課題：柱體、錐體、臺體的表面積和體積

438200 浠水實驗高中 涂遠文

課題：柱體、錐體、臺體的表面積和體積

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1 教學設計

1.1 教學目標分析

《空間幾何體》這一章是學生進入高中后開展的對立體幾何部分知識的初步學習，《新課程標準》對本章的要求是幫助學生逐步形成空間想象能力.本章內容的設計遵循從整體到局部、具體到抽象的原則，教師應提供豐富的實物模型和利用計算機軟件呈現空間幾何體.

根據研究分析，確定教學目標如下：

知識與技能目標：

(1)了解并會運用柱體、錐體、臺體的表面積和體積公式.

(2)掌握柱體、錐體、臺體體積的求解方法.

(3)領會類比、轉化、割補等思想方法.

過程與方法目標：

經歷“實踐——認識——再實踐——再認識”的過程，使學生初步了解認識客觀事物的基本方法.

情感態度價值觀：

(1)感受到數學是自然的、清楚的、更是有用的.

(2)借助規律的發現感受數學思想的魅力，激發學生學習數學的興趣.

1.2 教學內容解析

《柱體、錐體、臺體的表面積和體積》是普通高中課程標準實驗教科書人教A版數學必修2第一章第三節的第一課時，教材只是用“探究”和“思考”的方式引起學生的注意并直接給出了圓柱、圓錐、圓臺的表面積公式和柱體、錐體、臺體的體積公式.相對來說棱柱、棱錐、棱臺的表面積公式學生較容易接受，但圓柱、圓錐的表面積公式特別是圓臺的表面積公式學生較難接受.深入鉆研教材，得出本節課的教學重、難點確定為：

教學重點：理解公式由來及掌握公式初步運用.

教學難點：柱體、錐體、臺體的表面積之間的轉化關系和體積之間的轉化關系.

1.3 教學問題診斷

我們學校從去年開始采用“163高效課堂”模式，要求將課堂交給學生，數學課分為展示課和自習課.結合我們學校的實際情況，老師在每堂展示課之前結合教材和本班同學的實際情況編寫一份導學案，學生利用數學自習課按照導學案的要求完成課前自學環節，老師通過批閱導學案發現學生自學后還存在的各種問題，讓老師的引導目的更明確，為確保課堂的高效做好準備.這節課通過批改導學案我發現同學們在自學過程中還存在以下幾個方面的問題：

(1)公式的推導方法的理解上還存在問題.

(2)公式之間的轉化關系還不夠清晰.

(3)組合體的結構特征分析有誤，計算不準.

由于學生課前自學階段自學深度不盡相同，課中互學環節討論不夠充分，在研學環節學生可能還存在以下幾個方面的問題：

(1)展示不規范(特別是畫圖不規范).(2)點評語言不夠精煉.

(3)公式的理解不夠準確不全面.

1.4 教學對策分析

為了讓學生在課前自學階段的自學達到高效，我有意識地在導學案的設計環節將問題進行分解，用問題引導學生看課本;為了讓學生在課中研學環節達到高效，將課堂交給學生，讓學生在錯誤中悟出道理，在爭論中明白思想方法，老師進行恰當引導;在課后拓學階段采取有針對的訓練來檢驗課堂效率.在課堂上采用實物投影儀、多媒體課件輔助教學，在給學生展示公式之間關系時用到了幾何畫板，讓學生更直觀感知公式之間的聯系.

1.5 教學基本流程設計(三段五環節)

1.6 教學過程設計

【課前自學階段】

課前自學階段的主要任務是在問題導學的指導下閱讀并鉆研教材，領會教材的編寫意圖，通過自學進行知識梳理，完成導學案規定的學習任務，同時通過自習暴露并發現問題，為課中互動和質疑作好準備.

在上課之前我給了一節數學自習課讓同學們按照導學案的要求完成課前自學，然后對導學案進行批閱.

