用多項式和階躍函數構造網格多渦卷混沌吸引子及其電路實現*

陳仕必 曾以成 徐茂林 陳家勝

1)(湘潭大學材料與光電物理學院，湘潭 411105)

2)(北京信息科技大學，北京 100101)

用多項式和階躍函數構造網格多渦卷混沌吸引子及其電路實現*

陳仕必曾以成1)徐茂林2)陳家勝1)

1)(湘潭大學材料與光電物理學院，湘潭 411105)

2)(北京信息科技大學，北京 100101)

(2010年4月10日收到;2010年6月4日收到修改稿)

提出一種利用多項式和階躍函數構造N×M渦卷的構造方法.利用蔡氏電路，傳統的利用多項式函數只能產生雙渦卷、三渦卷，在此基礎上，通過多項式平移得到相空間x方向的多渦卷，再通過多項式與階躍函數組合來擴展相空間中指標2的鞍焦平衡點，使得多渦卷向y方向延伸，從而生成網格多渦卷混沌吸引子.該構造方法的主要特征是通過光滑曲線和非光滑曲線的組合生成網格多渦卷混沌吸引子，能通過調整自然數N和M的值實現平面網格任意渦卷混沌吸引子陣列.理論分析、數值模擬和電路仿真證實了方法的可行性.

網格多渦卷混沌吸引子，蔡氏電路，階躍函數，電路實現

PACS:05.45.Gg，05.45.Pq，05.45.Vx

1.引 言

近年來，由于單方向多渦卷混沌吸引子復雜的結構和動力學特性，以及在保密通信和信息隱藏等領域的應用前景，已逐步成為混沌研究領域的一個熱點.相對于分數階多渦卷系統［1—3］，整數階多渦卷系統由于成熟的理論基礎和有效的數學工具的支撐，引起了學者們極大的興趣和廣泛的關注，已有大量的文獻報道了相關結果［4—16］.1993年，Suyken等［4］成功地構造了單方向的多渦卷系統.之后人們在Lorenz系統［5］、Chen系統［6］、Jerk系統［7］和超混沌系統［8，9］等各種不同的混沌系統基礎上構造了多渦卷混沌吸引子.但所得的多渦卷只在一個方向上，而且渦卷數目有限.而實際的應用往往需要多渦卷混沌吸引子向平面和立體延伸.

自2002年Yalcin等［17］成功地構造了網格多渦卷混沌系統以來，人們相繼報道了許多新型網格多渦卷系統，如網格多環面系統、網格多渦卷蔡氏系統、三維多渦卷時滯系統、多方向分布多渦卷混沌系統等［18—27］，禹思敏等［24，25］報道了這方面最新的研究結果.多渦卷混沌吸引子，其關鍵因素在于非線性函數的構造上，通常采用的構造方法有分段線性函數法、正弦函數法、時滯函數法、吸引排斥函數法、飽和函數法和雙曲線函數法等［4—27］.而生成網格多渦卷所用到的構造函數多為非光滑函數的組合，其原因在于利用非光滑曲線如分段線性函數、時滯函數來組合時，設計思路簡單，同時利用多個折點可以實現混沌控制.但折點電壓計算繁瑣，需要電路元件較多、電路實現比較復雜.如果用光滑曲線構造雖然不便于利用多個折點實現混沌控制，但是很容易彌補后者的不足.

本文在利用多項式構造只能得到雙渦卷和三渦卷混沌吸引子的基礎上［28，29］，運用多項式平移，在蔡氏系統基礎上成功實現了單方向的多渦卷混沌吸引子，之后通過與階躍函數的組合，使得多渦卷向平面上延伸，從而得到網格多渦卷混沌吸引子.并分析該網格多渦卷混沌系統的基本動力學特性，包括平衡點、分岔圖、最大李氏指數譜.在理論分析和數值模擬的基礎上，進行混沌電路的設計和仿真，證實數值模擬和電路仿真結果的一致性.

2.構造網格多渦卷混沌系統

在文獻［28，29］的基礎上，采用多項式平移的方法成功構造單方向多渦卷混沌吸引子，其無量綱狀態方程為

式中α=15.2，β=18.9，ξ=0.05—1.9為控制參數，f(x)=aφ(x)+bφ3(x)，當φ(x)選為

系統在x軸方向產生(2N+2)渦卷混沌吸引子.當φ(x)選為系統在x軸方向產生(2N+1)渦卷混沌吸引子.

