基于APOS理論的數學概念教學設計——記一堂《基本不等式》公開課

215400 江蘇省太倉高級中學 張 敏

基于APOS理論的數學概念教學設計
——記一堂《基本不等式》公開課

215400 江蘇省太倉高級中學 張 敏

1 何謂APOS理論?

APOS理論是由美國數學教育學家杜賓斯基(EdDubinsky)在20世紀80年代提出的一種關于數學概念學習的新理論，是一種具有數學學科特色的建構主義學習理論，被譽為近年來數學教育界最大的理論成果之一.它分別是由英文action(操作)、process(過程)、object(對象)和schema(圖式)的第一個字母所組合而成.這種理論認為，學生學習數學概念必須要進行心理建構，這一建構過程要經歷四個階段：

(1)活動階段：數學教學是數學活動的教學，操作運算行為是數學認知的基礎性行為.學生與數學家一樣，要親自投入，通過實際經驗來獲得知識.

(2)過程階段：不斷重復這種操作，學生從中得到不斷反思，于是就會在大腦中進行一種內部的心理建構，即形成一種過程模式.這種過程模式使得操作呈現出自動化的表現形式，而不再借助于外部的不斷刺激.

(3)對象階段：當學生意識到可以把這個過程看作是一個整體，并意識到可以對這個整體進行轉換和操作的時候，其實已經把這個過程作為一個一般的數學對象，形成一個“實體”.這時不但可以具體地去指明它所具有的各種性質，也可以此為對象具體地去實施各種特定的數學演算.

(4)圖式階段：個體對操作、過程、對象以及他自己頭腦中的原有的相關方面的問題圖式進行相應的整合、精選就會產生出新的問題圖式，這種圖式的作用和特點就是可以決定某些問題或某類問題是否屬于這個圖式，從而就會作出不同的反應.顯然，個體的思維和認識狀況在這種持續建構中已經上升到更高的層次.即對有關概念進行了更高層次的加工和心理表征.

2 APOS理論下的基本不等式教學策略

2.1 基于APOS理論的基本不等式的教學策略

教材中，對基本不等式內容的編排符合APOS理論對于數學概念學習的心理建構過程，因此運用此理論能設計出更好的基本不等式教學策略.下面以基本不等式的教學為例.

最后一環節“圖式”階段.盡管大量的習題對學生鞏固基本不等式是有效的，但不可效仿傳統的“題海式”，而應考慮例題的特點，以生活中的實例(回到開始天平稱物重的實例)，讓學生從具體到抽象進一步體會運用基本不等式解決函數的最值問題及不等式的證明問題，通過對基本不等式的多種幾何解釋，完成最后的圖式階段，從另一個角度加深對基本不等式的認識.

2.2 基于APOS理論的基本不等式的教案

基本不等式在高中數學中的重要性不僅在于它的概念理解，還體現在利用基本不等式解決函數的最值問題和不等式的證明問題.根據筆者對APOS理論的理解設計出以下基本不等式的教學方案.

第一階段：觀察與操作(活動階段)——表現活動為主的感性認識

問題1 用一個天平稱一件物品，如何操作方能合理的表示物體的重量?

生1：把砝碼放在一邊，物體放在另一邊就行了!

生2：不對，天平可能不等臂，為此要左右各秤一次，將兩次所稱重量a，b相加后除以2就可以了.

師：生2的做法合理嗎?請大家討論，給出理由!

生3：不合理，生2這樣的做法仍然存在偏差，根據物理學科的杠桿原理，在生2的基礎上可求出物體的真實重量，應該為

第二階段：綜合分析(過程階段)——思維活動為主的理性思考

師：理由呢?

師：非常好，能自我修正!那么在數學中，驗證能替代證明嗎?有沒有更加嚴格的論證方法呢?

問題2 上述不等式成立嗎?請說明理由!

學生活動，小組討論部分：

師：這就是證明不等式的基本方法之一：作差法.這種證法大家很容易發現.

問題3 如何理解“當且僅當”的含義?

生6：就是兩者等價的意思!

師：說得能否再明白點呢?

師：這種證法的特點是怎樣的呢?

生7：從結果出發，一步一步倒推到已知的結論(或條件)!

師：這種“執果索因”的證明方法稱為“分析法”.其書寫格式必須是：(1)要證，即證(或用?表示即證)(2)上述各步均可逆

生8：我將上面的證法“倒過來”寫，即

(當且僅當a=b時，等號成立.)

這種證法顯然與分析法過程恰恰相反，是由已知結論(或條件)出發，一步一步推導結果.

師：這種由因索果的證明方法稱之為“綜合法”.

教師點評

①比較法(比差、比商法)、分析法、綜合法是證明不等式的基本方法.

②強調“當且僅當”的重要作用;

③比較上述兩個不等式的特征(強調它們的限制條件，并舉反例加以說明).

設計意圖 學生在頭腦中對反復的不等式的證明活動作出嘗試，并不斷進行分析、反思，通過思維的內化、整合與壓縮，形成過程模式，抽象出基本不等式的概念，即“活動”內化為“過程”.此時個體能夠對基本不等式的概念進行一般化，認識其實質，由此對概念的認識從感性上升到理性，從而為第三階段形成概念做好鋪墊.

問題6 學習了基本不等式，可以有何用途呢?

生11：可以用基本不等式來證明不等式.

例如，設a，b為正數，證明下列不等式成立：

問題4 你能用準確的文字語言表述基本不等式嗎?

生9：兩個正數a，b的算術平均數不小于幾何平均數.

