量子Turbo乘積碼*

肖海林 歐陽繕 謝 武

(桂林電子科技大學信息與通信學院，桂林 541004)

量子Turbo乘積碼*

肖海林歐陽繕 謝 武

(桂林電子科技大學信息與通信學院，桂林 541004)

(2009年12月28日收到;2010年5月29日收到修改稿)

量子通信是經典通信和量子力學相結合的一門新興交叉學科.量子糾錯編碼是實現量子通信的關鍵技術之一.構造量子糾錯編碼的主要方法是借鑒經典糾錯編碼技術，許多經典的編碼技術在量子領域中都可以找到其對應的編碼方法.針對經典糾錯碼中最好碼之一的Turbo乘積碼，提出一種以新構造的CSS型量子卷積碼為穩定子碼的量子Turbo乘積碼.首先，運用群的理論及穩定子碼的基本原理構造出新的CSS型量子卷積碼穩定子碼生成元，并描述了其編碼網絡.接著，利用量子置換SWAP門定義推導出量子Turbo乘積碼的交織編碼矩陣.最后，推導出量子Turbo乘積碼的譯碼跡距離與經典Turbo乘積碼的譯碼距離的對應關系，并提出量子Turbo乘積碼的編譯碼實現方案.這種編譯碼方法具有高度結構化，設計思路簡單，網絡易于實施的特點.

CSS碼，量子卷積碼，量子Turbo乘積碼，量子糾錯編碼

PACS:03.65.Ta，42.30.Va，42.50.Ex

1.引 言

量子通信是通信技術的又一次劃時代革命，它在保密性、通信容量、通信距離等方面都具有十分明顯的優勢，是未來通信發展的方向.量子通信傳送的是密鑰而非密文本身，是一個量子密鑰分發過程［1］.目前采用的通信技術嚴重制約了量子密鑰分發的比特率.將多輸入多輸出(MIMO)技術應用于量子通信系統，提高量子密鑰分發的比特率，促進量子通信向高速、大容量發展［2，3］.然而，由于量子噪聲和環境的影響，使得量子密鑰在分發過程中產生誤碼率.為了提高量子密鑰分發的效率和降低誤碼率，增加量子通信的可靠性，必須進行量子糾錯編碼［4］.受到經典糾錯編碼技術的啟發，Shor［5］在1994年提出了一種用9量子位編碼1位量子信息，糾正任一量子位發生錯誤的編碼方案.Shor的方法促進了量子糾錯編碼理論的產生與發展.通過借鑒經典糾錯編碼理論，人們提出了一系列量子糾錯編碼方案.其中以 CSS型碼［6，7］和穩定子碼理論［8，9］最為成熟和重要.Ashikhim等［10］于2001年在 CSS碼基礎上利用有限幾何學的方法構造了量子低密度奇偶校驗碼(LDPC).David等［11］于2004年在 CSS碼基礎上，利用特殊稀疏序列，提出了4種構造校驗矩陣的方法得到新的量子 LDPC.2008年邢莉娟等［12］給出了CSS型量子卷積碼的一種新的編譯碼方法，描述了編譯碼網絡.該方法將碼字基態變換為信息多項式與生成多項式的乘積，然后用量子態上的多項式乘法操作實現編譯碼網絡.同年，岳克峰等［13］利用有限幾何中的點和線，構造出LDPC碼的校驗矩陣，并根據這種LDPC碼的特點，通過對校驗矩陣的行或列變換得到其對偶碼，從而獲得基于CSS碼的量子LDPC碼.2009年Djordjevic［14］在CSS碼基礎上提出適合光纖通信的量子LDPC碼，它的編譯碼非常簡單，只取決于受控非門和Hadamard門操作.

Turbo碼是目前最受關注的經典糾錯編碼技術之一［15，16］，它汲取了傳統級聯碼的優點，利用交織減少各成員碼的相關性，性能接近于香農極限［17］.同時開創性地引入迭代譯碼的思想，譯碼也很簡單.Turbo乘積碼［18］(TPC)是一種以經典碼為子碼的Turbo分組碼，在譯碼算法上采用了軟輸入軟輸出的迭代譯碼思想.在碼率較高的情況下，編碼增益較大，而且在譯碼性能上獲得了近似 Turbo卷積碼譯碼的編碼增益.相對于經典Turbo乘積碼，量子Turbo乘積碼成為量子糾錯碼研究的新方向，而且構造好的穩定子碼也是量子 Turbo乘積碼的重要技術.

