精心設置問題串 意義建構結論

●王華民 朱光偉 (無錫市立人高中數學名師工作室 江蘇無錫 214161)

高中新教材(人教版)主編章建躍先生歸納了我國數學教學存在的幾個主要問題：(1)數學教學不自然、強加于人，對學生數學學習的興趣與內部動機產生不利影響;(2)缺乏問題意識，不利于學生創新精神和實踐能力的培養;(3)重結果，輕過程……反思中學數學課堂，能否在淡化應試、注重培養思維能力方面打好基礎呢?

數學新授課中關于公式、法則、定理、推論一類的教學，不妨稱之為結論教學.目前在結論教學中，不少教師重結論的應用，輕結論的形成，弱化了學生的思維訓練.但從本質上看，數學教學是思維活動的教學，而數學思維活動又集中表現為提出問題和解決問題的過程.如何選擇切入點?近幾年的教學實踐表明，在結論的導入環節設置“問題”，以問題驅動，激活學生的思維，這或許是改變章建躍先生前3個問題的有效途徑.

1 通過聯系舊知，用問題串導入，使學生在憤、悱狀態下學習結論

為了充分暴露學生的數學思維過程，應該把促使數學發現活動起動的初始問題選為教學的起點.一般而言，新知的學習往往是在舊知的基礎上進行的，可以把新知與舊知的聯結點設為初始問題，創設某種問題情境，使學生進入憤、悱的狀態，為學生的思維活動提供一個好的切入口.因此，從某種意義上說，設計好初始問題，也就從根本上設計好了一節課.

案例1 高中數學必修4“同角三角函數的關系”的教學導入

(學生思考，回答.)

(3)sinα 與 cosα 有什么關系?tanα 與 sinα，cosα又有什么關系?

(學生思考.)

說明 該方案用問題串導入，讓學生嘗試解決.問題(1)是從學生最熟悉的特殊角30°入手，讓學生在聯想舊知后，得到α=30°;問題(2)設置了疑惑點，在一所三星級高中的班上有少數“尖子”能說出不存在，因為1，4，5不能構成三角形的3條邊，這些學生對直角三角形的勾股數很熟悉;問題(3)是問題(1)和問題(2)的一般情形，點出本課的主題，學生帶著疑惑“到底是怎樣的關系”進入憤、悱狀態，急于想知道謎底，故產生了學習的動力.再來回顧舊知——任意角三角函數的定義，經過觀察發現：可以通過平方解決.

對結論教學的導入，是從問題導入(如案例1)還是從復習舊知導入，或是從多鋪墊導入，主要的差別在于思維含量.在新舊知識的聯結點上設計問題串，要考慮學生的認知水平，在最近發展區內著力發掘.

2 通過聯系實際，用問題串導入，激發學生探索結論的興趣和熱情

數學來源于生活.在教學活動中，如果能根據結論的特點，聯系生活實際，從生活中挖掘、提煉素材，尋求激趣元素，用問題串導入，那么便可以激發學生的探索興趣，而學習興趣對于提升學生思維和提高教學質量是非常重要的.另外，從某些課堂反饋：學生被動地跟著教師回答這個、操作那個，其實是在一種盲目的狀態下學習，目標不清，其效率自然低下.該如何改變呢?可以嘗試在學習結論前，圍繞“為什么要學習結論”設計問題串，讓學生理解學習結論的必要性，從而進入自覺學習狀態.

案例2 選修2-3中1.5節“二項式定理”的導入

教材與學情分析教材是從學生熟悉的(a+b)2的展開式以及(a+b)3，(a+b)4的展開式，提出問題：你能寫出(a+b)n(n∈N*)的展開式嗎?研究的目標比較明確.可見，新教材已經關注了問題引入，但顯得較為簡約.“用教材教”促使我們思考，能否針對這一目標提出一個學生熟悉的實際問題，讓他們在問題情境中去探索和交流呢?

問題1 今天是星期三，那么過820天后的那一天是星期幾?