【課中研學階段】

課中研學階段是指學生在個人預習的基礎上，在老師的指導下圍繞導學案在課堂上開展的學習活動.課中研學階段由五個環節構成：

(1)自學環節：學生以學習目標為核心的自學指導下，圍繞導學案開展的個人獨立學習活動.

【設計意圖】讓學生“對號入座”糾正自己的錯誤.

【處理過程】課堂上的自學是課前自學的補充和延伸，根據同學們導學案做的情況，在向學生展示導學案中存在的問題之后我給了2分鐘的時間讓同學們進行課堂上的第一次整理.

(2)互學環節：

①同層次的同學對學，即AA，BB，CC間的對學.

②小組成員之間的交流和合作討論(群學).

③教學，即“兵教兵”，主要表現為A教B，B教C，目的是解決BC兩個層次特別是C層學生通過對學和群學應該解決卻依然無法很好解決的學習問題.

【設計意圖】讓學生依靠集體的力量解決自己在自學后還存在的問題.

【處理過程】在這個環節我給了5分鐘的時間讓學生進行小組討論.

(3)研學環節：學生在自學、互學的基礎上以小組為單位把學習成果、學習體驗展示匯報給全班同學，同時又由學生自己對各組學習成果的展示進行有針對的點評.

(4)幫學環節：師生共同對這節課學習的內容進行梳理和歸納，特別是一些涉及到知識點、能力點、知識規律、方法技巧等方面的內容對學生進行引導，還要將學生學習中遇到的問題進行啟迪、點撥并加以升華，從而進一步明確和深化學習目標.

(這兩個環節沒有很明顯的界限，在學生點評過程中如果存在問題就由質疑的同學進行修正，如果還有問題，點評的同學可以向老師求助，在師生共同努力下解決同學們的疑惑.)

【設計意圖】通過對導學案的批閱，發現同學們的問題集中在問題導學部分，希望借助處理這部分的問題實現這節課重難點的突破.

【處理過程】請同學們按照課件上的要求到黑板上來展示.

問題導學

(1)畫出正方體和長方體的展開圖，你知道它們的展開圖與其表面積的關系嗎?說說棱柱、棱錐、棱臺的表面積的求法.在這些表面積的求解過程中我們都用到了什么方法?

【設計意圖】讓學生借助兩個比較熟悉的多面體懂得展開圖和表面積之間的關系，類比到用轉化的方法求棱柱、棱錐、棱臺的表面面積.

【處理過程】學生自由進行口頭展示，如果存在不完整的地方再進行引導.

(2)想一想，圓柱、圓錐、圓臺的側面是曲面，為了方便計算，你又該按照什么方式展開呢?說一說側面展開圖的形狀及表面積的求法.

【設計意圖】希望同學們知道用什么方式展開圓柱、圓錐、圓臺的側面比較合適并感受這一展開過程，還想讓同學了解圓臺的側面面積的求解方法.

【處理過程】課前每個組我都給了幾張卡紙，希望同學們能動手做模型，如果沒有做同學們能想象這個過程也行，我的課件上準備了相關的視頻.

(3)通過對教材的閱讀，你知道圓柱、圓錐、圓臺的表面積公式和柱體、錐體、臺體的體積公式了嗎?你能發現每組公式之間的聯系嗎?

【設計意圖】理順圓柱、圓錐、圓臺的表面積公式之間的關系和柱、錐、臺體體積公式之間的關系.

【處理過程】先讓學生到黑板上展示，再讓其他組的同學代表進行點評，為了讓學生更直觀的感受公式之間的轉換關系，在學生點評結束后我又用幾何畫板給同學們演示了這個漸變過程.

(＊＊)你能想到用什么方法由柱體的體積公式檢驗或者證明錐體的體積公式嗎?臺體的體積公式可以怎樣推導呢?請能想到的同學說說看.

