關于平面Bonnesen型不等式的注記

戴 勇，王萍姝

（1.黔南民族師范學院數學系，貴州都勻558000；2.青海民族大學數學與統計學院，青海西寧810007）

關于平面Bonnesen型不等式的注記

戴 勇1，王萍姝2

（1.黔南民族師范學院數學系，貴州都勻558000；2.青海民族大學數學與統計學院，青海西寧810007）

在原有Bonnesen型不等式的基礎上，推導出一些Bonnesen型不等式，并給出其簡單證明.關鍵詞：等周不等式；平面凸閉曲線；Bonnesen型不等式

1 背景知識

最著名的幾何不等式是以下的等周不等式:

等周不等式 設C是長度為L的平面簡單閉曲線，A是C所圍成有界區域的面積，則：

等號成立當且僅當C所圍成區域為圓盤.

1870年K.Weierstrass第一個用變分法給出等周不等式嚴格的證明；1902年A.Hurwitz、1939年E.Schmidt應用級數法給出非常巧妙的證明；1904年Crore、1915年Frobenius、1919年H.Liebmann等也分別給出嚴格的證明；1955年 A.Santalo、W.blaschke、E.Steinitz、Bonnesen 等用積分幾何思想證明了等周不等式；蘇步青、陳省身、吳大任、任德麟、項武義、張高勇、周家足等對等周不等式的研究也有重要貢獻[1-5].

上世紀初，由Fujiwara、Bol先導出不等式[4]：

其中，L、A為一條凸閉曲線C的周長及所圍區域的面積，為包含于C內的最大內接圓半徑，為包含C的最小外接圓半徑.

1924年 Bonnesen得到了以下加強的等周不等式[5]:

Bonnesen等周不等式（1924年） 設L、A為一條凸閉曲線C的周長及所圍區域的面積，為包含于C內最大內接圓半徑，為包含C的最小外接圓半徑，則：

等號成立當且僅當C為圓周.

關于加強的等周不等式的推理與證明，已有諸多知名數學家給出了漂亮的結果[6-8].

本文在原有Bonnesen型不等式研究的基礎上推出以下結果，并給出其簡單證明.

2 主要結論與證明

定理1設C是周長為L的平面凸閉曲線，A為C所圍成有界區域的面積，為C所圍區域的最大內接圓半徑，為包含C的最小外接圓半徑，則:

推論1 設C是周長為L的平面凸閉曲線，為C所圍成有界區域的面積，為C所圍區域的最大內接圓半徑，為包含C的最小外接圓半徑，則:

定理2 設C是周長為L的平面凸閉曲線，A為C所圍成有界區域的面積，為C所圍區域的最大內接圓半徑，為包含C的最小外接圓半徑，則:

推論2 設C是周長為L的平面凸閉曲線，A為C所圍成有界區域的面積，為C所圍區域的最大內接圓半徑，為包含C的最小外接圓半徑，則:

為了證明定理1、推論1、定理2及推論2，首先，我們有下列引理[6-8]：

引理1 設C是周長為L的平面凸閉曲線，A為C所圍成有界區域的面積，為C所圍區域的最大內接圓半徑，re為包含C的最小外接圓半徑，則

引理1的證明[6-7].

由引理1我們可得

不等式兩邊取平方，化簡整理得到Bonnesen等周不等式：

又由引理1可得：

不等式兩邊取平方，化簡整理得到Bonnesen型等周不等式：

不等式兩邊取平方，化簡整理得到Bonnesen型等周不等式：

于是我們得到以下Bonnesen型不等式：

引理2 設C是周長為L的平面凸閉曲線，A為C所圍成有界區域的面積，為C所圍區域的最大內接圓半徑，為包含C的最小外接圓半徑，則：

引理3[7]設C是周長為L的平面凸閉曲線，A為C所圍成有界區域的面積，為C所圍區域的最大內接圓半徑，為包含C的最小外接圓半徑，則：

由（5）式、（6）式和（7）式相加，我們可得：

由引理3中左邊三式相加，右邊三式相加，分別可得：

再利用均值不等式可得：

[1]Burago Y D,Zalgaller V A.Geometric In equalities[M].BerLin Heidelberg:Springer-Verlag,1988.

[2]Do Carmo M P.Differential Geometry of Curves and Sur faces[M].Beijing:China Machine Press,2005.

[3]OssermanR.Bonnesen-styleIsoperimetric Inequality[J].Amer Math Monthly,1979,（86）:1-29.

[4]Ren D L.Topics in Integral Geometry[M].Singapore:Word Scientific,1994.

[5]Santalo L A.Integral Geomtry and Geomtric Probabiliy[M].MA:Addison-Wesley,1976.

[6]Zhou J Z,Cheng F.The Bonnesen-type In equalities in a Plane of Constant Curvature[J].Journalof Korean Math.Soc.2007,44(6):1363-1372.

[7]Zhou J Z.Plan Bonnesen-type Inequalities[J].Acta Math Sinica,Chinese Series,2007,50(6):1397-1402.

[8]Zhou J Z,Ren D L.Geometric Inequalities-Form Integ ralGeometryPointofView[J].Acta Math-ematicaScient ia,2010,30(5):1322-1339.

（責任編輯：朱 彬）

DAI Yong1，WANG Ping-shu2
(1.Department of Mathematics,Qiannan Normal College for Nationalities,Duyun 558000,China;2.School of Mathematics,Qinghai University for Nationalities,Xining 810007,China)

On the basis of the originalBonnesen-type inequalities,this paper essays to deduce some bonnesen-type inequalities which have been exemplified.

isoperimetric inequality;closed planar convex curve;bonnesen-type inequality

0186.5

A

1009-3583（2011）-01-0088-02

2010-11-04

黔南民族師范學院科研基金資助項目(QNSY0906)

戴勇，男，貴州安順人，黔南民族師范學院數學系副教授，主要從事凸幾何與幾何不等式研究。