令N=1，ξ=1，a=-0.25，b=0.35.根據(1)和(2)式以及(1)和(3)式分別得4渦卷和3渦卷混沌吸引子的數值模擬結果，如圖1(a)，(b)所示.

研究表明，如果在(1)式中加入一階躍函數f(y)，可以使多渦卷向y方向延伸，從而得到N×M網格多渦卷，其無量綱方程式如下:

當f(y)選為

系統能在y軸方向上產生(2M+1)渦卷.當f(y)選為

系統能在y軸方向上產生(2M)渦卷.

圖1 單方向多渦卷混沌吸引子 (a)4渦卷混沌吸引子，(b) 3渦卷混沌吸引子

注意到用(2)—(6)式生成網格多渦卷混沌吸引子時，網格渦卷的數量由f(x)和f(y)的具體形式及參數決定，根據(2)，(3)式和(5)，(6)式的不同組合，結合(4)式可以產生任意的N×M網格多渦卷混沌吸引子.例如，令N=2，M=1，參數選擇:ξ= 1，a=-0.25，b=0.35，A2=0.2，分別得6×3，5×4網格多渦卷混沌吸引子的數值模擬結果如圖2(a)，(b)所示.

3.系統的動力學分析

下面分析網格多渦卷混沌吸引子的基本動力學特性.令(4)式中的，得平衡點方程為

圖2 網格多渦卷混沌吸引子 (a)6×3網格多渦卷混沌吸引子，(b)5×4網格多渦卷混沌吸引子

式中取典型值ξ=1.0時，以3×2網格多渦卷混沌吸引子為例，得x—y相平面上的平衡點分布如圖3所示，圖中用符號“×”表示指標2的鞍焦平衡點，注意到指標2的鞍焦平衡點共有3×2個，每個對應的平衡點產生一個渦卷，故網格渦卷的數量也為3×2個.

下面分析控制參數 ξ，A2的物理意義，根據(2)—(6)式及圖3，參數A2可控制f(y)的高度和寬度，從而控制平衡點的相對位置以及渦卷的形狀與大小，這對實際電路的設計與實驗是很有價值的.仿真結果表明，隨著渦卷數量的增加，狀態變量會超出有源器件(如運算放大器等)的動態范圍，可通過調整A2解決這一問題.另一方面，參數ξ可控制平衡點x方向的位置，隨著參數ξ的變化，系統從倍周期分岔進入混沌狀態.因此，ξ是生成網格多渦卷混沌吸引子的重要參數，一般選取 ξ=0.05— 1.9，為了便于生成網格多渦卷混沌吸引子以及電路實現，選取典型參數A2=0.2，ξ=1.0.

圖3 3×2網格多渦卷平衡點分布

根據(2)—(6)式，得指標2的鞍焦平衡點的Jacob矩陣為對應的特征多項式為λ3+(1-2ξαa)λ2+(β-α-2ξαa)λ-2ξαβa=0，令α=15.2，β=18.9，ξ=1.0，a=-0.25，得特征值為 γ=-9.0942，σ±ωj= 0.2471±3.9666j，說明圖3中的標記為“×”的平衡點為指標2的鞍焦點.

圖4 分岔圖

根據(4)式，計算隨控制參數ξ變化時網格多渦卷混沌吸引子的分岔圖與最大李亞普洛夫指數分別如圖4和圖5所示，證實了網格多渦卷蔡氏系統當控制參數ξ∈［0.19，0.67］∪［0.76，1.49］處于混沌狀態.

圖5 最大李氏指數譜

4.網格多渦卷電路設計

4.1.多項式函數發生器的電路設計

根據(2)式，以6×3網格多渦卷混沌電路為例，設計多項式f(x)發生器，如圖6所示，圖中取Ra=1 kΩ，Rc=R10=R11=R13=R=10 kΩ，運放采用AD712，乘法器采用 AD633.電源電壓 E=±15 V，電壓飽和值±，即 R9=40 kΩ，R12=28.6 kΩ，Rb= 158.8 kΩ.當增加輸入端運放數量到2N時，同時運

圖6 6×3渦卷混沌電路的多項式函數發生器

圖7 5×4渦卷混沌電路的多項式函數發生器

根據(3)式，得5×4多渦卷混沌電路的多項式函數發生器f(x)如圖7所示，當增加輸入端運放數量到2N-1時，同時運放輸入電壓按=±(2i)×0.85(i=0，1，…，N)增加時，可以實現系統在x軸方向產生(2N+1)渦卷混沌吸引子.

