一個代數不等式及其若干幾何推論

●董 林 (高青縣教研室 山東高青 256300)

近日，筆者發現了一個代數不等式，若干我們熟知的幾何不等式都是它的推論，現茲錄于下，以饗讀者.

命題若 x1，x2，x3與 y1，y2，y3大小順序異向，且都是正數，對任意正整數u，v，有

證明已知 x1，x2，x3與 y1，y2，y3大小順序異向，且都是正數，根據切貝雪夫(Chebyshev)不等式得

由詹森(Jensen)不等式知根據基本不等式有即不等式(1)成立，證畢.

在不等式(1)中，取 x1=a，x2=b，x3=c，y1=p-a，y2=p-b，y3=p-c，u=v=1，即得推論 1.

推論1 在△ABC中，有

不等式(2)是文獻［1］中的不等式.

在不等式(1)中，取 x1=a，x2=b，x3=c，y1=p-a，y2=p-b，y3=p-c，u=2，v=1，即得推論 2.

推論2 在△ABC中，有

不等式(3)是文獻［2］中的不等式.

在不等式(1)中，取 x1=a，x2=b，x3=c，y1=p-a，y2=p-b，y3=p-c，u=n，v=1，即得推論 3.

推論3 在△ABC中，有

可見，不等式(4)是不等式(2)和不等式(3)的推廣.

在不等式(1)中，取 x1=a，x2=b，x3=c，y1=b+c，y2=c+a，y3=a+b，u=n，v=1，即得推論 4.

推論4 在△ABC中，有

不等式(5)是第28屆IMO競賽試題.

推論5 在△ABC中，有

不等式(6)是文獻［3］中的猜想3.

在不等式(1)中，取 x1=rbrc，x2=rcra，x3=rarb，y1=a，y2=b，y3=c，u=1，v=2，可得推論 6.

推論6 在△ABC中，有

不等式(7)是《數學通報》數學問題1 149.

在不等式(1)中，取 x1=a，x2=b，x3=c，y1=rbrc，y2=rcra，y3=rarb，u=2，v=1，即得推論 7.

推論7 在△ABC中，有

不等式(8)是文獻［1］中的不等式，也是不等式(7)的對偶式.

可得推論8.

推論8 在△ABC中，有

由基本不等式及推論6的證明，知

同理可得

從而不等式(9)強于不等式(8).

在不等式(1)中，取 x1=a，x2=b，x3=c，y1=rbrc，y2=rcra，y3=rarb，u=2n，v=n，即得推論 9.

推論9 在△ABC中，對于任意正整數n，有

不等式(10)是文獻［4］中的不等式，也是不等式(8)的推廣.

在不等式(1)中，取 x1=ra，x2=rb，x3=rc，y1=ha，y2=hb，y3=hc，u=v=1，可得推論 10.

推論10 在△ABC中，有

再由ra+rb+rc=4R+r及不等式(1)就可得不等式(11)成立.

由熟知的 Euler不等式 R≥2r易知，不等式(11)強于文獻［1］中的 H.Demir-D.C.B.Marsh不等式

在不等式(1)中取 x1=ra，x2=rb，x3=rc，y1=ma，y2=mb，y3=mc，u=v=1，結合 ra+rb+rc≥ma+mb+mc［1］可得推論 11.

推論11 在△ABC中，有

不等式(13)是文獻［5］中的不等式.

由平面幾何知識，可知 ma≥hb，mb≥hb，mc≥hc，因此不等式(13)也是不等式(12)的一個加強.

依據不等式(1)還可以將不等式(12)推廣為

推論12 在△ABC中，對于任意正整數n有

在不等式(1) 中，取 x1=an，x2=bn，x3=cn，y1= λ(bn+cn)-an，y2= λ(cn+an)-bn，y3=λ(an+bn)-cn，其中 λ≥2n-1，u=v=1，即得

不等式(15)推廣了1982年Klamkin給出的不等式［6］：

對于任意的λ≥1，有

［1］ Bottema O.幾何不等式［M］.單墫譯.北京：北京大學出版社，1991.

［2］ 宋慶.關于三個幾何不等式［J］.中學數學教學參考，1997(10)：34-35.

［3］ 宋慶，宋光.一個代數不等式與一類幾何不等式［J］.中學教研(數學)，1999(12)：22-25.

［4］ 方明.一個代數不等式與一類幾何不等式指數的推廣［J］.數學通訊，1999(2)：33-34.

［5］ 周才凱.一個幾何不等式的加強［J］.中等數學，1998(3)：27-28.

［6］ 宋慶.Klamkin不等式的推廣［J］.湖南數學通訊，1997(3)：25.