運用動態Lorentz庫實現對激發態原子動力學特性的調控*

黃仙山 劉海蓮2 羊亞平 石云龍

1)(安徽工業大學數理學院，馬鞍山 243000)

2)(山西大同大學固體物理研究所，大同 037009)

3)(同濟大學物理系，上海 200092)

(2010年3月14日收到;2010年5月4日收到修改稿)

運用動態Lorentz庫實現對激發態原子動力學特性的調控*

黃仙山1)劉海蓮1)2羊亞平3)石云龍2)?

1)(安徽工業大學數理學院，馬鞍山 243000)

2)(山西大同大學固體物理研究所，大同 037009)

3)(同濟大學物理系，上海 200092)

(2010年3月14日收到;2010年5月4日收到修改稿)

從理論上討論了運用動態的Lorentz庫環境實現對處于激發態的兩能級原子演化過程的調控.研究發現，Lorentz庫環境的變化導致腔內電磁模式與腔外電磁模式之間相互作用，從而產生電磁模式密度重新分配;當庫環境的變化頻率和原子與環境之間交換能量的過程保持一致時可以實現相對穩定的相干性演化，衰減效應得到明顯的抑制.

動態庫，激發態原子，量子調控

PACS:42.50.Pq，32.80.Qk

1.引 言

量子世界帶給我們最迷人的特性就是微觀世界的量子相干性，這種量子世界最本質的特性使得我們看到了巨大的應用前景.利用操縱線性疊加態進行并行計算的量子計算機就是其中最具誘惑力的代表.這些應用的前提就是獲得可以操縱或保持量子態的相干性.然而，現實中的量子系統并非孤立的，必然要和環境發生相互作用，由于受到環境中巨大數量自由度的影響，量子系統與環境之間相互作用的結果是:量子系統原本的相干性將會受到破壞，出現不可逆的量子退相干現象，同時量子系統能量發生耗散(系統與環境之間進行了能量交換).

處于激發態的原子與真空環境中巨大的電磁模式之間的相互耦合，就是導致原子自發輻射現象的產生，原子系統相干性被破壞的原因.量子退相干出現的本質就是量子系統與環境之間發生了不可逆的耦合，使得量子系統由相干的疊加態變為退相干的混合態.量子系統本身的“脆弱性”和與環境之間耦合的必然性，導致了在運用量子領域控制量子系統的相干性成了一個重要的研究方向.

由于微觀量子系統存在波動性、隨機性等特殊性質，經典的、成熟的控制理論和方法不能直接運用于量子系統.雖然歷經二十多年的努力并取得一定進展，但尚缺乏統一方案和做法，量子控制理論［1—4］還處于一個迅速發展的過程.目前文獻中提出的關于量子控制的方法和理論很多，例如，被廣泛應用于控制粒子運動，改變化學反應的量子系統開環控制［5］、基于連續測量的量子反饋控制［2］，以及如何提高系統控制性能的Robust控制等等均在不同領域引起了人們極大的興趣和關注.然而，量子系統與周圍環境之間的相互耦合是量子態進行演化的動力，也是使得量子系統由線性相干的疊加態逐漸演變為相干性消失的混和態的原因所在.我們設想通過實時操縱與量子系統耦合的庫環境，一定會對量子態的演化產生影響.

在量子信息學領域，腔量子電動力學方案一直是人們所關注的重點之一［6—11］.近年來，隨著光學微腔制備技術的提高，為原子微腔方案創造了實驗的基礎［12，13］.本文將理論研究通過改變一個微腔所產生的Lorentz庫環境的半寬度γ和中心共振頻率ωc實現對一個初態處于激發態的兩能級原子系統演化的調控.研究發現，庫環境的變化必然導致腔內模式與腔外模式之間相互作用，從而產生電磁模式密度重新分配;當庫環境的變化頻率和原子系統與環境之間交換能量的過程保持一致時，可以實現相對穩定的布居振蕩，否則系統演化的周期將被破壞而逐漸失去相干性.

2.基本理論

考慮一個處于腔中的初態為激發的兩能級原子，在偶極近似和旋波近似下，系統的哈密頓量可以寫成以下形式:

式中ω1為原子共振躍遷頻率，k表示電磁模的動量和極化表示輻射場中第k個模式的產生算符(湮滅算符)d1(ud1)為激發態能級到基態之間的躍遷偶極矩d1的大小(方向單位矢量)，V0是量子化體積，ek表示真空模k兩個偏振方向的單位矢量，ωk表示輻射光子的頻率，ε0為真空介電常數.