4.2.階躍函數發生器的電路設計

根據(5)式，以6×3網格多渦卷混沌電路為例，設計階躍函數f(y)產生器，如圖8所示，圖中取Rc=1 kΩ，R為反相器電阻，R=10 kΩ.則，所以 Rd=67.5 kΩ.當增加輸入端運放數量到2M時，同時運放輸入電壓按±(2j+ 1)A2(j=0，1，…，M-1)增加時，可以實現系統在y軸方向產生(2M+1)渦卷混沌吸引子.

圖8 6×3渦卷混沌電路的階躍函數發生器

根據(6)式，得5×4網格多渦卷混沌電路的階躍函數f(y)，如圖9所示.當增加輸入端運放數量到(2M-1)時，同時運放輸入電壓按±(2j)A2(j=0，1，…，M-1)增加時，可以實現系統在y軸方向產生(2M)渦卷混沌吸引子.

圖9 5×4渦卷混沌電路的階躍函數發生器

4.3.基于無量綱方程的網格多渦卷蔡氏電路設計

圖10 基于無量綱狀態方程的網格多渦卷蔡氏電路

5.Pspice仿真

將圖6的輸出信號-f(x)和輸入信號-x與圖10的輸入信號 -f(x)和輸出信號 -x相連，將圖8的輸出信號-f(y)，f(y)和輸入信號y與圖10的輸出信號-f(y)，f(y)和輸入信號y相連，得到6× 3網格多渦卷混沌吸引子的電路仿真結果如圖11所示.將圖7的輸出信號-f(x)和輸入信號-x與圖10的輸入信號-f(x)和輸出信號-x相連，將圖9的輸出信號-f(y)，f(y)和輸入信號y與圖10的輸出信號-f(y)，f(y)和輸入信號y相連，得到5×4網格多渦卷混沌吸引子的電路仿真結果如圖11所示.由此可見，電路仿真結果和計算模擬是完全一致的.

圖11 6×3網格多渦卷的電路仿真

圖12 5×4網格多渦卷的電路仿真

6.結 論

提出了一種利用多項式和階躍函數構造N×M渦卷的構造方法.分析了該網格多渦卷混沌系統的基本動力學特性，包括平衡點、分岔圖、最大李亞譜諾夫指數譜.在理論分析的基礎上進行了混沌電路設計，電路仿真與數值模擬的一致性證實了該構造方法的可行性.該構造方法同時結合了光滑與非光滑曲線兩類非線性函數構造多渦卷混沌吸引子的優點，電路結構簡單便于實現，同時參數可調，可以實現混沌控制.為其他光滑曲線構造網格多渦卷混沌吸引子提供了一定的借鑒意義.然而，這種新型網格多渦卷混沌吸引子在工程中的應用還有待于 更深入的研究.

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PACS:05.45.Gg，05.45.Pq，05.45.Vx

Construction of grid multi-scroll chaotic attractors and its circuit implementation with polynomial and step function*

Chen Shi-BiZeng Yi-Cheng1)Xu Mao-Lin2)Chen Jia-Sheng1)
1)(School of Material Science and Photoelectronic Physics，Xiangtan University，Xiangtan 411105，China)
2)(Beijing Information Technology Institute，Beijing 100101，China)

10 April 2010;revised manuscript

4 June 2010)

A constructing approach to generating N×M-scroll attractors with polynomial and step function is reported.In Chua's circuit，only two or three scrolls can be generated by traditional polynomial function.On this basis，the multi-scroll of x direction in phase space is obtained by polynomial shift.And then the saddle-focus equilibrium points with index-2 in phase space are extended by combining both polynomial and step function，which makes it possible to extend the multiscroll in y direction.Then the grid multi-scroll chaotic attractors are generated.The main feature of this constructing approach is generating grid multi-scroll chaotic attractors by combining both smooth curves and non-smooth curves for the first time.And the arbitrary planar grid multi-scroll chaotic attractors array can be generated by adjusting the values of natural numbers N and M.The effectiveness of this method has been verified by theoretical analysis，numerical simulation and circuit simulation.

grid multi-scroll chaotic attractors，Chua's circuit，step function，circuit implementation

*國家自然科學基金(批準號:60972147)和湖南省自然科學基金(批準號:08JJ5031)資助的課題.

*Project supported by the National Natural Science Foundation of China(Grant No.60972147)and the Natural Science Foundation of Hunan Province，China(Grant No.08JJ5031).