數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)重視開放性應(yīng)用題的探索

■何少軍

數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)重視開放性應(yīng)用題的探索

■何少軍

數(shù)學(xué)開放性應(yīng)用問題是新課程的一個(gè)重要教學(xué)理念，也是評(píng)判新課程教學(xué)改革成功與否的一個(gè)依據(jù)。數(shù)學(xué)開放題在社會(huì)各個(gè)領(lǐng)域的廣泛應(yīng)用，已使數(shù)學(xué)成為一種文化。新課程要求數(shù)學(xué)教學(xué)在以人為本的視域下，對(duì)開放性應(yīng)用題的背景、策略、功能進(jìn)行分析、探究與凝練，發(fā)揮開放性應(yīng)用題的獨(dú)特功能，培育中學(xué)生科學(xué)素養(yǎng)與創(chuàng)新思維，進(jìn)而壯實(shí)學(xué)生成長的根基，提升學(xué)生生命的高度，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)教學(xué)課程目標(biāo)。

中學(xué)數(shù)學(xué)；開放性應(yīng)用題；課程標(biāo)準(zhǔn)

當(dāng)下，中學(xué)數(shù)學(xué)傳統(tǒng)的“一題一答”式教學(xué)設(shè)計(jì)與教學(xué)策略已經(jīng)不能適應(yīng)新課程標(biāo)準(zhǔn)。那種死記題型，缺乏創(chuàng)意的“功利性”應(yīng)試教學(xué)策略，禁錮了學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，削弱了學(xué)生解決實(shí)際問題的能力，阻礙了學(xué)生可持續(xù)發(fā)展的路徑。這種為了一抹功利的傳統(tǒng)應(yīng)試數(shù)學(xué)教學(xué)策略以及對(duì)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)的片面理解與盲目執(zhí)行，只會(huì)將棟梁之才培養(yǎng)成一支完美的牙簽。因此，數(shù)學(xué)教師一定要清醒地跟進(jìn)、理性地匡正，切實(shí)開展數(shù)學(xué)開放性應(yīng)用題的分析、探究與凝練。

1 應(yīng)重視開放性應(yīng)用題有效設(shè)計(jì)的背景

當(dāng)今社會(huì)數(shù)學(xué)在各個(gè)領(lǐng)域應(yīng)用的空前廣泛性使數(shù)學(xué)已經(jīng)成為一種文化。馬克思說過：“每個(gè)人的自由發(fā)展是一切人的自由發(fā)展的條件?！睂?shí)現(xiàn)全面、協(xié)調(diào)、可持續(xù)的人才發(fā)展觀從來就是一個(gè)家庭的核心問題，也是每位學(xué)生家長關(guān)注的焦點(diǎn)，更是貫徹教育改革方針的現(xiàn)實(shí)考量。為此，數(shù)學(xué)教師必須重視數(shù)學(xué)開放性應(yīng)用題設(shè)計(jì)的現(xiàn)實(shí)背景，在以人為本的視域下，創(chuàng)新設(shè)計(jì)一些學(xué)生感興趣、與學(xué)生生活密切相關(guān)的材料或開放性應(yīng)用題，選擇適當(dāng)?shù)慕虒W(xué)時(shí)機(jī)，以靈活的方式滲透到教學(xué)中去，將所學(xué)知識(shí)融會(huì)貫通，不受定勢(shì)的影響，不受傳統(tǒng)的束縛，從多角度、多因果、多方位、多渠道地解決問題，為學(xué)生成長發(fā)展提供思考、探索、發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)新的最大空間，為學(xué)生提供全面自由發(fā)展和健康成長的終極關(guān)懷。

2 應(yīng)重視開放性應(yīng)用題有效解決的策略

數(shù)學(xué)教學(xué)中，通常將條件不完備、結(jié)論不確定，或者解決問題的方法不唯一的并與實(shí)際生活生產(chǎn)相關(guān)聯(lián)的問題稱之為開放性應(yīng)用題。數(shù)學(xué)開放性應(yīng)用題由于具有與傳統(tǒng)封閉題不同的特點(diǎn)，即問題結(jié)構(gòu)的開放與解決問題策略的開放，同時(shí)其本身也具有開放性，能夠由這個(gè)問題引申、變化出新的問題。正因?yàn)檫@類開放性應(yīng)用題具備這些特點(diǎn)，數(shù)學(xué)教學(xué)中的學(xué)習(xí)主體也會(huì)在解題過程中形成積極探究和創(chuàng)造的心理態(tài)勢(shì)，對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)產(chǎn)生一種全新的領(lǐng)悟。為此，數(shù)學(xué)教師在教學(xué)中要十分重視開放性應(yīng)用題有效解決的策略。

【例】今有六邊形鋼架ABCDEF，由6條鋼管絞接而成（圖1）。為使這一鋼架穩(wěn)固，試用另外3條鋼管連接，使其固定不能活動(dòng)。問有多少種不同的連接方法？

【分析】這類開放性應(yīng)用題，實(shí)際可以通過構(gòu)造數(shù)學(xué)模型，把它轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。即上例可轉(zhuǎn)化為：六邊形ABCDEF任添3條對(duì)角線后使其固定，有多少種添法？