2.經典Turbo乘積碼

經典Turbo乘積碼就是采用軟輸入軟輸出迭代譯碼的乘積碼，是傳統 Turbo卷積碼技術的一種延伸，也稱為 Turbo分組碼.從編碼的角度看，它就是乘積碼而已.從譯碼的角度看，它采用的是與Turbo碼類似的迭代譯碼結構，只是構成Turbo乘積碼的子碼通常是一些線性分組碼或卷積碼，所以在SISO譯碼算法上有別于Turbo譯碼器中常用的算法［19］.乘積碼是通過將兩組或多組經典碼排列在一個兩維或多維的陣列中而構成的，其最小距離等于子碼最小距離的乘積.乘積碼實際上也是一種特殊的串行級聯碼，子碼的級聯順序可以任意交換而不影響碼的結構和性能.Turbo乘積碼引入乘積碼的概念，用兩個或多個短的經典碼簡單而有效率地構造長碼.其編碼器由兩個或多個塊編碼器串行級聯而成，這些編碼器被簡單的行/列交織器分隔開來.二維Turbo乘積碼的乘積碼結構框圖如圖1所示.為譯碼器的輸出碼字.Turbo乘積碼的譯碼器結構方框圖如圖3所示.

圖1 二維Turbo乘積碼結構框圖

圖2 Turbo乘積碼的編碼器結構方框圖

Turbo乘積碼在信噪比較高時具有更加穩定的譯碼輸出，它解決了譯碼結果的漲落問題，收斂速度也較快.此外，Turbo乘積碼可以用一個子譯碼單元來完成多次迭代，這意味著可以大大減少實現電路的復雜度，同時將減小譯碼時延.

3.量子Turbo乘積碼

3.1.新構造CSS型量子卷積碼

通過Steane碼，人們找到了經典碼與量子碼間構造的橋梁.CSS碼是 Calderbank，Shor和 Steane等［20—22］首先提出的一類量子糾錯碼.其原則是將經典碼看作Hilbert空間中的量子態，利用原碼及其對偶碼的級聯分別糾正比特翻轉和相位翻轉錯誤. CSS碼結合了級聯碼和對偶碼兩種編碼思想，與經典碼具有良好的對應關系，從而可以利用經典糾錯

圖3 Turbo乘積碼的譯碼器結構方框圖

圖1中C1［n1，k1］和C2［n2，k2］是兩個經典碼，ni為碼長，ki為信息比特數.Turbo乘積碼的編碼器結構方框圖如圖2所示.

在譯碼過程中，譯碼模塊A輸出的外賦信息經過交織后送入譯碼模塊B，而譯碼模塊B輸出的外賦信息解交織后又反饋到譯碼模塊B，經過多次迭代后譯碼模塊B的譯碼輸出經判決后得到譯碼結果.在譯碼器中，兩個譯碼模塊均采用 Chase算法，它的性能接近于最大似然譯碼.該算法的基本原理是:利用硬判決譯碼器，根據不同的試探序列產生幾個候選碼字，然后把它們與接收序列進行比較，挑選一個與接收序列有最小軟距離的候選碼字作碼來構造量子糾錯碼，而且具有非常直觀的代數結構，非常易于分析.為了與經典糾錯碼相區別，習慣上用符號［［n，k，m］］表示碼長為n的量子位，信息為k量子位的量子碼，m為約束長度.

設x∈C1且為 C1中的任意一個碼字，定義量子態

其中，“+”為按比特的“模2”方式加.C1和C2分別為［n，k1］和［n，k2］經典卷積碼，且有 C2C1.利用C1和C2的對偶碼可糾正t個比特翻轉差錯和相位翻轉差錯.量子CSS(C1，C2)碼具有如下形式的一個檢驗矩陣

假設(C1，C2)是［［n，k］］在有限空間 Fq編碼對，且滿足

這里C1，C2≤Fq，span{·}表示線性張量子空間.向量滿足，相應的結構圖如圖4所示.

