一堂數列課的教改實踐

●荊志強 (丹陽市第六中學 江蘇丹陽 212300)

“數學課，怎么上”這個看似平談的話題卻十分沉重.現今的數學課教學，普遍存在“教師講得累，學生學得苦，教學效果不理想”的狀況，這嚴重影響了教學質量的提高和優秀人才的培養.筆者在長期實踐中摸索出“自學交流、自主成長”的教學模式，收到了“輕負擔、高質量”的良好效果.本文以高三數學第一輪復習課“求數列前n項和”為例，介紹筆者的一些做法和體會，供大家參考.

1 自學交流，自主成長

1.1 課前準備

課前印發學案讓學生自己初步完成，內容為相關基礎知識：數列前n項和的概念、等差數列、等比數列、通項公式及前n項和公式.

基本訓練題：

(4)已知數列{an}的通項an=(-1)n-1n，求前n項和Sn;

(5)求數列 1，1+2，1+2+22，…，1+2+22+…+2n-1前n項和;

(6)求數列 a，2a2，3a3，…的前 n 項和.

上課前，教師瀏覽學生初步完成的學案，了解學情及學生掌握基本方法的情況、學生的常錯點、卡殼處，并及時將學案發還給學生以便上課使用.

1.2 課堂交流

課堂上，教師將講臺讓給學生，讓學生把課前準備的學案放在投影儀上進行交流，并相互對話，去偽存真，集思廣益.學生1第一個展示自己的學案：

此時，學生2走到投影屏前，指出學生1給出的等比數列前n項求和公式Sn有錯，正確結果應對公比q加以討論，即

這里存在一個很好的教育契機，教師問學生2：為什么要進行分類討論?這把學生的思維引向了回顧反思之中.學生1補充：追溯公式的產生過程，由乘減法得(1-q)Sn=a1(1-qn)，只有當1-q≠0時，1-q才能作分母;事實上，等比數列中有q=1的情況，因此學生2給出的公式不全面.理解公式的來龍去脈，走出機械記憶的怪圈，就能有效避免忽視特例導致的失誤.

(全班學生給學生1、學生2報以熱烈的掌聲.)

接下來的基本訓練題較容易，學生都躍躍欲試.學生3走上講臺展示第(1)題的解答：

學生4跑上講臺，拿起教鞭，指點著數列的項對大家說：這里有n+1項，原式應等于2n+1-1.但是學生3并不服氣：經驗證，當n=1時，左邊=1，右邊=1，顯然成立.

(這時教室里一片寂靜，學生陷入沉思，心智展開充分的辨析活動，孰是孰非，原因何在?)

討論后，學生達成共識：正確答案為2n+1-1.注意到n=1，左邊=1+21=3與21+1-1相等.

(至此，大家心悅誠服地接受了學生4的結果).

然后學生5、學生6、學生7分別展示了第(2)、第(3)、第(4)題的做法：

教師肯定了以上學生的解法，并與學生共同歸納了數列求和的基本思路：轉化為等差(等比)數列、拆項抵消、分類討論等，尤其要注意所給數列的項數.為了培養學生的洞察力及思維的機敏性，教師啟示學生觀察第(4)題的特征，思考不討論求和的解法，從而激發學生積極搜索有效信息，開辟新的思維通道.

學生8運用推導等比數列前n項和的思路給出了新的解法：

點評運用“乘減法”求數列前n項和是十分重要的方法，在數列求和中廣泛應用.

接下來，引領學生共同研究余下的2個例題.學生9解答了第(5)題：

點評抓住通項公式，是求數列前n項和的重要環節.

學生10給出了第(6)題的解答，令

式(1)的左右2邊同乘以a，得

此時，已有學生發現學生10的解答過程不嚴謹.

學生11認為在式(3)中對a+a2+…+an求和時，已默認了該數列為等比數列 a，a2，…，an.事實上當a=0時，它不是等比數列，此時Sn=0，這個結果蘊含于a≠1時的形式內.這就是說，必須分類討論后歸納出正確的答案，即

以上6道題并不復雜，選題旨在幫助學生歸納基礎知識和基本方法，引領學生掌握數列求和的基本思維策略，最后教師與學生共同研究了一道學案之外的思考題：

這道題課前沒有做過，學生比較生疏，沒有現成的模式可以套用，必須臨場發揮，具體問題具體分析.良久不見學生舉手，可見學生思維受阻，教師不急于告訴學生方法，而是啟示學生從已知條件{an}為等差數列，{akn}為等比數列去挖掘數列{kn}的特征，然后啟迪學生從聯結2個數列的紐帶上去尋找關系，讓學生從簡單入手，尋找階梯一步一步走出困境.

總評 盡管學生12沒有走完全程，但邁出了艱難的第一步.學生13終于在“紐帶”上找到了希望.

(全班響起了熱烈的掌聲，這掌聲既是對這2位學生的鼓勵，更是對他們不畏艱難、勇于攀登精神的贊美.下課了，學生們仍然余興未盡，仍在追思其中的奧妙.)