問題5 我們能否將基本不等式的條件進一步完善呢?

生10：我發現當 a=0，b＞0 或 b=0，a＞0 或 a=b=0時，不等式同樣成立，所以我們把不等式

問題7 (2)在結論成立的基礎上，條件“a＞0，b＞0”可以變化嗎?

設計意圖 在APOS理論中達到對象階段，把a和b看成一個整體，對其進行分析.著重體現運用基本不等式的條件(非負實數)和定值(和定積最大，積定和最小).

在學生完成求解過程后，引發大家思考：問題8 我們能否對這個例題進行一定的變形呢?生12：可以! 已知 x＜0，當 x取什么值時，x+的值最大?最大值是多少?

生13：也可以這樣變!已知x＞1，當x取什么值時，x+的值最小?最小值是多少?

生14：也可以這樣變!已知x≥2，當x取什么值時，x+的值最小?最小值是多少?

師：非常好!我們不妨分組來解決大家提出的問題!

設計意圖 通過學生互動，感受利用基本不等式來求解函數的最值問題，需要注意的有三點：一正二定三相等.在教學實踐中，教師要充分利用實際問題、變式問題、開放問題以及學生自己的反例等具有啟發性和探索性的問題，組織生動有趣的操作活動，將概念作為一個已知對象應用到它生存的土壤和背景中，并把它作為一個工具、一個新的對象來對待，力求從不同角度來加深學生對概念的認識，豐富學生對概念的理解，促進學生對概念的建構.

第四階段：形成圖式(圖式階段)——辨析與反思

問題9 我們學習了基本不等式及其簡單的應用，那么我們能否換個角度來欣賞基本不等式呢?比如通過形的角度來解釋此不等式呢?

大家開始討論，各小組內成員均發表自己的見解!

生16：在圖1中，AB是圓的直徑，點C是AB上的一點，AC=a，BC=b.過點C作垂直于AB的弦DD'，連接 AD，BD，OD.那么 DO=，DC=，通過圖形我們發現半徑不小于半弦.因此利用這個圖形得到了基本不等式的幾何解釋.

圖1

圖2

師：很好!剛才的這個圖標是2002年在北京召開的第24屆國際數學家大會，它是最高水平的全球性數學科學學術會議，被譽為數學界的“奧運會”.這就是本屆大會會徽的圖案.這個圖案是我國漢代數學家趙爽用來證明勾股定理的“趙爽弦圖”.

點評 從形的角度來看，基本不等式具有特定的幾何意義;從數的角度來看，基本不等式揭示了“和”與“積”這兩種結構間的不等關系.

設計意圖 通過圖形的認識，加深學生對重要不等式的認識和理解，培養學生數形結合的思想方法和對比的數學思想，多方面思考問題的能力.完成最后圖式階段，使學生從數和形兩方面掌握完整的基本不等式的內涵和其他概念的區別和聯系，并能在解決問題時創設與概念相關的問題情境.

3 教學感悟

上述案例，按照這一理念，圍繞著“活動”、“過程”、“對象”和“圖式”四個階段實施概念教學，環環相扣，循序漸進，牽引并支持著學生在自己的經驗和數學本質之間不斷對話，在連續性地回顧與反思過程中提升、擴充學生的經驗、認識，深化對數學概念本質的理解，使學生明確了：

(1)概念的發生、發展過程及其產生的背景;

(2)概念中有哪些規定和限制條件，它們與以前學過的哪些知識有著怎樣的聯系;

(3)概念的名稱和表示方法有何特點;

(4)概念有沒有等價的敘述;

(5)運用概念能解決哪些數學問題.

從而實現了真正意義上的概念建構，取得了較好的教學效果.

但運用APOS理論指導數學概念的教學時需要注意以下幾點.

(1)數學概念的建立應遵循循序漸進的原則，不能一蹴而就.這就需要經過多次反復，循序漸進，螺旋上升，直至學生真正理解.同時APOS理論的四個階段并非一定體現在一堂數學課當中，也不是每一課都必須遍歷四個階段，它適用于數學概念在學生頭腦中建立的一段時期，并不局限于某一堂課.

(2)A-P-O-S四階段是一個相對連續的過程.四個階段也可認為代表著概念在學生腦海中建立起來的四個必經路段，并且他們是相對連續的過程.如果忽略P階段直接由A階段跳躍到O階段，或是跨越O階段直至S階段都是不現實的.概念在學生大腦建立期間，任一階段都是不可缺少的.或缺其中任一階段建立起來的數學概念要么現實根基不牢，要么缺乏抽象、提升或是成熟應用.

(3)不能將APOS絕對化，實際操作時，往往“活動”與“思考”可以穿插進行，活動中有思考，思考中有活動;“對象”與“圖式”也可以穿插進行，兩個階段可以交替螺旋式進行.

總之，概念教學是數學教學工作中的一項重要內容，如何教好數學概念，怎樣的概念教學更有效?這是實施新課程教學的一個極其重要的課題，也是我們數學教師的一個永恒的話題，值得我們在教學實踐中認真研究，積極探索和不斷反思.盡管APOS為我們提供了數學概念教學的模式，但也需要根據實際情況理智、審慎而科學的運用.

1 張奠宙，李俊.數學教育學導論.北京：高等教育出版社，2003，4

2 張偉平.基于APOS理論的數學概念教學研究［J］.數學通訊，2006，2

3 鄭毓信，梁貫成.認知科學、建構主義與數學教育.上海教育出版社，1998

4 陳曦.于活動中生成，從過程中體驗，在操作中建構［J］.中學數學2010，5

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