【設計意圖】這道題主要用來檢驗A層同學自學的深度，同時開闊其他同學的視野.

【處理過程】這道題有難度，我準備在課件上用視頻對學生進行引導.

(4)閱讀教材中的例題，談談你對教材設置這三道例題的理解.

【設計意圖】強調教材在學習過程中的作用，希望同學們能領會教材編排者的良苦用心.

【處理過程】讓學生進行口頭展示.

合作探究

例1 五棱臺的上、下底面均是正五邊形，邊長分別是4cm和12cm，側面是全等的等腰梯形，側棱長是5cm，求它的側面面積.

拓展1 已知圓臺的上、下底面半徑分別是3和4，且側面面積等于兩底面積之和，求圓臺的母線長.

例2 如圖1，直角梯形ABCD上，下底長分別為2和5，高為4，將其繞BC所在直線旋轉一周，求所得旋轉體的表面積和體積.

(*)拓展1.上題中，若將其繞下底CD所在直線旋轉一周，求所得旋轉體的表面積和體積.

(＊＊)拓展2.上題中，若將其繞AB所在直線旋轉一周，求所得旋轉體的表面積和體積.

【設計意圖】讓同學們分析旋轉體的結構特征，運用本節課所學的公式，同時提高學生的點評能力.

【處理過程】從導學案的批閱來看，這部分同學們完成較好，例1和拓展就由我進行點評，例2和拓展就由學生點評讓學生鍛煉一下點評的能力.

(5)測學環節：鞏固這節課的內容，做到當堂內容當堂落實、當堂問題當堂清理過關.

圖1

①如圖是一個漏斗形鐵管接頭，它的母線長是35cm，兩底面直徑分別是50cm和20cm，制作1萬個這樣的接頭需要多少平方米的鐵皮(π取3.1，結果精確到1平方米)?

②如圖是一種機器零件，零件下面是六棱柱(底面是正六邊形，側面是全等的矩形)形，上面是圓柱(尺寸如圖，單位：mm)形.電鍍這種零件需要用鋅，已知每平方米用鋅0.11kg，問電鍍10000個零件需鋅多少千克(結果精確到0.01kg)?

圖2

【設計意圖】主要檢測同學們對本節課內容的掌握情況.

【處理過程】在結束合作探究部分的點評后我給3分鐘的時間讓同學們完成當堂檢測題，在同學們用計算器算出結果后及時核對答案.最后請學科班長進行課堂小結.

【課后拓學階段】

新課程理念下的課堂學習提倡學生帶著問題進課堂，帶著新的問題出課堂，課后拓學階段的學習主要讓學生利用數學自習時間完成訓練案的相關內容，并將學習中的典型題匯集到個人典型例題本上.

【設計意圖】通過進行有針對的訓練達到熟練運用公式的目的.

【處理過程】學生利用數學自習課的時間完成下發的訓練案.

2 教學反思

在課前我在課件的制作上做了充分的準備，設計了課堂上可能出現的各種情況.在課堂上，我將課堂完全交給了學生，只在其中起到“穿針引線”的作用.讓學生經歷實踐(做導學案)——認識(互學、研學、拓學環節)——再實踐(課堂檢測)——再認識(學生學習總結)這一過程，在這個過程中讓學生理解公式由來的基礎上理順公式之間的關系，學習了類比、化歸、割補等思想方法，較好地實現了教學目標，也讓我感覺到學生的潛力是不可估量的.給他們幾張卡紙，他們給我的是幾何模型，如果給他們一張白紙，他們也許會給我一個奇彩絢爛的世界.

這節課以活動為載體，由給出知識轉向引導活動.以方法為核心，由關注知識轉向培養能力.以學生為主體，由完成任務轉向促進發展.不足之處是在三段五環節的教學過程中學生的展示和點評過程的規范性以及語言表達能力、應變能力等方面還有待提高，公式的運用還不夠熟練.

圖3

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