非傳統(tǒng)近似下海洋內(nèi)波的一類WKB近似解

劉永軍, 宋金寶, 黃小峰

（1. 中國科學(xué)院 海洋研究所, 山東 青島 266071; 2. 中國科學(xué)院 海洋環(huán)流與波動重點實驗室, 山東 青島266071; 3. 中國科學(xué)院 研究生院, 北京 100039）

非傳統(tǒng)近似下海洋內(nèi)波的一類WKB近似解

劉永軍1,2,3, 宋金寶1,2, 黃小峰1,2,3

（1. 中國科學(xué)院 海洋研究所, 山東 青島 266071; 2. 中國科學(xué)院 海洋環(huán)流與波動重點實驗室, 山東 青島266071; 3. 中國科學(xué)院 研究生院, 北京 100039）

在非傳統(tǒng)近似（即, 包含地轉(zhuǎn)水平分量在內(nèi)的完整地轉(zhuǎn)效應(yīng)）條件下, 用 WKB（Wentzel–Kramers–Brillouin）方法得到了密度連續(xù)分層海洋內(nèi)波的一類 WKB近似解。為了檢驗所得到的WKB近似解的有效性, 對WKB解各垂向速度模態(tài)與基于三點中心差分格式及QR算法的數(shù)值計算結(jié)果進行了詳細比對, 結(jié)果表明, 當浮頻率N（z）是關(guān)于深度z的慢變函數(shù)時, WKB近似解與數(shù)值結(jié)果符合良好。另外, 還比較和分析了非傳統(tǒng)近似與傳統(tǒng)近似條件下內(nèi)波解的差別, 結(jié)果表明: 地轉(zhuǎn)水平分量一般是不能忽略的, 對海洋內(nèi)波的生成、演變及消衰的研究有著非常重要的意義。

柯氏力參量; 內(nèi)波; WKB（Wentzel–Kramers–Brillouin）近似; 標準化; 非傳統(tǒng)近似

大量研究表明, 地轉(zhuǎn)水平分量在海洋內(nèi)波研究中是不可忽略的, 該參量對解釋海洋內(nèi)波傳播規(guī)律、內(nèi)波遙感信息提取以及海洋模式中內(nèi)波參數(shù)化問題等具有重要的意義。許多作者在忽略地轉(zhuǎn)水平分量的傳統(tǒng)近似條件下得到了不同形式的內(nèi)波近似解（如,Garrett和 Munk[1-2]; Levine[3]; Blumenthal和 Briscoe[4]等）。近年來, 包含地轉(zhuǎn)水平分量在內(nèi)的完整地轉(zhuǎn)效應(yīng)（即, 非傳統(tǒng)近似）對海洋內(nèi)波的影響引起人們的廣泛關(guān)注（如, Gerkema和Shrira[5]; Kasahara和Gary[6];范植松和方欣華[7-8]等）, 盡管他們用不同的方法探求內(nèi)波方程組波動形式的漸近解, 但均只在浮頻率N是深度z的特定函數(shù)模型情況下得出漸近解（如Gerkema和Shrira[5]用浮頻率模型得到的Airy形式漸近解, 以及范植松和方欣華[7-8]采用GM72[1-2]的 e指數(shù)模型 （） /*0ez b N z=N, 選取地轉(zhuǎn)水平分量f～作為小參數(shù)用攝動展開方法得到的漸近解等）, 作者在Gerkema和Shrira[5]及Levine[3]等人研究工作的基礎(chǔ)上, 由線性內(nèi)波控制方程出發(fā), 對密度連續(xù)分層海洋, 用WKB近似方法和非傳統(tǒng)近似下新的標準化條件, 得到了考慮完整地轉(zhuǎn)效應(yīng)的一類WKB近似解析解, 并對這一類近似解與相應(yīng)的數(shù)值結(jié)果進行了詳細的比對。

1 WKB 近似解

密度連續(xù)分層的海水, 在無旋、不可壓、Boussinesq和完全f-平面近似（也稱非傳統(tǒng)近似）下,線性內(nèi)波控制方程組為（Gerkema和 Shrira[5]; Phillips[9]）:

其中: 坐標系原點取在無擾動海面, 坐標軸x,y和z的方向分別向東, 向北和垂直向上,u,v和w分別對應(yīng)x,y和z軸三個方向的速度分量,b是浮力,p是壓力擾動除以平均密度,ζ為內(nèi)波波面位移,N（z）是Brunt-V?is?l? 頻率,= 2?sin （Ω是地轉(zhuǎn)角速度,φ為緯度）是地轉(zhuǎn)柯氏力垂向分量,= 2?cos 是地轉(zhuǎn)柯氏力水平分量。這里, 我們考慮浮頻率N（z）是關(guān)于深度z的函數(shù)（除非另外說明）。在傳統(tǒng)近似下, 地轉(zhuǎn)水平分量=0。

