關(guān)于保險(xiǎn)風(fēng)險(xiǎn)理論的研究

○宋興明

（哈爾濱工程大學(xué)理學(xué)院黑龍江 哈爾濱 150000）

一、短期個(gè)別風(fēng)險(xiǎn)模型

1、函數(shù)分析

矩母函數(shù)對于一個(gè)非負(fù)隨機(jī)變量X，其分布函數(shù)為F（x），其矩母函數(shù)定義為：

矩母函數(shù)可以完全刻畫隨機(jī)變量X的分布特征：如果兩個(gè)隨機(jī)變量具有相矩母函數(shù)，則它們的分布函數(shù)也相同。由于這種一一對應(yīng)的關(guān)系，矩母函數(shù)便成為研究隨機(jī)變量的一個(gè)得心應(yīng)手的工具，以矩母函數(shù)表達(dá)的結(jié)論均可以轉(zhuǎn)換成關(guān)于分布函數(shù)的關(guān)系。矩母函數(shù)有一個(gè)很好的性質(zhì)：獨(dú)立和的矩母函數(shù)等于各個(gè)變量的矩母函數(shù)，即設(shè)：S=X1+X2+…+Xn，其中 X1，X2，…，Xn相互獨(dú)立，則有：

這一性質(zhì)在研究總理賠量的分布時(shí)具有重要的意義。矩母函數(shù)的優(yōu)點(diǎn)在于求隨機(jī)變量的分布函數(shù)，這樣容易求隨機(jī)和的分布函數(shù)。

利用全概率公式，可以得到2個(gè)條件期望和條件方差的公式：

公式（2）稱為期望的累積法則，公式（3）則表明，總的方差可以分解成方差的期望與條件期望的方差之和。

2、短期個(gè)別風(fēng)險(xiǎn)模型簡介

承保人收取投保人的保費(fèi)后，將面臨賠償損失的風(fēng)險(xiǎn)。設(shè)在一定時(shí)間內(nèi)承保人所面臨的總的賠償為S，S為一個(gè)隨機(jī)變量，設(shè)該時(shí)期內(nèi)共有n個(gè)投保個(gè)體，假定第i張保單可能發(fā)生的理賠（或理解為保險(xiǎn)人i的賠付）為Xi，則：

也就是說個(gè)體損失的和構(gòu)成總損失。通常假設(shè)X1,X2,…,Xn相互獨(dú)立，即風(fēng)險(xiǎn)損失彼此無影響。而且由于我們假設(shè)是在某一段時(shí)間內(nèi)，這樣考慮的時(shí)間變化的范圍較小，可以忽略利息的影響。以上公式稱為短期個(gè)別風(fēng)險(xiǎn)模型。

3、求S分布的幾種方法

（1）卷積方法。令 F（x）=P（S≤x）表示 Xi的分布函數(shù)（i=1，2，…n），F(xiàn)（k）是 X1+X2+…+Xk的分布函數(shù)，F(xiàn)S是 S的分布函數(shù)，則有下述遞推公式：

式中FX*FY是分布FX與FY的卷積運(yùn)算，它是W=X+Y的分布函數(shù)，在X和Y獨(dú)立的條件下：

（2）矩母函數(shù)法。設(shè)Ms與Mi（t）分別為S與Xi的矩母函數(shù)，即Ms（t）=E（ets）及Mi（t）=E（etxt），則有：

若將t換成-t，則Ms（-t）是Laplace變換，由矩母函數(shù)的連續(xù)性及唯一性，便可求得S的概率分布。

二、短期聚合風(fēng)險(xiǎn)模型

1、短期聚合風(fēng)險(xiǎn)模型簡介

給定時(shí)間內(nèi)保單的總理賠量為S，則有：

同樣，Xi來表示對某類保單的第i次理賠，N表示在給定時(shí)間內(nèi)保單發(fā)生理賠的次數(shù)。為了使以上的理論具有可操作性，通常對其中的隨機(jī)變量做以下的假設(shè)：假設(shè)一：隨機(jī)變量X1，X2，…，Xn是相互獨(dú)立的。假設(shè)二：X1，X2，…，Xn是具有相同分布的隨機(jī)變量，即Xi中的風(fēng)險(xiǎn)都為同質(zhì)風(fēng)險(xiǎn)，其分布函數(shù)為P（x）。與個(gè)體風(fēng)險(xiǎn)模型不同之處在于，理賠次數(shù)n=N是隨機(jī)變量。這正是“聚合”的意義之所在。