任意時刻t 系統狀態矢量可以寫成

由Schr?dinger方程可以得到系統演化的動力學方程為

對一般的腔而言，其光子的態密度為Lorentz型的分布，稱為Lorentz型光子庫

其中ωc為腔的共振頻率;γ為 Lorentz型光子庫的半寬度，表征了能量由腔內向外泄漏的快慢.原子系統與腔環境之間的相互作用，不僅體現在腔中每個電磁模式(量子化的一個個諧振子)與原子系統之間的相互作用，同時，腔中的電磁模式與外界環境之間也不是孤立的，它們之間也存在耦合，逐漸將腔中的能量傳播出去.原子與腔環境系統的特性取決于gω與γ之間的關系(為了方便考慮，本文中均取gω=1).可以設想，在實驗中通過實時改變微腔的腔長和反射面的透射率，分別實現Lorentz型光子庫的諧振頻率ωc(t)和半寬度γ(t)的變化，從而產生動態的庫環境.下面我們將討論激發態原子動力學特性受動態Lorentz環境的影響.

3.運用動態 Lorentz庫實現對激發態原子動力學特性的調控

激發態原子在動態Lorentz庫環境中的演化，首先考慮庫中心諧振頻率ωc受到單次矩形脈沖調制的情形.由(7)式原子所處的動態庫環境可以寫成

圖1給出了庫的中心諧振頻率ωc(t)受到同一時刻起點、不同時間段的單次矩形脈沖調制的結果.在調制的時間段內，原子的共振躍遷頻率與庫的中心諧振頻率是失諧的;開始沒有調制時間內，以及調制以后時間內原子與庫的中心頻率之間是共振的.

圖1中實線給出的是沒有調制的、原子與庫的中心頻率之間始終共振的演化.可以看出，單次失諧脈沖調制對于系統原來相干性演化存在一定的破壞性，原子系統在與庫之間相互作用開始演化，當調制脈沖出現，打斷了原子與原來庫環境之間建立的相互作用，同時與脈沖提供的新的庫環境相互作用繼續演化.隨著調制脈沖的時間增加，調制脈沖變化帶給系統相干性演化的破壞性作用也在逐漸增加.

我們考察了Lorentz庫的半寬度受到單次矩形脈沖調制的情形.由(7)式，動態庫環境的形式可以寫成

圖1 單次矩形脈沖調制Lorentz庫中心頻率 ωc對上能級布居數演化的影響 內插圖為局部放大.γ=0.2，原子共振躍遷頻率ω1=100β;庫的中心諧振頻率ωc=100β，調制時間段變為ωc=102β;t為相對時間，以β為單位;P為原子處于上能級布居數，β為無單位相對量，下同.

其中庫的半寬度γ(t)受到同一時刻起點、不同時間段單次矩形脈沖調制.在沒有調制時間，γ=0.2，腔的品質因子較大，原子與庫之間處于強相互作用，腔與兩能級原子之間的耦合主要體現在原子共振頻率附近的模式與原子之間的相互作用，系統演化的過程相干性表現比較突出，同時能量通過腔向外泄漏的速度會很慢，原子系統的演化出現具有衰減特征的可回復的性質;在調制時間段γ=2，品質因子下降，γ的變寬，諧振頻率附近模式態密度下降，原子與庫之間是弱相互作用特性，原子與腔之間的作用體現為原子與包括共振模式之外的越來越多的模式之間耦合，能量也會很快泄漏到腔外，將會導致原子系統相干性失去的速度變快.從圖2可以看出，隨著調制脈沖時間的增加，調制時間內原子與庫之間的弱相互作用越長，能量泄漏到腔外加快，導致系統相干性被破壞速度的加劇.

圖2 單次矩形脈沖調制Lorentz庫半寬度γ對上能級布居數演化的影響 原子共振躍遷頻率ω1=100β;庫的中心諧振頻率ωc=100β，無調制時間γ=0.2，調制時間段γ=2

圖3考慮了周期性矩形脈沖調制Lorentz庫中心諧振頻率ωc對于激發態原子演化的影響.處于腔中的原子在與環境相互作用的過程中發射和吸收光子，形成了布居數在激發能級與基態之間的準周期性的振蕩行為.周期性的脈沖調制，通過周期性改變與系統耦合作用的環境.環境的改變導致了原子與共振躍遷頻率附近電磁模式的作用強度，從而使得系統原來的振蕩周期發生改變，并且在脈沖的周期性調制下逐步形成系統吸收和發射新的周期.調整調制周期，使得每次脈沖調制的開始與系統開始吸收光子發生回復的過程保持同步，將會導致明顯的衰減抑制，系統將進入一個相對穩定的相干演化過程.周期性的調制正如給原子系統施加一個周期性的外力，當外力的作用頻率與系統演化的頻率保持相對一致的情況下，就會形成穩定的類似“共振”的行為.當然，無論怎樣的周期，由于失諧所帶來的衰減抑制效應在演化的過程中還是有明顯的體現，如圖3(a)所示.圖 3(b)中給出了同周期完全相反脈沖調制的結果，由于調制時間和非調制時間，原子感受到的環境不同，出現振蕩幅度交替變化的現象.

