從“焦點”植入中考談解題技巧

●金建華 (趙甸初級中學 江蘇南通 226362)

近年來，在中考試題中時常可見涉及高中數學知識的試題，這類試題的出現讓學生無從下手，讓教師手足無措.先舉2例有趣的涉及“焦點”的中考試題.

(2)對拋物線上的任意點P，是否存在點N(1，t)，使得PM=PN恒成立，請說明理由.

(2010年湖北省黃岡市數學中考試題)

圖1

圖2

例2 已知拋物線y=ax2+bx+c經過點A(-4，3)，B(2，0)，當 x=3 和 x=-3 時，這條拋物線上對應點的縱坐標相等.經過點C(0，-2)的直線l與x軸平行，O為坐標原點.

(1)求直線AB和拋物線的解析式;

(2)以A為圓心、AO為半徑的圓記為⊙A，判斷直線l與⊙A的位置關系，并說明理由;

(3)設直線 AB上的點 D的橫坐標為 -1，P(m，n)是拋物線 y=ax2+bx+c上的動點，當△PDO的周長最小時，求四邊形CODP的面積.

(2010年江蘇省南通市數學中考試題)

這2道試題均涉及到拋物線的焦點，例1是探求焦點，例2是運用焦點的性質解題.面對高中數學甚至高等數學的植入，怎樣應對中考題是每位數學教師必須思考的問題，是不是應該拓寬學生的知識面、滲透高中數學和高等數學知識?這2道試題的解答能給我們什么啟示呢?

例1中第(1)小題可通過計算證明PF=PM;第(2)小題由第(1)小題中PF=PM知，F為可能滿足條件的點之一，再觀察拋物線上特殊點(頂點)便知是唯一點.以此猜想F就是所求的點N，再通過計算證明PM=PF.第(2)小題的解答須借助第(1)小題的結論(PM=PF)探索和利用第(1)小題的思路論證.第(1)小題是已知點P坐標的具體數值，計算說明PM=PF，第(2)小題只不過是字母代替數值而已，方法相同.

例2中第(3)小題由第(2)小題的結論猜測并證明：當點P在拋物線上運動時，PO總等于點P到直線l的距離，從而把三角形周長最小問題轉化為垂線段最短問題(如圖2).第(3)小題的解答須借助第(2)小題的結論(AO=AM)猜想，再借助其方法論證.借助已有結論大膽猜想，嚴謹求證，是解題的關鍵.

2道試題的解答都沒用新知識、新方法，解題的關鍵在哪里?借助已探究成立的結論大膽猜想，效仿已實踐可行的方法小心求證.

中考試題承載著評判教學效果和指導教學過程的重任，要考查學生掌握知識的多少、運用知識的能力，更要考查學生運用知識研究數學、獲取知識的能力.數學的發展過程就是數學家研究和發展數學的過程，每步研究都吸取了前人的成果和經驗.中考試題也體現著知識的生長和數學的發展過程.以已探究的成果作為解決新問題的支點是解題的技巧之一，這種應用又存在3個不同層次.

1 利用探究的結論解題

(1)求∠BAC的度數;

(2)將△ACD沿AC折疊為△ACF，將△ABD沿AB折疊為△ABG，延長FC和GB相交于點H，求證：四邊形AFHG是正方形;

(3)若 BD=6，CD=4，求 AD 的長.

圖3

(2010年江蘇省南充市數學中考試題)

思路簡析 設AD的長為x，則GH=HF=AG=AF=x，BH=x-6，CH=x-4.在 Rt△BCH中，利用勾股定理便可求得AD的長.

這是一道遞進式問題，在第(2)小題中∠GAF=90°的證明利用了第(1)小題的結論(∠BAC=45°)，第(3)小題的解決又要利用第(2)小題的結論(正方形的4條邊相等，4個角都是直角).

有意識利用已探究的結論往往能挖掘到其中的隱含條件，明確探索方向，提高解題速度.像這樣利用結論的試題很多，有些是利用探索過程中的結論(中間結論)，有些是直接利用已探索的結論，有些則須用到推廣的結論.例1就是借助結論猜想，例2則是利用了推廣的結論，正是利用了這些結論，才使問題順利得到解決.

2 利用探究的方法解題

例4 如圖4，已知正方形ABCD中，E為對角線BD上一點，過點E作EF⊥BD交BC于點F，連結DF，G為DF的中點，連結EG，CG.