2、建立理賠額S的數(shù)字特征

首先確定理賠總額S的數(shù)字特征的計(jì)算公式。

X的數(shù)學(xué)期望：uX=E{X}

X的方差：σ2X=Var{X}

X的矩母函數(shù)：MX（t）=E{etX}

再設(shè)MN（t）與MS（t）分別為N與S的矩母函數(shù)，應(yīng)用條件期望嵌套公式及全方差公式，我們有：

這樣便建立了S的數(shù)字特征。

這表明：理賠總額S的期望值為理賠次數(shù)N與每次理賠次數(shù)N期望值之乘積；理賠總額S的變異（即方差）由兩部分構(gòu)成。一部分來自于個(gè)體理賠量的變異，另一部分來自于理賠次數(shù)的變異；理賠總額S的矩母函數(shù)是理賠次數(shù)N的矩母函數(shù)在關(guān)于個(gè)體理賠量X1的半不變量lnMX（t）處的函數(shù)值。

利用全概率公式，可得S的分布函數(shù)為：

其中 P*n（x）=P*P*…P（x）=Pro（X1+X2+…+Xn=x）理賠次數(shù)N取不同的分布，個(gè)別理賠量取不同的分布P（x），就得到了總理賠量S的不同復(fù)合分布。如果N為Poisson分布，則S的相應(yīng)分布便成為復(fù)合Poisson分布。

3、復(fù)合Poisson分布

當(dāng)理賠次數(shù)服從參數(shù)為λ的Poisson分布，個(gè)別理賠量的分布函數(shù)為P（x）時(shí)，稱S的分布為參數(shù)λ、分布函數(shù)P（x）確定的復(fù)合Poisson分布，它的數(shù)字特征如下：

復(fù)合Poisson分布有一個(gè)很好的性質(zhì)，如定理1所述。

這個(gè)定理在建立保險(xiǎn)模型方面有兩個(gè)應(yīng)用：若有m個(gè)險(xiǎn)種，每個(gè)險(xiǎn)種的理賠總量均是復(fù)合Poisson變量并相互獨(dú)立，則總理賠量也服從復(fù)合Poisson分布；考慮m年期的單個(gè)險(xiǎn)種，假設(shè)各年內(nèi)的理賠總量均是復(fù)合Poisson變量，但各年理賠總量的分布可能不同，則定理表明：m年期的總理賠量也服從復(fù)合Poisson分布。

三、長期聚合風(fēng)險(xiǎn)模型

1、長期聚合風(fēng)險(xiǎn)模型簡介

本模型是針對一個(gè)較長時(shí)期內(nèi)建立保險(xiǎn)人盈余量變化模型。此處的盈余是指某個(gè)初始啟動(dòng)基金加上收取保費(fèi)超過理賠的那一部分，而非財(cái)務(wù)意義上的盈余。為了數(shù)學(xué)處理方便，通常不考慮利息和其他除了保費(fèi)和理賠之外的影響盈余的因素，例如附加費(fèi)和保單持有人的分紅等等。對t≥0，記U（t）為保險(xiǎn)人在時(shí)刻t的盈余。假設(shè)保費(fèi)以常數(shù)c>0，c=（1+θ）u，連續(xù)收取，S（t）為直到時(shí)刻t的總理賠量。如果U（0）=u為時(shí)刻0時(shí)初始盈余，則有：

因此，通常的盈余過程{U（t），t≥0}如圖 1所示：

圖1

使用“過程”這一詞表明，我們關(guān)心的是隨時(shí)間t，（t≥0）變化的隨機(jī)變化族以及它們分布之間的關(guān)系。

對盈余過程{U（t），t≥0}來說，保險(xiǎn)人最關(guān)心在某一時(shí)期內(nèi)首次出現(xiàn)負(fù)盈余（即破產(chǎn)發(fā)生）的時(shí)間機(jī)器破產(chǎn)發(fā)生的概率，即確定：

第一，破產(chǎn)發(fā)生時(shí)刻。

如果對于一切的 t≥0，都有 U（t）>0，則約定 T=∞，表示保險(xiǎn)公司不會(huì)發(fā)生破產(chǎn)。

第二，時(shí)間t以內(nèi)破產(chǎn)發(fā)生概率。

特別地，當(dāng) t→∞ 時(shí)的概率 Ψ（u）=P（T<∞）。

稱Ψ（U）為初始盈余是u的情況下破產(chǎn)發(fā)生的概率，簡稱為破產(chǎn)概率。破產(chǎn)概率的研究一直以來是人們關(guān)注的焦點(diǎn)，它是衡量一個(gè)保險(xiǎn)機(jī)構(gòu)金融風(fēng)險(xiǎn)的極其重要的尺度。

