一道全國初中數學競賽試題另解與聯想

●李玉榮 (金陵中學河西分校 江蘇南京 210019)

題目如圖 1，在△ABC中，∠BAC=60°，AB=2AC.點P在△ABC內，且PA=，PB=5，PC=2，求△ABC的面積.

(2011年“《數學周報》杯”全國初中數學競賽試題)

圖1

圖2

原解 如圖2，作△ABQ，使得

由AB=2AC，知相似比為2，因此

又由AQ ∶AP=2 ∶1知，∠APQ=90°，得

點評此解法先通過作2個對角相等的一對相似三角形，使分散的線段PA，PB，PC相對集中，進而得到2個直角三角形，為解決問題打開了突破口.但解法中的

沒給出過程.實際上，四邊形BPAQ是梯形，還需過點A作梯形的高，進一步用勾股定理才能得到.再把這個式子整體代入三角形面積公式

從而求出△ABC的面積.輔助線的添加無疑是解決問題的關鍵.筆者對此題作了研究，利用圖形變換給出另2種解法，供參考.

另解1 如圖3，分別作點P關于 BC，AC，AB的對稱點 P1，P2，P3，連結 P1B，P1C，P2C，P2A，P3A，P3B，P3P2，P3P1.由∠BAC=60°，AB=2AC，易知∠BCA=90°，∠ABC=30°，得

因此點 P1，C，P2共線，于是

又由△P1BP3為等邊三角形得

得△P1P2P3為直角三角形，故

評注此解法通過對稱性構造出一個五邊形，轉化為3個特殊三角形求出其面積，進而求出△ABC的面積.

圖3

圖4

另解2 如圖4，延長AC至點D，使得CD=AC，連結BD.顯然，△ABD為等邊三角形.將△ABP繞點B逆時針旋轉60°，得到△DBE，DE=AP=，即△PBE為等邊三角形，故 PE=PB=5.延長PC 至點 F，使得CF=CP，則 PF=4.連結 DF，EF，易證△APC≌△DFC，于是

因為EF2+PF2=32+42=52=PE2，所以△PEF為直角三角形，故

評注此解法先構造等邊三角形，再類比一類常規問題解法，將等邊三角形內的一個三角形旋轉，最終構造出一個五邊形，然后轉化為3個特殊三角形求出其面積，進而求出△ABC的面積.

收獲 從另解1可證得

從另解2也可證得

于是原題可編制成另一個問題：

如圖 5，在△ABC中，∠BAC=60°，AB=2AC.點 P在△ABC內，且 PA =，PB=5，PC=2，求∠APC 的度數.

圖5