the sample with different cross sections on the propagation properties of Hermite-Guassian beam is also discussed in detail.We found that propagation properties in square geometry are in agreement with those in Snyder-Mitchell model.However，in rectangular sample，the evolution of intensity distribution of Hermite-Gaussian beams differs seriously from that in the square sample.

nonlocal nonlinear media，Hermite-Gaussian beams，beam propagation

*國家自然科學基金(批準號:10674050，10804033)、教育部高等學校博士點專項科研基金(批準號:200805740002)和廣東省高等學校科技創新團隊計劃(批準號:06CXTD005)資助的課題.

?通訊聯系人.E-mail:huwei@scnu.edu.cn

*Project supported by the National Natural Science Foundation of China(Grant Nos.10674050，10804033)，the Specialized Research Fund for the Doctoral Program of Higher Education of China(Grant No.200805740002)and the Program for Innovative Research Team of the High Education in Guangdong Province，China(Grant No.06CXTD005).

?Corresponding author.E-mail:huwei@scnu.edu.cn