導彈遙控過程的CADET算法精度分析

花寅東，趙利強，鄒士新

(中國空空導彈研究院，河南 洛陽 471009)

0 引言

對于雷達型導彈導引頭已截獲目標后的導彈系統制導精度分析，CADET算法獲得了廣泛的應用，并有了系統的分析方法和模式。但對于導彈遙控精度這一類問題的分析，目前仍無有效的分析方法。

本文采用一個簡單的二維導彈模型，僅考慮導彈的非線性誤差、導彈的加速度計誤差、以及機載雷達的目標探測誤差，并引入CADET算法進行定量計算，從而得出各誤差對遙控精度的不同影響程度，成功地對該類問題進行編程和仿真。該分析結果有助于設計者進行針對性設計和調整，提高遙控精度，進而提高導彈的制導精度，增大導彈的截獲概率。

1 誤差模型

遙控過程工作中的主要誤差源有以下幾個:載機和導彈坐標系的初始對準誤差、非線性因素的誤差、機載雷達的目標探測誤差以及慣性器件誤差。為了使仿真結果更具代表性，應該盡可能將上述誤差都考慮進去，不過同時工作量也會有很大的增加。綜合考慮后，假設載機和導彈坐標系初始對準很精確，慣性器件中的陀螺也沒有誤差，考慮導彈的非線性因素誤差、導彈的加速度計誤差、機載雷達的目標探測誤差對遙控精度的影響。

1.1 非線性因素誤差模型

遙控過程中，非線性因素也有很多，如:加速度指令限制、彈體的非線性、坐標變換、導引頭天線罩像差等。在此，考慮加速度指令限制，讓導彈的y向加速度經過一個限幅器，得到真實的y向加速度，可用式(1)表示:

處理該非線性因素時，對該模型采用準線性化，先求其統計量:

對其進行準線性化:

其中的參數可直接利用式(1)計算:

其中的函數定義如下:

1.2 導彈加速度計誤差模型

遙控過程中，導彈y向加速度由加速度計測量［2］，所得誤差為

式中:ax，ay，az為導彈 x，y，z向加速度;Sy為標度因數誤差;Mx，Mz為交叉耦合因數;Bf為測量零偏;Bv為振擺誤差系數;ny為隨機零偏。

而事實上，考慮的是加速度計的誤差整體對遙控精度的影響，因此若是用上述表達式來分析，所得到的也是加速度計誤差的各個分量對遙控精度的影響。所以，此處不采用該誤差模型，而直接假設加速度計誤差為一個高斯白噪聲R(x，t)，其統計量函數可設定為均值是0，方差為一常數。即:

1.3 機載雷達目標探測誤差模型

同樣的，用機載雷達測得的目標加速度，其誤差也用一個高斯白噪聲表示，且與加速度計誤差白噪聲互不相關，其統計量函數均值也是0，方差為一常數。表達如下。

另外的，CADET算法的作用函數w(t)分解為確定性分量與隨機分量之和，事實上其中的隨機分量也可以認為是噪聲誤差項。為了研究方便，同樣認為該隨機分量是一個高斯白噪聲，這些白噪聲相互獨立，互不相關。

2 系統模型

真實的系統模型需要對導彈以及目標進行力和力矩分析，分別列出運動學和動力學方程，之后求解出各個參數。不過在此，所研究的主要是導彈和目標的加速度，涉及的參數遠遠少于真實的系統。因此，可以直接忽略動力學方程，只需對導彈和目標進行運動學的假設，就可以推導出整個系統的方程。

導彈的遙控過程示意圖見圖1［1］。

圖1 導彈遙控過程示意圖Fig.1 The sketch map of missile’s remote control process

遙控過程需要的時間為T(即攔截時間為T)，考慮t時刻的情況，則還需要飛行的時間為tgo=T－t。導彈、目標的速度與加速度都在圖1中標注，不再具體說明。

考慮y方向上的相對距離y(t)，與y方向的導彈加速度、目標加速度有如下關系:

自動駕駛儀用如下線性模型的傳遞函數表示:

載機測得目標加速度后將數據傳遞給導彈，導彈采用比例導引律接近目標，加速度指令a0是與目標線角速度和徑向速度之積成正比，比例系數k取為常數3，即:

則未限制的導彈y向加速度滿足微分方程:

實際上，導彈的y向加速度還需要經過一個理想限幅器，模擬彈體的結構飽和效應，其表達式已在誤差模型式(1)給出。

并假設目標加速度是確定性變量與有限帶寬的高斯過程之和，滿足:

式中:w為目標機動帶寬，仿真時取一常數;w(t)為隨機輸入。

至此，就有足夠的運動學假設方程，取狀態量為

由式(9)、式(12)、式(13)，經過近似、化解，可以得到狀態方程如下(具體推導過程可參見參考文獻［1］):

這時，再加入誤差模型，實測值表達為真實值加上誤差項，真實值依然滿足各個假設的運動學方程。即:

狀態量取其實測值，各個運動學方程都需要做變形。如式(9)變為

同理修正式(12)、式(13)，得到新的狀態方程為

這時，狀態方程的最后一項G、w(t)均發生了變化。再利用下述性質:

1)高斯隨機過程的線性組合還是高斯隨機過程;

2)高斯隨機過程的微分(積分)還是高斯隨機過程;

3)高斯隨機過程的微分(積分)后得到的高斯隨機過程，統計量函數是原來的統計量函數的微分(積分)。

性質1)、性質2)在介紹高斯隨機過程的書籍中都有推導與證明，在這里可以簡單證明一下性質3)。

考慮高斯隨機過程分布函數為f(x，t)，統計量函數為均值函數m(t)，方差函數σ(t);微分后的高斯隨機過程統計量函數為均值函數 m'(t)，方差函數σ'(t)。

