雙勢(shì)阱中玻色-愛(ài)因斯坦凝聚的絕熱隧穿*

黃 芳 李海彬

(浙江工業(yè)大學(xué)理學(xué)院應(yīng)用物理系，杭州 310023)

雙勢(shì)阱中玻色-愛(ài)因斯坦凝聚的絕熱隧穿*

黃 芳 李海彬

(浙江工業(yè)大學(xué)理學(xué)院應(yīng)用物理系，杭州 310023)

(2010年2月9日收到;2010年5月16日收到修改稿)

研究了玻色-愛(ài)因斯坦凝聚體在雙勢(shì)阱中隨著能級(jí)差絕熱循環(huán)變化而發(fā)生的絕熱隧穿.發(fā)現(xiàn)當(dāng)相互作用較強(qiáng)且初態(tài)選擇為凝聚體全部置于較淺勢(shì)阱時(shí)，演化過(guò)程破壞絕熱定理，而演化結(jié)果有可能回到初態(tài)，也有可能不回到初態(tài)，取決于演化周期的選擇;另外還發(fā)現(xiàn)演化過(guò)程表現(xiàn)出對(duì)初態(tài)選擇的依賴，具有不對(duì)稱的特征.利用能級(jí)圖和相圖，對(duì)上述現(xiàn)象給出了解釋.

玻色-愛(ài)因斯坦凝聚，Landau-Zener模型，絕熱隧穿

PACS:03.65.-w，03.75.Lm，42.50.-p

1.引 言

1995年在實(shí)驗(yàn)中實(shí)現(xiàn)了超冷稀薄原子氣體的玻色-愛(ài)因斯坦凝聚 (Bose-Einstein condensates，BEC)，激起了物理學(xué)界的研究熱潮，不論從實(shí)驗(yàn)還是理論角度都取得了豐碩的成果.一方面，關(guān)于凝聚體的超流性質(zhì)，集體激發(fā)，相干性和量子相變等性質(zhì)的研究對(duì)于深入理解物理世界具有重要的意義［1］.另一方面，BEC的研究已經(jīng)顯著地滲透到物理學(xué)的其他各個(gè)領(lǐng)域，如量子通信、量子計(jì)算與量子信息等領(lǐng)域;而且，在原子鐘制造、原子干涉儀和重力常數(shù)精確測(cè)量等方面也有廣泛的應(yīng)用.

在關(guān)于凝聚體自身性質(zhì)的研究中，宏觀量子效應(yīng)是一個(gè)重要課題，例如宏觀量子隧穿現(xiàn)象，考慮放置在雙勢(shì)阱中的凝聚體，理論上首先發(fā)現(xiàn)了BEC在雙勢(shì)阱中的約瑟夫森效應(yīng)［2，3］，若考慮 BEC原子間的相互作用，還發(fā)現(xiàn)了自陷獲(Self-trap)等奇特現(xiàn)象［2，3］，這些都已在實(shí)驗(yàn)中得到了證實(shí)［4，5］，并引起廣泛的研究興趣［6—11］.

實(shí)際上，雙勢(shì)阱中BEC的性質(zhì)在平均場(chǎng)近似和雙模近似下，可以用非線性 Landau-Zener模型［12］來(lái)描述.我們知道，Landau-Zener模型是一個(gè)典型的兩能級(jí)系統(tǒng)，在量子力學(xué)中，它是一個(gè)基本的物理模型，同時(shí)在量子化學(xué)、碰撞理論、鈉磁鐵的自旋隧穿和量子計(jì)算等領(lǐng)域有廣泛的應(yīng)用.在Landau-Zener模型基礎(chǔ)上，如果考慮相互作用等效應(yīng)，就可以得到非線性 Landau-Zener模型.可以在其中發(fā)現(xiàn)不同于線性模型的效應(yīng)，如量子絕熱定理的破壞等［12—14］.另外可以考慮對(duì)此模型的相關(guān)參數(shù)進(jìn)行調(diào)制，研究對(duì)模型動(dòng)力學(xué)的影響［15—20］，并由此研究光子晶格中的非線性 Landau-Zener隧穿［21，22］，非線性三能級(jí)體系的絕熱 Landau-Zener隧穿［23］，光晶格勢(shì)阱中 BEC的 Landau-Zener隧穿行為［24］等問(wèn)題.