解上述問題的方法很多，如果沒有一個(gè)良好的解題策略，很難得出一個(gè)完美的答案。為了不遺漏答案，在解題時(shí)首先可以計(jì)算出所有添法（不考慮固定問題）；然后再考慮任添對(duì)角線是否可以分類，各類的每種情況是否固定，從而得到問題的解決。

1）從3個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，且各頂點(diǎn)處有2條，有2種情況，即ΔACE、ΔCDF（圖2）。

2）從4個(gè)項(xiàng)點(diǎn)出發(fā)，且：①1個(gè)頂點(diǎn)處3條，另3個(gè)頂點(diǎn)處各1條，有6種情況（圖3）；②2個(gè)頂點(diǎn)處各1條，另2個(gè)頂點(diǎn)處2條，共有30種情況，其中圖4-1、圖4-2各有3種，圖4-3～圖4-6各有6種。

3）從5個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，且1個(gè)頂點(diǎn)處2條，另4個(gè)頂點(diǎn)處各1條，共有42種情況，圖5-1～圖5-7各有6種。

4）從6個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，有4種，其中圖6-1有1種，圖6-2有3種。

【分析證明】圖2、圖3、圖4-1、圖4-2可根據(jù)三角形的穩(wěn)定性得證六邊形的穩(wěn)定性。

圖4-3的證明見圖7。圖4-4同理得證。

圖5-1證明見圖8。圖4-5、圖5-2、圖5-5同理得證。

圖5-3證明見圖9。圖5-4～圖5-7同理得證。

圖4-6證明：因?yàn)锳DEF為四邊形，又因?yàn)榇怂倪呅问墙M成六邊形的一部分，根據(jù)四邊形的不穩(wěn)定性得證。

圖6-1證明：因?yàn)锳BED、BEFC、ADCF都為四邊形，所以六邊形不穩(wěn)定。

圖6-2證明：因?yàn)锳BE、CDE都為三角形，由于三角形的穩(wěn)定性可把圖形畫成圖6-3，由四邊形的不穩(wěn)定性得證其不穩(wěn)定性。

以上探討的各種情況除圖4-6、圖6-1、圖6-2共10種不固定外，其他74種方法都是固定的。因此，使這一鋼架穩(wěn)固，試用3條鋼管連接使之不能活動(dòng)，共有74種不同的方法。

3 應(yīng)重視開放性應(yīng)用題有效生成的啟示

開放性應(yīng)用題的有效教學(xué)總是在教學(xué)實(shí)踐中動(dòng)態(tài)生成的，對(duì)這種教學(xué)實(shí)踐進(jìn)行總結(jié)與凝練，能給人許多有益的啟示。

1）開放型應(yīng)用題有利于培養(yǎng)學(xué)生用現(xiàn)代數(shù)學(xué)的思想，通過觀察、比較、分析、歸納等方法去解決數(shù)學(xué)實(shí)際問題。重視開放性應(yīng)用題的教學(xué)不僅能鞏固和深化學(xué)生所學(xué)的知識(shí)，也能使學(xué)生養(yǎng)成獨(dú)立思考、勇于探索的習(xí)慣。

2）探索是數(shù)學(xué)的生命線。開放性應(yīng)用題知識(shí)覆蓋面大，綜合性強(qiáng)，解決方法靈活，有一定深度和難度，它的解決過程本身是一種探索性的活動(dòng)過程。而且這類問題由于題目各個(gè)要素的開放性，能激起學(xué)生的積極探索動(dòng)機(jī)，使學(xué)生對(duì)所學(xué)的內(nèi)容產(chǎn)生濃厚的興趣。因此，在教學(xué)中適時(shí)引入這類問題，有利于培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，發(fā)展學(xué)生的直覺思維、邏輯思維及創(chuàng)造性思維。

3）美國教育家布盧姆說過：“一個(gè)帶著積極情感學(xué)習(xí)課程的學(xué)生或者比那些對(duì)學(xué)習(xí)材料感到焦慮和恐懼的學(xué)生，學(xué)得更加輕松，更加迅速?！币虼?，選擇有趣味而熟悉的應(yīng)用題，使學(xué)生容易進(jìn)入問題的情境，積極參與解題活動(dòng)，在解決問題中得到最佳發(fā)展，也就能得到最佳的學(xué)習(xí)效果，使學(xué)生真正成為知識(shí)獲取過程的主動(dòng)參與者，成為課堂學(xué)習(xí)的主人。

4）開放性應(yīng)用題有利于師生共同成長。隨著數(shù)學(xué)課改的深入，開放性應(yīng)用題的有效探索將成為一種趨勢(shì)，這將對(duì)教師提出更高的要求。首先，教師必須具備扎實(shí)的基礎(chǔ)知識(shí)和寬廣的知識(shí)面，針對(duì)課程目標(biāo)與學(xué)生實(shí)際，設(shè)計(jì)出整套開放性問題，然后引導(dǎo)學(xué)生揭示客觀事物的本質(zhì)與內(nèi)在聯(lián)系，在此基礎(chǔ)上為學(xué)生生命成長播下開創(chuàng)性的種子，進(jìn)而壯實(shí)學(xué)生成長的根基，提升學(xué)生生命的高度，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)教學(xué)課程目標(biāo)?！?/p>

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（作者單位：浙江省諸暨教師進(jìn)修學(xué)校）

10.3969/j.issn.1671-489X.2011.11.084