(1)求證：EG=CG;

(2)將圖4中△BEF繞點B逆時針旋轉45°(如圖5所示)，取 DF中點 G，連結 EG，CG，問第(1)小題中的結論是否仍然成立?

(3)將圖5中△BEF繞點B旋轉任意角度，如圖6所示，再連結相應的線段，問第(1)小題中的結論是否仍然成立?通過觀察你還能得出什么結論? (2009年山東省東營市數學中考試題)

圖4

圖5

圖6

思路簡析 (1)略.

(2)如圖7，延長EG與AD的延長線交于點H，連結 CE，CH.通過△EFG≌△HDG，△EBC≌△HDC，可證EG=GH，CE=CH，從而問題得證.

(3)如圖8，延長EG到點H，使得 GH=EG，連結 DH，CE，CH.通過△EFG≌△HDG，△EBC≌△HDC，可證EG=GH，CE=CH，從而問題得證.

圖7

圖8

這是一道并列式問題的試題，似乎第(3)小題與第(2)小題沒有關系，但如果不是借助第(2)小題中已實踐可行的解決方法來探索第(3)小題，不僅難以找到思路，就是找到思路也難以探究下去.因為∠EBC=∠CDH的探索比較困難，但因有第(2)小題的實踐經驗給了進一步探索的信心、手段、思路和方向，才能克服阻礙，最終解決問題.

有意識地利用探索的方法，明確探索的手段和步驟，易挖掘到隱含條件，增加探索信心，提高探索強度，從而使問題快速得到解決.

通常的綜合題有遞進式和并列式兩類：遞進式問題往往須要利用已有的研究成果(包括中間結論、推廣結論);并列式問題往往須要運用研究的方法，要注意有意識地利用已有的研究結果和已實踐可行的方法作為解決下一個問題的支點.

3 利用探究的思想解題

有些綜合題只是利用已有的結論，效仿前面的方法還是不能解決問題.

例5 如果一條直線把一個平面圖形的面積分成相等的2個部分，我們把這條直線稱為這個平面圖形的一條面積等分線.如平行四邊形的一條對角線所在的直線就是平行四邊形的一條面積等分線.

(1)三角形的中線、高線、角平分線分別所在的直線一定是三角形的面積等分線的有_______.

(2)如圖9，在梯形 ABCD中，AB∥DC，如果延長DC 到點E，使 CE=AB，連結AE，那么 S梯形ABCD=S△ADE.請你給出這個結論成立的理由，并過點A作出梯形ABCD的面積等分線.

圖9

圖10

(3)如圖10，在四邊形ABCD中，AB與CD不平行，S△ADC＞S△ABC，過點 A能否作出四邊形 ABCD的面積等分線?若能，請畫出面積等分線，并給出證明;若不能，請說明理由.

(2010年江蘇省連云港市數學中考試題)

思路簡析第(1)小題的答案很顯然，沒有難度;只要利用第(1)小題的結論，解決第(2)小題也比較簡單;但在解決第(3)小題時，不少學生依然采用第(2)小題的方法(延長DC到點E，使CE=AB，連結AE)，卻不能解決問題.這時必須利用第(2)小題的解題思想(把四邊形轉化為等積的三角形)，用另一種方法解決問題.假設 S四邊形ABCD=S△ADE，那么 S△AEC=S△ABC，從而判斷 BE∥AC(緣果索因的分析方法).

解題教學存在3個不同層次：學會解題、掌握方法、領悟思想.如果學生只學會解題，那么學于此止于此，這樣的學生只能生搬硬套，不能靈活運用;如果學生能掌握一種方法，那么能解決一類問題;如果學生能掌握一種思想，就會在這種思想的支配下采取各種各樣的方法，解決各種不同的問題，這樣才能應對“下放式”的中考題，這樣的學生才能成為有思想、有頭腦的創業者，能夠成為進一步學習數學、研究數學和發展數學的人才.教師應具備培養學生解題思想的能力，在習題教學中注重思想方法的提煉和提升.

高等數學的下放，說明了數學研究方法的系統性和連續性，更說明了初等數學研究方法的重要性.在初等數學的教學中要重視解題思想、研究方法及解題技巧的滲透，讓學生化“無意識”地利用為“有意識”地利用，拾階而上，快速解題.