本文主要研究在雙勢(shì)阱中BEC的絕熱隧穿動(dòng)力學(xué)特性.我們發(fā)現(xiàn)由于相互作用的存在，當(dāng)對(duì)兩勢(shì)阱凝聚體的能級(jí)差進(jìn)行絕熱循環(huán)變化時(shí)，系統(tǒng)或者回到初態(tài)，或者不回到初態(tài)，而這取決于周期的選擇;另外，還發(fā)現(xiàn)隧穿結(jié)果對(duì)初態(tài)選擇的依賴，表現(xiàn)出不對(duì)稱的特性.

2.模 型

2.1.BEC雙勢(shì)阱模型

我們考慮在簡(jiǎn)諧勢(shì)阱中形成的BEC，可以利用紅失諧的激光入射勢(shì)阱中間，從而形成雙勢(shì)阱，如圖1所示.此系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)可以用無(wú)量綱的雙模非線性薛定諤方程

在本文中，我們將研究凝聚體在雙勢(shì)阱之間的絕熱隧穿，即當(dāng)以非常慢的速度(滿足量子絕熱定理)改變某個(gè)參數(shù)，凝聚體經(jīng)歷這個(gè)過(guò)程之后最終的狀態(tài)，特別是當(dāng)考慮原子間相互作用存在時(shí)，演化結(jié)果會(huì)有什么特征.在辨析系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特征時(shí)，需要指出的是將雙勢(shì)阱BEC模型用二能級(jí)系統(tǒng)來(lái)表示，實(shí)際上存在兩種過(guò)程.首先，這里二能級(jí)實(shí)際上是兩個(gè)勢(shì)阱中的基態(tài)能量，而一般二能級(jí)系統(tǒng)中能級(jí)和位置無(wú)關(guān)，凝聚體在這兩能級(jí)上的重新分配，稱之為躍遷;其次，由于存在雙勢(shì)阱，凝聚體可以從一個(gè)勢(shì)阱轉(zhuǎn)移到另外一個(gè)勢(shì)阱，稱之為隧穿.從下面的研究結(jié)果可以看到，這兩種過(guò)程可以是一致的，也可以各自發(fā)生.

圖1 雙勢(shì)阱中的BEC 圖上部為分布示意圖，圖下部為概率.(a)為初始時(shí)刻狀態(tài)，BEC凝聚體處于左阱(淺勢(shì)阱)中，(b)當(dāng)c=0或cv時(shí)，系統(tǒng)演化結(jié)束后凝聚體的狀態(tài)

2.2.BEC的絕熱循環(huán)演化

首先考慮能級(jí)差隨時(shí)間單向線性變化的情況，即γ=αt，t從-∞向+∞演化.當(dāng)c=0，初始時(shí)刻凝聚體全部放置在深度較淺的勢(shì)阱里，即為圖1(a)中左勢(shì)阱，演化過(guò)程中左邊的勢(shì)阱逐漸降低，而右勢(shì)阱逐漸抬高，最后右勢(shì)阱成為較淺的勢(shì)阱.根據(jù)線性Landau-Zener模型的理論，隧穿概率可以解析求得為，如果參數(shù)變化很慢，即α→0，則p=0，這意味著原來(lái)在左勢(shì)阱的凝聚體全部隧穿至右勢(shì)阱，始終留在較淺勢(shì)阱里，即能級(jí)間的躍遷沒(méi)有發(fā)生，滿足量子絕熱定理，如圖1(b)所示.若考慮原子之間的相互作用即 c≠0，當(dāng)cv時(shí)，演化結(jié)束后，凝聚體狀態(tài)如圖1(c)的模擬，這意味著量子絕熱定理的破壞［12，13］，在這種情況下，能級(jí)間的躍遷和空間隧穿同時(shí)發(fā)生.