1.3 初步效果

整堂課，教師占用的時間不足10分鐘，教學的重心是學生將自學的內容、心得在課堂上交流，在交流的過程中去偽存真，完善自我，開拓思維.學生深深地感受到，教師把其推到前臺，匯報其所思、所做，真正有了主人的感覺，不再是被動接受的容器.這不但鍛煉了學生的表達能力、思辨能力，提高了解題速度、書寫規范意識，加強了學習自覺性，而且讓學生獲得了學習的愉悅，收獲了成長的勇氣和信心.

2 幾點啟示

在近幾年中，筆者邊學習、邊實踐、邊思考，終于摸索出“自學交流，自主成長”的成功模式，取得了驕人的教學業績，收到了同行專家的高度贊揚.深刻反思筆者的教學過程，有幾點重要啟示，值得廣大同行關注.

啟示1 讓出講臺，不教而教

“課堂教學的重心究竟在哪里?是以教為主還是以學為主?”這是很多同行疑惑的問題，有些同行沒有加以思考，重復著“我講你聽”的老調.數學課程標準明確指出：“高中數學課程應力求通過各種不同形式的自主學習，探究活動，讓學生體驗數學發現和創造的歷程，發展他們的創新意識”.筆者在教學中，讓出講臺，把以教為主轉變為以學為主，達到不教而教的目的，收到了很好的效果.教師的任務主要是編制學案、了解學情，把傳統的教師講解型轉變為構建數學活動，引導學生參與數學活動;教師是活動的組織者、參與者、協調者，只在必要時進行點撥.

俄羅斯數學教育家斯托利亞爾認為，數學教學應看作數學活動的教學，即看作某種思維活動的教學，這個看法有建設性的，學生在教師設置的數學活動中，認知數學，開拓思維，培養和發展能力，才能把傳統型教學轉化為能力型數學，讓學生在活動中掌握數學.

啟示2 自學交流，凸現主體

著名數學教育家波利亞認為：直接從教師或書本那兒被動地不假思索地接受過來的知識，可能很快忘掉，難以真正變成自己的東西.在學生自學的基礎上，創設交流、探究的平臺，讓學生感受到自己不再是聽眾，而是數學活動的主角，就會變被動接受為主動參與，毫無顧忌地將自己的能力展現給大家.無論是對還是錯，正確的東西可及時得到確認，謬誤的東西可以及時得到糾正，此時的注意力，總是比較集中的，容易留下深刻印象.

在交流中切磋可以集思廣益，在交流中相互啟迪可以開闊視野，使數學課不再枯燥和茫然，而成為一種責任、一種使命.這種交流帶給學生動力，甚至產生按奈不住的沖動，學生會在這種交流中認識自我、改變自我、超越自我.

啟示3 符合規律，喜結碩果

在教學中體會到，學生是最寶貴的教育資源.學生既是學習的發生之處，也是學習的終極之處，教師在課堂上所做的一切，最后都得由學生自己去完成.當教師構建數學活動，創設交流、探究平臺，引領學生積極參與活動過程時，無論其學得好還是差，學生的掌聲都會使參與者得到心靈的震撼，讓自尊得到撫慰，精神得到愉悅，學習數學的興趣在心底閃光.

學生在學習交流中既展示成果也暴露問題，使問題能得到及時糾正，并銘記錯因，有效提高正確率.

在教學中發現，教師告訴學生的解題技巧往往被束之高閣，不能靈活運用，而在教學中若能創設情境，引領學生優化思路，在比較中感受簡潔，則最優方案容易在大腦的信息庫中被激活，做到靈活運用，如第(4)題：學生根據自身思維特點，將n分為奇、偶數討論，是無可厚非的，要求學生不討論直接求和時，學生在反復審題時發現命題具有“等比數列”特征，只要運用乘減法就能一氣呵成.學生在深思熟慮中領悟乘減法，就能靈活求解一類特殊前n項和的問題，并有效避免忽視對公比q討論產生的失誤.

當學生思維受阻時，教師不急于包辦代替，而是啟迪思維，引領學生尋找階梯走出困境，這樣的過程雖然艱難，卻使同學在積極的心智活動中，探索前行到達成功的彼岸，學生不僅增長了獨立分析問題和解決問題的能力，更是增添了自強不息、立志成才的信心.這樣的教學無疑是學生生活中的燦爛陽光，由此造就出生機逢勃的一代新人.

經過多輪教學實驗，筆者所教班級學生在高考中連續多年取得優異成績.更可喜的是，學生綜合能力在輕松高效的課堂中得到提高，培養的學生不僅成績優秀，而且口才好、能力強，終身受益.學生無不感慨地說：原來數學課可以這樣上，學習可以這么學;上數學課不僅是一個學習過程，更是一個鍛煉的過程;在這里收獲的不僅是知識、方法和能力，更是青春的成長、成才.