力與耦合系統的交互作用和隨機能量共振*

林 敏 張美麗

(中國計量學院計量測試工程學院，杭州 310018)

力與耦合系統的交互作用和隨機能量共振*

林 敏張美麗

(中國計量學院計量測試工程學院，杭州 310018)

(2010年4月28日收到;2010年5月31日收到修改稿)

外界對系統作功的過程就是系統狀態發生變化的過程.根據 Langevin方程的隨機動力學特性，采用微觀動力學和宏觀熱力學方法，建立了基于單一隨機軌線的耦合雙穩系統的熱力學關系.通過力與耦合系統的功交互作用定量地刻畫了能量的傳遞和轉換關系，揭示了耦合系統中存在著的隨機能量共振現象.從作功與能量的關系進行分析，進一步揭示了隨機共振產生的物理本質.

耦合雙穩系統，隨機熱力學，隨機能量共振，功

PACS:05.40.Ca，05.70.-a

1.引 言

隨機共振是由 Benzi等［1—4］在研究地球冰川期問題時提出來的，并將之解釋為非線性系統在弱周期力和噪聲共同驅動下的協同效應.隨機共振現象涉及非線性系統、外作用信號和噪聲三個基本要素，常用Langevin方程來描述.近30年來，人們針對這三個要素的各自特性，對隨機共振現象進行了廣泛而深入的研究［5—18］.傳統的隨機共振是通過調節噪聲強度，并以噪聲強度為變量，將系統輸出信號的信噪比作為噪聲強度的函數而呈現出的非單調性.2001年，Iwai等［19］采用隨機能量法分析了Langevin方程所描述的非平衡過程的能量轉化關系，提出了用外部驅動力所作的功作為雙穩系統隨機共振的一種度量［19，20］.隨后，Seifert等［21—23］對受驅動布朗粒子進行了熱力學關系研究，提出了體系的熵以及熵的產生都可以基于一條隨機軌線來定義.

隨機力在隨機共振中有著特殊的作用.隨機力服從愛因斯坦關系的Langevin方程，該方程揭示了系統的宏觀現象與系統的微觀漲落和外部擾動的內在聯系.由于微觀漲落所產生的隨機力的強度與熱力學溫度成正比.因此，采用 Langevin方程描述的雙穩系統隨機共振可看作是一個熱力學過程.在熱力學系統的分析中，常把力的效應當作力與系統及其環境相互作用來研究的，并將注意力集中在能量參數上.功是與過程有關的一個物理量，作功是能量轉換和傳遞的一種方式.由于隨機共振存在著噪聲能量與信號能量的轉換，存在著無序到有序的變化，將作功與能量引入隨機共振能更加深刻地揭示這一過程的物理本質.

近年來，人們分別研究了線性或非線性耦合的隨機共振系統，發現大量耦合的振子形成的陣列可以大大提高系統的隨機共振效應.本文將兩個雙穩系統通過非線性方式耦合為一多穩態系統［24，25］，采用微觀動力學和宏觀熱力學方法，建立了基于單一隨機軌線的耦合雙穩系統的熱力學關系，通過外力對耦合系統做的功定量地刻畫了能量的傳遞和轉換關系，揭示了耦合系統中存在著的隨機能量共振現象.

2.耦合雙穩系統與外界作功

2.1.耦合系統模型

研究隨機共振的單一雙穩系統模型為

式中a0和b0是雙穩系統固有的參數;Acos(ωt)(A1是幅值、ω是頻率)是外界作用到系統的弱周期力，是持續起作用的;ξ(t)是熱隨機力，具有〈ξ(t)〉=0，〈ξ(t)ξ(0)〉=2kBTδ(t)的統計性質，其中kB為Boltzmann常數、T為熱力學溫度，常用強度 D=kBT的高斯白噪聲模擬熱隨機力.(1)式是涉及雙穩系統、外界對系統的作用和熱噪聲三要素的 Langevin方程，它所描述的是一個熱力學系統的演化過程.

本文采用反饋耦合的方法，構建如圖1所示的反饋耦合控制原理框圖.

圖1 耦合雙穩系統原理圖

圖1耦合控制過程中各變量與參數之間的關系可用如下的耦合方程來表示

式中γ是耦合系數.對于并不滿足隨機共振匹配條件的被控雙穩系統(a0x-b0x3)，通過調節控制雙穩系統(ay-y3)的參數a和耦合參數γ，使之能人為地產生隨機共振或共振的效應更為強烈.

(2)式描述的是布朗粒子處于靜態勢函數V(x，y)為

中的過阻尼運動.耦合系數γ和參數a的變化影響耦合系統的勢函數結構，從而將對系統的共振產生影響.考慮周期外力Acos(ωt)的作用，耦合系統隨時間變化的勢函數為

記X=(x，y)，ζ(t)=(ξ(t)，0)，則(2)式可改寫為下式所示的力平衡方程

由于作用到耦合系統的周期力Acos(ωt)和隨機力ξ(t)都是沿x方向的，因而能產生共振的運動也只能是沿著x方向.

2.2.外力對耦合系統所作的功

在外力作用下，耦合雙穩系統的平衡將被破壞，運動狀態的改變必將伴隨有能量的轉移，這個轉移的能量就是功.本文采用基于單一隨機軌線進行定義［23］.