根據(jù)量子力學(xué)，一個(gè)孤立的量子系統(tǒng)，經(jīng)歷參數(shù)絕熱循環(huán)演化會(huì)回到初態(tài)，只是相位會(huì)增加一個(gè)幾何相(berry phase).本文中，我們將考慮當(dāng)原子間的相互作用不能忽略，雙勢(shì)阱中的BEC凝聚體經(jīng)歷能級(jí)差絕熱循環(huán)變化時(shí)的演化特征.選擇了兩種演化方式作為比較的對(duì)象.

由前面的介紹，能級(jí)差的變化方式一般采取隨時(shí)間線性變化的形式即γ=αt.現(xiàn)在依舊考慮采取能級(jí)差線性變化的方式，但是對(duì)γ進(jìn)行分階段掃描，在所選參數(shù)下，可以用函數(shù)表示為 γ=-αt(ti≤t≤t0)，γ=-2αt0+αt(t0≤t≤tf)，其中ti，tf的選擇應(yīng)保證演化初態(tài)和末態(tài)近似為系統(tǒng)本征態(tài)，并且t0-ti=tf-t0.

圖2 能級(jí)差分段線性絕熱循環(huán)演化時(shí)BEC凝聚體分布隨時(shí)間的變化曲線 初態(tài)為模式.參數(shù)取值為v= 0.1，α=0.0001.(a)c=0.0和c=0.05，圖中兩個(gè)取值的曲線重合(虛線)，c=0.2(實(shí)線)，以上三種情況，時(shí)間為t0-ti=100000;(b)取c=0.2所得的結(jié)果，時(shí)間為t0-ti=100030

依舊選擇初態(tài)為凝聚體全部位于較淺勢(shì)阱(圖1(a)中左勢(shì)阱)，數(shù)值計(jì)算結(jié)果顯示于圖2.當(dāng)c=0或cv情況下，在正向掃描過(guò)程，當(dāng)γ演化跨越γ=0發(fā)生能級(jí)轉(zhuǎn)換后，p≈0.77，此時(shí)系統(tǒng)處于非線性本征態(tài)，這意味著凝聚體同時(shí)發(fā)生能級(jí)間躍遷和空間隧穿，如圖1(c)所示，之后系統(tǒng)保持在此狀態(tài)進(jìn)入逆向掃描，當(dāng)再次跨越γ=0發(fā)生能級(jí)轉(zhuǎn)換后，我們發(fā)現(xiàn)當(dāng)演化周期的選擇不同時(shí)，會(huì)出現(xiàn)兩種結(jié)果，一個(gè)近似為0.0，也就是凝聚體全部重新回到初始勢(shì)阱，這種情況似乎滿足量子絕熱定理，但是，需要指出的是只是首尾兩點(diǎn)滿足，中間過(guò)程卻遭到了破壞.另一個(gè)結(jié)果近似為0.23，即保持在非線性本征態(tài)上，此時(shí)，凝聚體不能回到初始狀態(tài)，量子絕熱定理遭到破壞.

但是我們注意到上述演化函數(shù)存在拐點(diǎn)，而在此拐點(diǎn)處，量子絕熱定理不滿足，所以考慮采取能級(jí)差變化形式為這種情況下絕熱條件為以 γ=γ0為能級(jí)差初始值，凝聚體全部布局在淺勢(shì)阱中為初始態(tài)開(kāi)始演化，且使γ0的選擇足夠大以保證此初始態(tài)近似為系統(tǒng)的本征態(tài)，計(jì)算結(jié)果見(jiàn)圖3.可以發(fā)現(xiàn)和分段線性演化情況(圖2)有相同的結(jié)果，即對(duì)于c=0和cv，則出現(xiàn)演化過(guò)程絕熱定理破壞，且最后演化結(jié)果同樣不唯一.當(dāng)對(duì)周期做改變時(shí)，或者得到圖3(a)(實(shí)線)所示，回不到初態(tài);或者如圖3(b)所示，回到初態(tài);而且我們同樣發(fā)現(xiàn)p的數(shù)值同樣近似為0.0和0.23，與對(duì) γ分階段掃描情況一致.也就是說(shuō)，對(duì)能級(jí)差分階段掃描過(guò)程中雖然有拐點(diǎn)出現(xiàn)，不符合絕熱定理，但是得到了相同的結(jié)果.