讓學生先獨立思考或展開相互交流、討論，再請代表回答.可能會出現以下幾種思路：(1)使用計算器，但一般計算器難以表達這個天文數字;(2)借助計算機，但需設計程序;(3)因為一個星期7天，所以只要看這個數被7除余幾.

經過簡單討論后，大家達成共識：不一定要求出該天文數字，只要將它轉化成被7除余幾的數學問題即可.由820=(7+1)20可以猜想：被7除的余數為多少呢?

學生憑直覺，可能是1，但不知道結論是否正確.

問題2 我們一起來研究二項式(a+b)n的展開式，看它如何構成?(略停片刻)

問題3 面對一個一般情形的困難問題，將如何處理呢?

生：特殊化，從特殊到一般.

師：好!我們就從n=2開始吧，觀察(a+b)2，(a+b)3的展開式：

讓學生找出每一項的構成，并歸納出各項字母與系數的特征……

解決起始問題，前后呼應.

說明 問題1是學生熟悉的問題情境：一方面能激發學生探索的欲望和興趣;另一方面，該問題具有一定的挑戰性，學生一時又難以解答，他們帶著懸念和期盼投入探索之中.問題2是為了明確本堂課的教學目標.問題3可促使學生思考解決問題的常用方法，這是從問題解決的需要及方法論的角度精心設計的一組問題串.

3 通過實驗操作，用問題串導入，使學生在認知沖突中體驗結論的形成過程

數學實驗操作包括動手畫圖、裁剪、計算、媒體演示等.在教學預設中，應根據結論的特點，安排學生進行實驗操作，從中提煉并形成問題串，這是學習、獲取結論的重要手段.

案例3 “直線與平面垂直的判斷定理”的導入

教材與學情分析在學習線面垂直的判斷定理之前，學生已學習了線面垂直的定義，因此線面垂直的判定定理就不是本課的一個初始問題，而是有待進一步研究的問題.對于該定理，蘇教版教材采用的是操作確認：用一張矩形紙片對折后展開并豎立在桌面上，觀察到折痕與桌面垂直;再用旗桿從2個不同的方向進行驗證，得到判定定理.學生能理解，但其思維要求較低，可考慮設置問題串.

問題1 如圖1所示，一根旗桿與地面垂直，如何進行檢驗?

說明 該問題是為了回答學生的疑問“為什么有了定義還要研究判定”而設置的過渡問題.學生思考后感到用定義檢驗不方便，那么用什么辦法呢?教師巧妙設置了思維障礙，讓學生經歷思維上的挫折，引發認知沖突，促使學生積極探索判定方法，思考的方向是將平面內的直線條數從“無限”轉化為“有限”.教師接著問：在地面上至少需要幾條?1條?2條?這2條是否平行?學生有不同觀點在碰撞……

圖1

圖2

考慮到初中學生已經有大量的折紙操作，因此可設置實驗操作情境：請大家拿出準備好的三角形紙片，一起做實驗.如圖2，過△ABC的頂點A翻折紙片，得到折痕AD，將翻折后的紙片豎起放置在桌面上(BD，DC與桌面接觸).

問題2 折痕AD與桌面垂直嗎?如何翻折才能使AD與桌面所在平面α垂直?

說明 通過折紙活動讓學生發現，當且僅當折痕是BC邊的高時，所在直線AD與桌面所在平面α垂直，如圖3所示.讓學生沿點A進行各種翻折，充分觀察、思考與討論，教師參與其中.

圖3

圖4

問題3 (反面思考)當折痕AD與BC不垂直時，繞AD無論怎樣翻折，翻折后始終與桌面所在平面α不垂直嗎?為什么?

說明 判定一條直線與一個平面不垂直，只要該直線與平面內的一條直線不垂直即可，這是回歸定義的分析.

問題4 如圖4，當折痕AD⊥BC時，繞AD無論怎樣翻折，翻折之后的垂直關系AD⊥BD，AD⊥CD是否發生變化?由此能得到什么結論?

學生感到垂直關系是不變的.這樣，直線與平面垂直的判定定理就呼之欲出了!