方差函數σ(t)的推導證明復雜一些，但考慮到此時要處理的噪聲函數m(t)均為常數0，則其微分也為0，此時有:

同樣的，可以推導高斯隨機過程積分后的統計量函數表達式。

對誤差項進行化解，化成一個噪聲項，令:

其系數為對角矩陣:

至此，可以按照定義重新計算該噪聲的統計量得:

其中:參數b和q是隨機輸入w(t)的輸入統計量，分別代表均值和方差。

將非線性項f(x3)按照式(2)～式(5)進行準線性化，并將狀態方程的等式右邊前兩項整體作為一個非線性函數，則可以推出:

并由 N(t)的計算公式［3］得:

之后代入統計量微分傳遞方程［4］:

此時，就得到了統計量(包括均值向量和協方差矩陣)的微分傳遞方程，依次迭代、積分就能得到每一個時刻的統計量，再對此協方差矩陣進行分析，就能看出誤差的影響情況了。

至此，完成了系統模型的建立。

3 仿真結果分析

上文推導的系統狀態方程以及CADET算法微分傳遞方程，在已有條件下按照式(27)、式(28)可以得到解算，設定均值向量m與協方差矩陣P的初值為0，目標機動帶寬w定為1 rad/s，時間常數τ為1 s，遙控過程的攔截時間T=10 s。

此時，有3 個誤差項 amax、Rm(x，t)、Rt(x，t)會對 y向距離均方值σy產生影響，分別代表導彈非線性因素誤差、導彈加速度計誤差、機載雷達的目標探測誤差。其中的兩個噪聲項由于均值統計量為0，因此主要是噪聲的方差σm、σt對y向距離均方值σy造成影響，其中σy越大，表明y向距離在均值上下起伏的波動越大，誤差也就越大。

當 amax=8e10、σm=2、σt=2 時，得到的誤差分析曲線與無誤差時CADET算法解算該模型的曲線［1］比較接近，表明該算法的可行性是可以保障的。如圖2所示。

圖2 amax無限制、噪聲方差很小時的誤差分析曲線Fig.2 Curve of error with unbounded amaxand small noise variance

但實際上，amax不可能做到無限制，往往是令其取中等限制amax=8，這時候的曲線在t=7 s之后就能明顯地看出是對非線性系統進行近似的準線性系統。此時，再對σm、σt固定其中一個，令另一個的數值進行變動，得到很形象的三維曲線圖，即圖3。

圖3 誤差曲線隨誤差源變動的三維曲面圖Fig.3 The 3D error analysis

從圖3中可以看出，當導彈加速度計誤差σm很小時，誤差σy在達到峰值之后，又收斂回零點;但隨著導彈加速度計誤差σm的增大，σy－t誤差曲線也一直在增大，σy峰值的幅度越來越大，取到峰值的時間也在增大，當σm增大到一定程度(約為數值8)后，取到峰值的時間在攔截時間T外，這意味著誤差曲線在整個遙控過程中是一直發散的。而機載雷達的目標探測誤差σt很小時，誤差σy在達到峰值之后，又收斂回零點;隨著σt增大，σy越來越快地取到峰值，其峰值的幅度越來越大，之后收斂速度越來越慢，以至在最后攔截時間T時，誤差σy的數值還很大。

圖4 增大各誤差后，誤差曲線的變化Fig.4 The change of error curve

此外，還可以對這3個誤差源的影響程度做分析:讓誤差源在程序中對應的參數各自增大同一個數值(仿真時取3)，將某項參數改變后的誤差曲線集中畫在一個圖中，就能直觀地看出哪個誤差源對誤差的影響最大。但要注意的是，讓非線性因素誤差源增大，對應的是限幅器的幅值amax減小，這樣對應的線性范圍減小，增大了非線性因素;其他的兩項誤差源對應的參數都應該增大。如圖4所示，可以直觀地看出，導彈加速度計誤差σm是對整個誤差影響最大的一個誤差源，在t=7.8 s之前機載雷達的目標探測誤差次之，非線性因素誤差最末;而t=7.8 s之后非線性誤差更加明顯。這與遙控過程實際工作時的誤差分析是一致的。

4 結論

本文將CADET算法應用到導彈的遙控過程進行精度分析，在誤差源很小的情況下得到的分析曲線與無誤差時CADET算法解算該模型的曲線十分吻合，表明將該算法應用到遙控過程誤差模型中是行之有效的。

量化計算誤差源對精度的影響，從而判斷出最大誤差源是導彈加速度計誤差，也和實際相符，這說明了該算法在遙控過程誤差模型中的精度分析上具有獨到之處。

略微不足的是本文為研究方便，并沒有采用導彈六自由度的模型，而只是對相關參數做了合適的運動學方程假設;對遙控過程中“載機－導彈－目標”這三者組成的系統的工作過程也沒有深入地分析。這可以作為下一步的工作，不斷完善系統模型，對真實的導彈模型進行分析，從而能更精確地進行導彈遙控過程精度分析。

［1］TAYLOR J H.戰術導彈制導系統直接統計分析手冊［M］.趙善友，譯.上海:第八二五○研究設計所，1978，12:9-13，49-50.

［2］TITTERTON D H，WESTON J L.捷聯慣性導航技術［M］.張天光，王秀萍，王麗霞，譯.北京:國防工業出版社，2007.

［3］PHANEUF R J.Approximate honlinear estimation ［D］.M.I.T.，Cambridge，Mass.，1968.

［4］JAZWINSKI A H.Stochastic processes and filtering theory［M］.New York:Academic Press Inc.，1970.