海面邊界條件采用“剛蓋近似”, 海底滿足無滲透邊界條件, 即

由于方程（1.a）～（1.e）中的系數(shù)均與時間t, 水平位置x和y無關(guān), 可將方程（1.a）～（1.e）的解表示成以下形式（Blumenthal和Briscoe[4]）:

方程（7）所表述的ψ（z）只是垂向流速W（χ,z）的一個組成部分, 只有當fs=0時, 方程（7）才是垂向流速W（z）的方程。另外, 非傳統(tǒng)近似項在垂向流速指數(shù)部分中的存在使流速的相位產(chǎn)生偏移。對于任意分布的浮頻率N（z）, 方程（7）和邊界條件（8）構(gòu)成了一個Sturm- Liouville 本征值問題。對特定形式的浮頻率分布N（z）, 例如當N（z）為常量時, 這類本征值問題的解析解可直接獲得, 而當N（z）是隨z而變化的一般函數(shù)時, 得到方程組（7）和（8）的精確解非常困難, 人們通常采用一些近似方法。這里, 我們引入WKB近似方法對方程組（7）和（8）進行求解和討論。

首先, 為表達簡便, 令

則方程（7）表示為:

在WKB近似求解過程中, WKB近似展開式（11）對級數(shù)截斷到S1項要求N（z）隨z慢變。這是因為要使WKB近似有效, 必須滿足條件:

由于S1（Z）和S0（Z）確定中的積分常數(shù)可以合并到通解（11）中, 由（17）和（19）得:

2 ψ j（z）的正交標準化條件

根據(jù)Gerkema和Shrira[5], 將第j個模態(tài)的垂向速度w表示為:

再根據(jù)（4）和（5）可以得到方程（1.a）～（1.e）中其他物理量的模態(tài)解, 這些模態(tài)解可以用表示為:

這里:uj,vj和ζj分別是x,y方向的水平速度及垂向位移的模態(tài)解。為確定（27）式中的系數(shù)C1, 參照Garret和 Munk[2]標準化條件公式, 波函數(shù)的標準化條件是:

將（27）代入（41）可得:

3 WKB近似解與數(shù)值計算結(jié)果的比對

為檢驗WKB近似解（43）的有效性, 我們將其與方程（7）的數(shù)值結(jié)果進行比對, 比對過程如下:

圖1 ψj （z）前三個模態(tài)的解析解與對應(yīng)的數(shù)值解的對比Fig. 1 Comparison of the analytical solutions and corresponding numerical results for the first three modes

從圖 1中可以看出解析解與其相對應(yīng)的數(shù)值解很好地重合, 這表明本文所采用的三點差分格式是穩(wěn)定的, 對特征值和特征向量的計算所采用的QR算法是可靠的, 得出的數(shù)值解與精確解符合良好。所以,可以同樣的方法對WKB近似解和數(shù)值解進行比對。

當浮頻率N（z）不是常數(shù)而是隨著深度z變化時,使用相同的方法, 我們對WKB近似解（43）和對應(yīng)的數(shù)值解之間進行比對。作為例子, 這里我們引用Garrett和Munk[2]的大洋密度連續(xù)分層浮頻率模型:

圖2給出了WKB近似解（43）的前四個模態(tài)（用實線表示）和每個模態(tài)相對應(yīng)的數(shù)值結(jié)果（用點線表示）,其中數(shù)值解已用離散化標準化條件（56）進行了標準化。由圖2可以看出, 對于前兩個模態(tài), 偏差比較明顯, 但隨著模態(tài)數(shù)的增加, WKB近似解越來越接近其對應(yīng)的數(shù)值解, 與數(shù)值解吻合非常好, 也就是說,模態(tài)數(shù)越高本文中所得到的WKB近似解越精確。

4 非傳統(tǒng)近似與傳統(tǒng)近似的差別分析

通過對WKB近似解與數(shù)值解的比較可知, WKB近似解極其接近其對應(yīng)的數(shù)值解, 因此, 可近似地將（44）作為方程（7）的解析解, 進而可以用來描述內(nèi)波的一些物理性質(zhì)和運動規(guī)律。