說明 高中新課標強調立體幾何教學中用直觀感知、操作確認、思辨論證、度量計算的方法認識和探索幾何圖形及其性質.但怎樣操作既能歸納出判定定理，又不降低學生的思維要求呢?本課充分利用教材中的折紙實驗素材，給學生提供多次操作的機會，通過問題串引導、觀察、操作，不僅從正面驗證，也從反面說明，讓學生在認知沖突和操作中體驗結論的形成過程，理解會更深刻，效果會更突出.

4 根據學生的差異，用不同層次問題串導入，使學生在結論的探索過程中思維得到有效訓練

因不同層次的學生在接受、解決問題方面存在差異性，教師要考慮設計一些差異性的問題，包括問題的起點、問題的深淺等.

案例4 必修1“函數的零點”存在定理

在學習了“零點”的概念之后，將學習“函數零點存在定理”.如果僅僅是介紹該定理，只需3～4分鐘，之后安排大量的變式訓練.這樣，雖然學生當堂接受沒有問題，但對于此定理的印象不深、遷移運用不暢，達不到“發展學生思維”的目的.面對不同層次的學生，可以設置不同的問題串導入.

對于層次較高的班級學生，可設置以下問題串：

總問題 如何判定一個函數在某區間上存在零點?

(讓學生思考、探究，部分學生能想到：特殊化，從具體而熟悉的函數入手，作為起點.)

問題1 函數f(x)=x2-2x-1在區間(2，3)上是否存在零點?

(學生通過求根公式，得出函數f(x)在區間(2，3)上存在零點.)

問題2 從“形”的角度，如何判定函數在區間(2，3)上是否有零點及零點的個數?

(學生畫出函數f(x)=x2-2x-1的圖像，觀察得到函數在區間(2，3)上有一個零點.)

之后，教師進一步提出下列問題：

問題3 請大家觀察圖5，如何用符號語言來刻畫這一事實呢?

(讓學生思索1分鐘.)

問題4 你能發現函數的零點與端點 f(2)，f(3)，f(0)的函數值的符號有什么直接聯系嗎?

(由小組討論2分鐘，再請代表根據圖5，交流并概括函數零點存在定理.)

對于層次偏低的班級學生，教師要通過減少隱性問題、增加顯性問題等來降低難度.設置如下：減少總問題，直接提出具體的問題1和問題2，把問題3和問題4改為以下較為顯性的問題串：

(1)在區間(2，3)上有沒有零點?f(2)，f(3)值的正負號如何?

(2)在區間(0，2)上有沒有零點?f(0)，f(2)的正負號如何?

(3)在區間(3，+∞)上有沒有零點?注意函數的變化趨勢.

(4)從以上結果，你能發現函數的零點與端點f(2)，f(3)，f(0)值的符號有什么直接聯系嗎?

圖5

說明 該案例是對結論“零點存在定理”分層設置了問題串，如上述總問題和問題3都具有隱蔽性，思維起點較高，適宜基礎較好的學生.課堂顯示：雖然學生在探究過程中遇到了一些困難和障礙，但這些問題引發了學生的積極思維.問題4較為顯性和具體，大部分學生都能解答.而設置更為顯性的問題串，是為了給層次較低的學生一次成功的機會.雖然問題的探究花費了15分鐘，但這樣的“分級提問”促使了不同層次學生的思考，使得每一位學生的思維都得到激活，體現了層次教育、教育公平和成功教育.

面對一些思維活躍的尖子生，有時還可以通過提出跨度較大的挑戰性問題，促使學生發現結論;有時也可以給尖子生預留點時間，讓他們自己發現并提出問題.

教學實踐表明：在教師的必要引導下，學生圍繞導入問題思考，不僅經歷了探究的過程、感受了結論的意義形成表象，而且注意力高度集中，催生了靈感，建構了結論.

［1］ 孔企平，張維忠，黃榮金.數學新課程學習與數學學習［M］.北京：高等教育出版社，2003.

［2］ 孔小明.“直線與平面垂直的定義與判定”的教學設計與說明［J］.數學通訊，2010(12)：14-15.