圖3 能級(jí)差以余弦形式絕熱循環(huán)演化時(shí)BEC凝聚體分布隨時(shí)間的變化曲線 初態(tài)為模式.圖中取值為γ0= 4.0，v=0.1，(a)取T=120000，c=0.0和0.05，這兩個(gè)取值的曲線重合(虛線)，c=0.2(實(shí)線);(b)取T=120020，c=0.2的概率

另外，我們還發(fā)現(xiàn)，在上述兩種演化過(guò)程中，演化結(jié)果還依賴于初始態(tài)的選擇，如果選擇將凝聚體全部布局在較深勢(shì)阱，即作為初態(tài)，則不論 c取多大，凝聚體都會(huì)經(jīng)歷滿足絕熱定理的演化過(guò)程而回到初態(tài)，如圖4所示，這和作為初態(tài)的情況完全不同，體現(xiàn)出一種不對(duì)稱的特征.那么，如何解釋這些奇特的行為呢?

圖4 BEC凝聚體分布隨時(shí)間的變化曲線 初態(tài)為模式.(a)能級(jí)差分階段線性變化，其中 v=0.1，α= 0.0001，時(shí)間為t0-ti=100000，c分別為0.0，0.05，2.0，所得到的曲線一致;(b)能級(jí)差余弦變化，其中，T= 120000，γ0=4.0，v=0.1，c分別為0.0，0.05，2.0，所得到的曲線一致

2.3.分析與討論

我們?cè)趫D5中給出了模型(1)式的能級(jí)結(jié)構(gòu)圖，其中c>v.可以看到(見(jiàn)圖5(a))，在高能級(jí)上出現(xiàn)了一個(gè)環(huán)狀結(jié)構(gòu).

圖5 非線性Landau-Zener模型的能級(jí)圖 圖中取值為v=0.1，c=0.2.(a)為正向掃描過(guò)程的能級(jí)圖，(b)為正向掃描結(jié)束后逆向掃描過(guò)程的能級(jí)圖

圖6中均取c>v的情況，γ所取的值對(duì)應(yīng)于能級(jí)圖5(a)上的虛線a，b，c，d，e.若選擇為初態(tài)，γ是從正值向負(fù)值變化.首先看圖6(a)，當(dāng)γ=0.4時(shí)，出現(xiàn)對(duì)應(yīng)本征態(tài)的兩個(gè)橢圓點(diǎn)p1，p2，當(dāng)勢(shì)阱中凝聚體從系統(tǒng)的本征態(tài)開(kāi)始演化，隨 γ減小，演化到圖5(a)的環(huán)狀結(jié)構(gòu)邊緣，此時(shí)劈裂出雙曲線點(diǎn) p3.當(dāng)γ=0時(shí)，兩勢(shì)阱能級(jí)發(fā)生轉(zhuǎn)換，凝聚體原子發(fā)生空間隧穿和能級(jí)間躍遷，較多部分原子隧穿到另一個(gè)勢(shì)阱中，即保留在高能級(jí)，其他較少部分留在原來(lái)勢(shì)阱.之后系統(tǒng)演化至圖6(d)中橢圓點(diǎn)p1和雙曲線點(diǎn)p3融合消失.圖6(e)為環(huán)結(jié)構(gòu)消失后的演化態(tài).如圖5(b)所示，此時(shí)初態(tài)處于非本征態(tài)，大部分原子處于高能級(jí)勢(shì)阱中，小部分原子處于低能級(jí)勢(shì)阱中，此狀態(tài)演化至γ=-γ0然后開(kāi)始逆向演化，由于此時(shí)系統(tǒng)處于非本征態(tài)，p≈0.77，當(dāng)演化至 γ= 0，勢(shì)阱的能級(jí)位置再一次發(fā)生轉(zhuǎn)換時(shí)，一種可能是各勢(shì)阱中凝聚體原子不發(fā)生能級(jí)躍遷，依舊停留在這個(gè)非本征態(tài)上，此時(shí)p≈0.23，如圖3(a)(實(shí)線)所示，即在逆向掃描過(guò)程中遵從絕熱定理.另一種可能性為低能級(jí)勢(shì)阱中那小部分的原子全部躍遷到另一個(gè)能級(jí)上，得到圖3(b)p=0.0，即又回到了初態(tài).從計(jì)算中可以看出是否回到初態(tài)依賴于周期的選擇，這是因?yàn)樵谀芗?jí)轉(zhuǎn)變的時(shí)候，模型實(shí)際上并沒(méi)有嚴(yán)格停留在一個(gè)狀態(tài)上，而是有小幅的振蕩，如圖3所示.當(dāng)周期不同，會(huì)導(dǎo)致在轉(zhuǎn)變點(diǎn)(γ= 0)系統(tǒng)的狀態(tài)，即振幅和相位，都有所不同，從而導(dǎo)致了演化結(jié)果的不同.