同樣假設(D1，D2)是［［N，K］］在有限空間Fqk編碼對.將(C1，C2)和(D1，D2)進行級聯，必須在Fq和Fqk進行變換，引入兩個變換空間的關系式.我們選擇是Fq空間的一組基，選擇是 Fqk空間的一組基.Fqk是 Fq線性矢量空間，則滿足Fq雙線性變換ft，即

圖4 CSS(C1，C2)型量子卷積結構示意圖

式中Tr{·}表示求跡，πi(·)(i=1，2)為Fqk空間到Fq空間的線性內射變換.CSS(L1，L2)型量子卷積碼構造表達式為

其中k重向量(η1，η2，…，ηk)(ηi∈GF(2s))在迦邏華域GF(2s)上形成一個向量空間，共有2ks個元素.在組合數學中，GF(2s)上的 2ks個 k重向量形成GF(2s)上的k維歐氏幾何.多項式ψ(Li)取決于第i個輸出端和編碼存儲單元之間如何用加法器和乘除器連接.給定一定參數為［［nN，kK，m］］的量子卷積碼，其生成元可以用左右兩個GF(2s)上的(nN-kK)×nN矩陣來表示.這里矩陣行對應不同的生成元，列對應不同的量子位.構造CSS(L1，L2)型量子卷積碼的穩定子碼生成元矩陣為

圖5 參數為［［6，1，3］］的CSS(L1，L2)型量子卷積碼的編碼網絡 “H”表示Hadamard門

從圖5中我們發現，新構造的CSS型量子卷積碼的編譯碼網絡只包含Hadamard門與控制非門，涉及相位翻轉操作的算子都可以忽略.編譯碼的復雜度大大降低，網絡的結構非常簡單.此外，我們新構造的CSS型量子卷積碼可以實現由短的CSS型量子卷積碼的級聯取代長卷積碼，降低了系統的復雜度，而且它的穩定子生成碼包含Pauli算子群代數中的算子.量子編碼的漢明距離可以用Pauli算子的最小重量表示［23］.在二元對稱信道中，最大后驗概率等效于最小漢明距離.在量子 Turbo乘積碼譯碼過程中，將Pauli算子群的維數賦予不同的置信系數作為譯碼輸出，從而可以在譯碼復雜度和譯碼性能之間進行靈活選擇.

3.2.量子交織器

交織矩陣的應用是Turbo系列碼性能優越的重要原因，它改變了Turbo系列碼的重量分布，使產生小重量碼字的輸入序列在通過交織矩陣后以很大的概率產生大重量碼字.通過選取好的交織矩陣，可以提高 Turbo系列碼的自由距離，減少低重量碼字的個數，最大限度地發揮交織器的作用.在量子通信中，量子交織器是利用量子置換 SWAP門操作［24］來實現，量子置換定義為

其中S={σx，σy，σz}為Pauli矩陣的矢量.J(t)為量子態的耦合常數［27］，在無消相干子空間且滿足J(t)和H的U變換表達式為

其中a1，a2分別為對應的湮滅算子.(13)，

(14)和(15)式得到多量子比特交織的表達式為

其中 u±，v±∈U，且滿足和uj±=［1±(-1)sj］/2，sj，sj+1∈(a，a+).從(16)式中得出量子交織編碼矩陣對應于 Pauli算子群代數中的算子，可以稱為錯樣算子.錯樣算子在態空間中的表示是可約的.每個不可約表示對應一種量子錯誤，其中具有最小維數的不可約表示稱為最簡不可約表示.將最簡不可約表示的維數和重數賦予不同的概率提高量子Turbo乘積碼的自由距離，產生大重量碼字.此外，譯碼時，最簡不可約表示對應的錯誤還可以作為譯碼的依據.