圖 3 矩形連續脈沖調制Lorentz庫中心頻率對上能級布居數演化的影響 γ=0.2，原子共振躍遷頻率ω1=100β;圖中虛線為調制脈沖的示意圖，實線為沒有受到調制的演化.(a)同調制寬度，不同周期的脈沖調制，脈沖作用時間庫中心頻率ωc=102β，非脈沖時間庫中心頻率ωc=100β;(b)同調制寬度、同周期完全相反兩個連續脈沖對相對穩定布居數演化的調控，即庫中心頻率ωc=102β，ωc=100β變化順序相反

4.結 論

本文從理論上討論了通過操縱一個動態的Lorentz庫環境實現對一個初態處于激發態的兩能級原子系統演化的量子調控.研究發現，單次矩形脈沖調制Lorentz庫中心頻率ωc或半寬度γ的結果在一定程度上都對系統原來相干性演化存在著破壞性.原子與庫之間相互作用開始演化，調制脈沖的出現，打斷了原子與原來庫環境之間建立的相互作用，同時與脈沖調制時間所提供的新的庫環境相互作用繼續演化.隨著調制時間的增加，庫環境的變化帶給系統相干性演化的破壞性作用在逐漸增加.然而，針對Lorentz庫的中心頻率ωc實施連續矩形脈沖調制，調整調制周期，當庫環境的連續改變和原子系統與環境交換能量的過程保持一致時就可以達到相對穩定的布居振蕩，否則系統演化的周期將被破壞而逐漸失去相干性.原子所處的庫環境的變化必然導致腔內模式與腔外模式之間相互作用，從而產生電磁模式密度重新分配;通過調控量子系統周圍的庫環境，實現對量子系統相干性演化的操縱會為量子器件的研制以及量子信息廣泛的應用提供重要的理論參考.

［1］Huang G M，Tarn T J，Clark JW 1983J.Math.Phys.24 2608

［2］Doherty A C，Habib S，Jacobs K，Mabuchi H，Tan S M 2000Phys.Rev.A 62 012105

［3］Alessandro D 2007IntroductiontoQuantumControland Dynamics(New York:CRC Press)pp157—208

［4］W iseman H M，Milburn G J 2010QuantumMeasurementand Control(London:Cambridge University Press)pp216—269

［5］Warren W S，Rabitz H，Dahleh M 1993Science259 1581

［6］Aoki T，Dayan G，W ilcut E，Katz SD，Szabo K K 2006Nature433 671

［7］Birnbaum K M，Boca A，Miller R，Boozer A D，Northup T E，Kimble H J 2005Nature436 87

［8］Wilk T，Webster SC，Kuhn A，Rempe G 2007Science317 488

［9］Lin L H 2009Chin.Phys.B 18 588

［10］Lu JH，Meng Z M，Liu Hai Y，Feng Tian H，Dai Q F，Wu L J，Guo Q，Hu W，Lan S 2009Chin.Phys.B 18 4333

［11］Wu CW， Han Y，Deng Z J，Liang L M，Li C Z 2010Chin.Phys.B 19 010313

［12］Vahala K J 2003Nature424 839

［13］Spillane SM，Kippenberg T J，Vahala K J，Goh K W，W ilcut E，Kimble H J 2005Phys.Rev.A 71 013817

PACS:42.50.Pq，32.80.Qk

Control of the evolution of an excited atom by using the dynam ic Lorentzian reservior*

Huang Xian-Shan1)Liu Hai-Lian1)2)Yang Ya-Ping3)Shi Yun-Long2)?
1)(School of Mathematics and Physics，Anhui University of Technology，Ma’anshan 243000，China)
2)(Institute of Solid State Physics，Shanxi Datong University，Datong 037009，China)
3)(Physics Department，Tongji University，Shanghai 200092，China)
(Received 14 March 2010;revised manuscript received 4 May 2010)

We theoretically study the use of a dynamic Lorentzian reservoir environment to realize contro of the evolution of an excited two-level atom.It is found that the change of Lorentzian reservoir leads to the interaction between the electromagnetic modes in the cavity and those outside，resulting in the redistribution of the electromagneticmodes density.When the frequency of reservoir change is consistent with the process of exchange of energy between the atom and environment，a relatively stable coherent evolution can be obtained，and the decay is obviously inhibited.

dynamic reservoir，excited atom，quantum control

*安徽高校省級自然科學研究重點項目(批準號:KJ2010A335)、安徽工業大學青年科研基金(批準號:QZ200824)和國家自然科學基金(批準號:41075027，10904032)資助的課題.

?通訊聯系人.E-mail:shi_yunlong@yahoo.com.cn

*Project supported by the Key Program of the Natural Science Foundation of the Higher Education Institutions of Anhui Province，China(Grant No.KJ2010A335)，the Scientific Research Fund for Young Scholars of Anhui University of technology，China(Grant No.QZ200824)and the National Natural Science Foundation of China(Grant Nos.41075027，10904032).

?Corresponding author.E-mail:shi_yunlong@yahoo.com.cn