與破產(chǎn)時(shí)刻問題相聯(lián)系，我們需要確定如下問題：

第一，直到時(shí)刻t為止的理賠次數(shù)過程N(yùn)（t）。

第三，Ψ（u）及與Ψ（u）有關(guān)的調(diào)節(jié)系數(shù)R，即下面關(guān)于r方程的正解：

其中θ為安全附加系數(shù)。

第四，與u-S（t）有關(guān)的一些特殊隨機(jī)變量的概率分布。

2、理賠過程

對某個(gè)確定的保險(xiǎn)險(xiǎn)種，把N（t）記作直到時(shí)刻t為止的理賠次數(shù)，S（t）為直到時(shí)刻t為止的總理賠量。假設(shè)初始時(shí)刻為t=0，故 N（0）=0。顯然，只要 N（t）=0，就有 S（t）=0。Xi來表示對第i次理賠的理賠量，則

{N（t），t≥0}稱為理賠次數(shù)過程，{S（t），t≥0}稱為總理賠過程。

對于式（14）定義的 S（t），如果 X1，X2，…，Xn是相互獨(dú)立且服從同一分布函數(shù) P（x）的隨機(jī)變量，它們還與過程{N（t），t≥0}獨(dú)立，而且假設(shè){N（t），t≥0}為 Poisson過程，則稱{S（t），t≥0}為復(fù)合Poisson過程。如果總理賠量過程是由參數(shù)λ和P（x）確定的復(fù)合Poisson過程，則它和理賠次數(shù)有如下相似的性質(zhì)：

如果 t≥0，h>0，則 S（t+h）S（t）是由參數(shù) λh和 P（x）的確復(fù)合Poisson分布，也就是說：

這里P*k（x）是分布函數(shù)P（x）的的k重卷積。

在長度為dt的無窮小區(qū)間中，可能沒有理賠，也可能只有一次理賠量服從分布函數(shù)P（x）的的理賠，有一次理賠的概率為λdt，沒有理賠的概率為 1-λdt。

對任意時(shí)刻h，下一次理賠發(fā)生在h+t和h+t+dt之間，而且理賠量小于等于 x的概率為 e-λhλdtP（x）。

四、破產(chǎn)理論

破產(chǎn)理論是風(fēng)險(xiǎn)理論中非常重要的一個(gè)問題，對于保險(xiǎn)公司而言，破產(chǎn)概率可以作為綜合保費(fèi)和索賠過程的保險(xiǎn)公司穩(wěn)定性的一個(gè)指標(biāo)，是風(fēng)險(xiǎn)管理的一個(gè)有用工具，它可以作為保險(xiǎn)公司一個(gè)十分有用的早期風(fēng)險(xiǎn)的警示手段，所以對破產(chǎn)理論的研究也具有很重要的意義。

在盈余過程 U（t）=u+ct-S（t），t≥0中通常人們最關(guān)心的是{u（t）<0}這一事件發(fā)生的可能性，我們定義 u（t）<0為破產(chǎn)發(fā)生。記破產(chǎn)發(fā)生的時(shí)刻為：

如果對于一切的 t≥0，都有 u（t）>0，則約定 T=∞，表示保險(xiǎn)公司不會(huì)發(fā)生破產(chǎn)。記 Ψ（u）=Pr（T<∞），稱 Ψ（u）為初始盈余是u的情況下破產(chǎn)發(fā)生的概率，簡稱為破產(chǎn)概率。

為了進(jìn)一步分析哪些量與破產(chǎn)概率有關(guān)，我們比較時(shí)刻t時(shí)所收取的保費(fèi)ct與索賠S（t）的矩母函數(shù)。

所以由此推出 logMS（t）（r）的 Taylor展開式為：

圖2

由于 logMS（t）（r），圖形的彎曲程度取決于它的一階、二階導(dǎo)數(shù)。由圖 2可以看出，當(dāng) E[S（t）]，Var[S（t）]增大，R變小；而當(dāng) c變大，則R變大。因此，R的大小，可以衡量風(fēng)險(xiǎn)的變化。R稱為調(diào)節(jié)系數(shù)，是以下關(guān)于r方程的正根：

在離散時(shí)間情形下，R是關(guān)于如下方程的正根：

由于（18）式是一個(gè)非線性方程，通常來說求解比較困難。但利用調(diào)節(jié)系數(shù)r，可以得到破產(chǎn)概率的指數(shù)界，即下面的Lundberg不等式：

定理2：存活概率滿足下列方程：

[1]Gerber H.U.數(shù)學(xué)風(fēng)險(xiǎn)導(dǎo)引[M].世界圖文出版社，1979.

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