3.3.量子Turbo乘積碼譯碼

在經典譯碼中，常采用編譯碼之間的最小距離(歐式距離或者漢明距離)的序列作為最佳估計序列，而量子編譯碼之間的距離用跡距離來描述［28］.因此，尋求經典 Turbo乘積碼的譯碼距離和量子Turbo乘積碼的譯碼距離存在某種對應關系對譯碼工作是十分重要的.

其中σ為Pauli矩陣向量，α∈S，β∈R.簡化(17)式可得到

圖6 量子 Turbo乘積碼的編譯碼器 QCCi為量子卷積碼，QI為量子交織器，SOQVAi為軟輸出量子Viterbi譯碼器，QI-1為量子去交織器，POVM為廣義測量，⊕為模2加

4.結 論

量子糾錯碼技術是實現量子通信和量子計算實用化的基礎.迄今為止，量子糾錯碼理論日趨完善，許多經典的編譯碼技術在量子領域中都可以找到其對應的編譯碼方法.針對經典糾錯碼中最好碼之一的Turbo乘積碼，研究了量子 Turbo乘積碼的編譯碼方法，它通過 CSS型量子卷積碼級聯，采用了經典類比的方法，因此在編譯碼器的形式上與經典串行級聯卷積碼基本上相同.這樣可以選用經典Turbo乘積碼的設計方案非常方便地構造出量子Turbo乘積碼，并從理論推導中得到這種對應的關系.我們首先運用群的理論及穩定子碼的基本原理構造出新的CSS型量子卷積碼穩定子碼生成元，并描述了其編碼網絡.接著，利用量子置換 SWAP門定義推導出量子 Turbo乘積碼的交織編碼矩陣，這種量子交織編碼矩陣對應于Pauli算子群代數中的錯樣算子.對錯樣算子的最簡不可約表示的維數和重數賦予不同的概率能提高量子Turbo乘積碼的自由距離，產生大重量碼字.最后，推導出量子 Turbo乘積碼的譯碼跡距離與經典 Turbo乘積碼的譯碼距離的對應關系，并提出量子Turbo乘積碼的編譯碼實現方案.這種編譯碼方法具有高度結構化，設計思路簡單，網絡易于實施的特點.量子 Turbo乘積碼不僅可以拓展量子糾錯編碼技術的研究領域，而且可能解決經典方法難以解決的編碼理論難題.

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PACS:03.65.Ta，42.30.Va，42.50.Ex

Quantum turbo product codes*

Xiao Hai-LinOuyang Shan Xie Wu
(School of Information and Communication，Guilin University of Electronic Technology，Guilin 541004，China)

28 December 2009;revised manuscript

29 May 2010)

Quantum communication is a growing interdisciplinary field which combines classical communications and quantum mechanics.Quantum error correction coding is one of the key techniques in quantum communication.Nearly all of the classical error correction coding schemes have been transplanted to the domain of quantum communication，and the quantum counterparts of classical error correction coding techniques have been found.Based on the classical turbo product codes(TPCs)which is one of the most outstanding schemes in classical coding region，a new structure of the CSS-type quantum convolutional codes(QCC)as stabilizer sub-code of the quantum turbo product codes(QTPC)is presented. Firstly，CSS-type QCC stabilizer generator is constructed with the help of group theory and the basic principle of stabilizer coders，and the corresponding networks are described.Secondly，the interleaved coded matrix of the QTPC is obtained by quantum permutation SWAP gate definition.Finally，the corresponding relation between the quantum trace distance of QTPC decoding and the distance of classical TPCs decoding is obtained，and the scheme of QTPCs coding and decoding is completed.The coding and decoding of QTPCs have a highly regular structure and a simple design idea，and the networks are easy to realize.

CSS coding，quantum convolutional codes，quantum turbo product codes，quantum error correcting coding

*國家自然科學基金(批準號:60972084)、國家重點基礎研究發展計劃(批準號:2008CB317109)和廣西科學基金(批準號:桂科自0991241)資助的課題.

*Project supported by the National Natural Science Foundation of China(Grant No.60972084)，the National Basic Research Program of China (Grant No.2008CB317109)，and the Guangxi Science Foundation of China(Grant No.0991241).