圖6 取c=0.2，v=0.1時(shí)Hamilton量在不同參數(shù)γ下的相空間結(jié)構(gòu)圖 (a)γ=0.4，(b)γ=0.045，(c)γ=0，(d)γ=-0.045，(e)γ=-0.4.箭頭代表不動(dòng)點(diǎn)pi隨著γ減小的移動(dòng)方向

3.結(jié) 論

通過(guò)緩慢改變雙勢(shì)阱中BEC凝聚體的能級(jí)差，使此系統(tǒng)產(chǎn)生循環(huán)演化來(lái)研究凝聚體的絕熱隧穿.發(fā)現(xiàn)當(dāng)原子相互作用達(dá)到一定強(qiáng)度時(shí)，初態(tài)全部放置在淺勢(shì)阱(高能級(jí))中的凝聚體所經(jīng)歷的演化過(guò)程會(huì)破壞量子絕熱定理，發(fā)生了凝聚體的空間隧穿和能級(jí)躍遷，而且演化結(jié)束后，系統(tǒng)可能回到初態(tài)，也可能不回到初態(tài)，而這依賴于演化周期的選擇.另外，我們還發(fā)現(xiàn)，隧穿結(jié)果還依賴初態(tài)的選擇，當(dāng)從淺勢(shì)阱演化會(huì)出現(xiàn)絕熱隧穿的破壞，而從深勢(shì)阱(低能級(jí))出發(fā)則不會(huì)，體現(xiàn)出不對(duì)稱特征.通過(guò)給出此模型的能級(jí)圖及相圖，我們發(fā)現(xiàn)能級(jí)中出現(xiàn)的環(huán)狀結(jié)構(gòu)改變了本征態(tài)的演化特征，從而導(dǎo)致了上述破壞絕熱定理的結(jié)果和初態(tài)依賴的不對(duì)稱特征.

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PACS:03.65.-w，03.75.Lm，42.50.-p

Adiabatic tunneling of Bose-Einstein condensate in double-well potential*

Huang Fang Li Hai-Bin
(Department of Applied Physics，Zhejiang University of Technology，Hangzhou 310023，China)

9 February 2010;revised manuscript

16 May 2010)

We studied the adiabatic tunneling of Bose-Einstein condensates(BEC)in double-well potential with circle adiabatic variation of energy level spacing.We found that the adiabatic theorem is violated during the evolution of BEC，when the initial state is chosen such that all condensate atoms are in the shallow well and the interaction between atoms is strong enough.Furthermore，we found that the condensates can return to the initial state or not，depending on the evolution periods.In addition，we also found the evolution is dependent on the choice of initial state，which indicates an asymmetric character.With the help of the graph of energy levels and the phase diagram，we explained the results obtained.

Bose-Einstein condensates，Landau-Zener model，adiabatic tunneling

*國(guó)家自然科學(xué)基金(批準(zhǔn)號(hào):10605020)和浙江省自然科學(xué)基金(批準(zhǔn)號(hào):R107377)資助的課題.

*Project supported by the National Natural Science Foundation of China(Grant No.10605020)and the Natural Science Foundation of Zhejiang Province，China(Grant No.R107377).