圖2 ψj （z）前四個模態(tài)的WKB近似解與對應(yīng)數(shù)值解的對比Fig. 2 Comparison of the WKB approximate solutions and the corresponding numerical solutions for the first four modes

本文用近似解析解（44）對非傳統(tǒng)近似和傳統(tǒng)近似情況進行比較和分析。首先選取近似解（44）的前10個模態(tài)為例, 每個模態(tài)從0～4 km深度區(qū)間選取100個點對應(yīng)的Wj（z）值, 分別計算出傳統(tǒng)近似下和非傳統(tǒng)近似下的Wj（z）平均值, 最后得出絕對平均偏差和相對平均偏差。所得出的結(jié)果在表1中列出。這些計算結(jié)果顯示了相對偏差隨著模態(tài)數(shù)的變化的情況。參數(shù)選取:（即北緯 22.50）,=π/4 （內(nèi)波向東北方向傳播）。圖3共4個子圖, 分別對應(yīng)第1模態(tài),第3模態(tài), 第6模態(tài)和第10模態(tài)。從圖3可清楚地看出, 模態(tài)數(shù)越高, 非傳統(tǒng)近似Wj（z）與傳統(tǒng)近似下的Wj（z）相比較的偏差越為明顯。

表1 W（z）在傳統(tǒng)近似情況下與非傳統(tǒng)近似情況下的比較Tab. 1 Comparison of the W（z） under the non-traditional and traditional approximation

5 結(jié)論

本文由非傳統(tǒng)近似條件下的線性內(nèi)波控制方程出發(fā), 用WKB近似方法得到了一組WKB近似解的一般表達式, 用導(dǎo)出的非傳統(tǒng)近似條件下的標準化條件, 得到了一類 WKB近似解析解, 并通過數(shù)值方法對其精確性進行了驗證。結(jié)果表明, WKB近似解析解與數(shù)值結(jié)果符合良好。非傳統(tǒng)近似與傳統(tǒng)近似條件下內(nèi)波解的差別比較和分析表明, 地轉(zhuǎn)水平分量對內(nèi)波的影響一般是不應(yīng)忽略的, 在海洋內(nèi)波的生成、演變及消衰的過程中有著非常重要的作用。

圖3 非傳統(tǒng)近似情況下WKB近似解與傳統(tǒng)近似下的解之間的比較Fig. 3 Comparison of the WKB approximate solutions under the non-traditional and traditional approximation

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[8] 范植松, 方欣華. 旋轉(zhuǎn)向量水平分量對大洋內(nèi)波方程的影響[J]. 海洋學(xué)報, 1998, 20（3）: 129-133.

[9] Phillips O M. 上層海洋動力學(xué)[M]. 北京: 科學(xué)出版社, 1983: 250-253.

Received: Mar., 16, 2010

Key words:coriolis parameter; internal waves; WKB（Wentzel–Kramers–Brillouin） approximation; normalization; non-traditional approximation

Abstract:In this paper, a type of WKB（Wentzel–Kramers–Brillouin）approximate analytic solutions was derived by applying the WKB method to the internal waves in continuous density-stratified ocean under the ‘non-traditional approximation’, the complete effect of the earth’ rotation being considered. The vertical velocity modes obtained from the WKB approximate solutions were compared with the numerical results to test the validity of WKB approximate solutions. The study shows that the WKB approximate solutions proposed are consistent with the numerical results, when the buoyancy frequencyN（z）varies gradually with the ocean depthz. In addition, by comparing the WKB solutions for non-traditional and traditional solutions of internal waves, it is found that the horizantal component of the earth’ rotation can not be ignored generally. Our results are important to the study of generation,evolution and dissipation of internal waves in the ocean.

（本文編輯:劉珊珊）

A type of WKB solutions for internal waves under the“non-traditional approximation”

LIU Yong-jun1,2,3, SONG Jin-bao1,2, HUANG Xiao-feng1,2,3
（1. Institute of Oceanology, the Chinese Academy of Sciences, Qingdao 266071, China; 2. Key Laboratory of Ocean Circulation and Waves, the Chinese Academy of Sciences, Qingdao 266071, China; 3. Graduate University of the Chinese Academy of Sciences, Beijing 100039, China）

P731.24

A

1000-3096（2011）01-0081-07

2010-03-16;

2010-11-08

中國科學(xué)院知識創(chuàng)新工程重大項目（KZCX1-YW-12; 國家自然科學(xué)基金創(chuàng)新群體項目（40821004）

劉永軍（1970-）, 男, 河北滄州人, 博士研究生, 研究方向:物理海洋學(xué), E-mail: lyj00001@163.com