用dX點積(5)式，可得能量平衡方程

外力對耦合系統每個周期所作的功為

式中，τ=2π/ω是外力的周期，τ0是初始的瞬變時間，〈·〉表示求集合平均.由于x(t)是隨機變量，其統計均值［2］可表示為

式中

(11)式表明噪聲強度 D的變化將影響輸出x(t)的幅值X(D)和相位φ(D)，從而必將影響外力對耦合系統所作的功W.由于在不同周期交換的熱量、內能的變化和外力的作功并不相同.本文采用計算x(t)單一軌線的多個周期平均值，并略去初始瞬態的變化.

3.數值仿真結果與分析

對于如圖1所示的耦合控制原理框圖，將耦合系統中的其中一個作為固定參數的被控系統，而另一個參數可調的系統則作為控制系統.被控系統、控制系統和耦合關系的不同參數取值，將呈現出各不相同的共振特性.通過調節噪聲強度的大小，著重分析外力與耦合系統之間的力學相互作用，并通過周期力對系統作功的大小來定量地刻畫能量的傳遞與轉換關系.數值仿真采用四階 Runge-Kutta法，初始時間τ0取為20τ，選擇n=50.

1.被控系統的參數取 a0=0.05，b0=1，作用到系統的周期力幅值 A=0.05，頻率 ω=0.02π，當設定控制系統的參數a=1，耦合系數γ=-0.18時，通過調節噪聲強度D能使耦合系統產生隨機能量共振，如圖2所示.圖2中的橫坐標是噪聲強度D，縱坐標是周期性外力對耦合系統所作的功W.圖2表明隨著噪聲強度的變化，外力對耦合系統所作的功的大小也隨之而變，且呈現出明顯的非單調峰值特性.在無噪聲存在(D=0)時，外力對耦合系統所作的功僅為W=0.0053，表明噪聲在外力對耦合系統作功或能量轉換過程中能起積極的作用.

圖2 a0=0.05，a=1，γ=-0.18時W與D關系曲線

2.保持作用到系統的周期力幅值A=0.05，頻率ω=0.02π不變，而被控系統的參數改為 a0= 0.5，b0=1.由于勢壘高度太高，x(t)只能在一個勢阱內波動，外力對系統所做的功極小.采用圖1所示的耦合控制方法，設定控制系統的參數 a=1，耦合系數γ=0.28，通過調節噪聲強度D也能使耦合系統產生隨機能量共振，如圖3所示.比較圖2和圖3，功的峰值都發生在 D=0.7附近，相同的輸入力作用到具有不同參數的耦合系統，所作功的大小與噪聲強度之間呈現出大體相同的變化曲線.

圖3 a0=0.5，a=1，γ=0.28時W與D關系曲線

3.被控系統的參數取 a0=1，b0=1，作用到系統的周期力幅值 A=0.3，頻率 ω=0.1π，當 a=8，γ=0.04時，通過調節噪聲強度 D能使耦合系統產生隨機能量共振，如圖4所示.由于作用到耦合系統的外力幅值 A較大、頻率 ω較高，對耦合系統所作的功也較大，且功的大小對噪聲強度的敏感區域也較寬.

圖4 a0=1，a=8，γ=0.04時W與D關系曲線

4.結 論

研究了布朗粒子在耦合雙穩系統中的過阻尼運動，分析了耦合系統的內能變化、熱量交換和外界作功的關系.從Langevin方程出發建立了基于單一軌線的耦合雙穩系統的熱力學關系，揭示了耦合系統中存在著的隨機能量共振現象，并分析比較了不同參數的耦合雙穩系統從外界獲取能量的能力.能量是物質運動的一種普遍量度，適用于各種運動形態.將作功與能量引入隨機共振能更加深刻地揭示這一過程的物理本質，并適用于其他不同領域的隨機共振研究.本文對耦合雙穩系統隨機能量的研究只有初步的，完整的理論方法還有待進一步研究.

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PACS:05.40.Ca，05.70.-a

Interaction of force and coupled system and stochastic energetic resonance*

Lin MinZhang Mei-Li
(College of Metrology Technology and Engineering，China Jiliang University，Hangzhou 310018，China)

28 April 2010;revised manuscript

31 May 2010)

The process of work done on the system by the external force is equivalent to the process of change in system state. The thermodynamic relations of coupled bistable system based on single stochastic trajectories are established by using microcosmic dynamics and macroscopic thermodynamic methods，according to the stochastic dynamics described by Langevin equation.The transmission and conversion relations of energy are quantitatively characterized via interaction of force and work of coupled system，which reveals the coupled system exhibitingstochastic energetic resonance phenomenon.Through analyzing relationship between work done and energy，the physical nature of produced stochastic resonance is further revealed.

coupled bistable system，stochastic thermodynamics，stochastic energetic resonance，work

*國家自然科學基金(批準號:10972207)和浙江省自然科學基金(批準號:Y7080111)資助的課題.

*Project supported by the National Natural Science Foundation of China(Grant No.10972207)and the Natural Science Foundation of Zhejiang Province，China(Grant No.Y7080111).