基于根軌跡控制的球桿系統

王曉勤，韓亞軍

(重慶科創職業學院機電技術中心，重慶 永川 402160)

隨著科學技術的發展，控制對象日益復雜，對控制精度和控制性能的要求也日益提高，傳統控制方法已經難以滿足這些要求，因此需要提出更為先進的控制方法［1-2］.但是在實際系統的研究中，存在著許多難以克服的困難，因此有必要首先在實驗室進行基礎性的研究，而球桿系統正是一個理想的實驗模型.球桿系統是一個典型的多輸入多輸出耦合系統，具備了一個非穩定性系統所有的動態特征［3］，通過對球桿系統控制方法的研究，可以驗證自動控制原理中的許多控制方法和控制理論，對于摸索復雜系統的控制方法，解決控制過程中系統的魯棒性、穩定性問題都有著重要的意義.

1 球桿系統模型

V型槽軌道、不銹鋼球、連桿、直流伺服電機(DC servo motor)及大小齒輪箱減速機構組成球桿系統.V型槽軌道由兩部分組成，其一側為不銹鋼桿，另一側為直線位移電阻器.球桿系統裝置如圖1所示.

當球在軌道上滾動時，通過測量不銹鋼桿上輸出電壓可測得球在軌道上的位置.導軌的一端固定，而另一端則由直流伺服電機的經過齒輪減速，再通過固定在大齒輪上的連桿帶動進行上下往復運動.導軌與水平線的夾角可通過電位計或電機編碼器的轉動角度和簡單的幾何計算獲得.這樣，通過設計一個反饋控制系統調節直流電機的轉動，就可以控制小球在軌道上的位置［4］.

圖1 球桿系統示意圖

球桿系統是輸入量為電機轉角θ、輸出量為小球位置r的系統.輸入量θ利用直流伺服電機自帶角度編碼器來測量，輸出量r由軌道上電位器的電壓信號來獲得.系統組成框圖如圖2所示.

圖2 球桿系統框圖

2 球桿系統建模

球桿系統是一個非線性不穩定系統，為了便于分析，將球桿系統模型分解成球桿機械部分模型(聯系小球的位置r(t)和導軌的仰角α(t))、角度模型(聯系導軌的仰角α(t)和電機的轉動角度θ(t))和電機模型(聯系輸入電壓u(t)和電機的轉動角度 θ(t))［5］.

2.1 球桿系統機械模型

根據牛頓定理可知，小球在導軌上滾動的動力學方程為

小球在導軌上滾動時，摩擦力很小，可以忽略不計，則方程式(1)可近似為

假設導軌和水平面之間的夾角α(t)非常小，將(2)式線性化得到

將上式進行拉普拉斯變換得到以下傳遞函數:

2.2 球桿系統角度模型

在實際控制中，導軌和水平面之間的夾角α(t)由直流電機的轉角輸出來實現.導軌與水平面之間的夾角α(t)與電機轉角θ(t)是非線性的靜態關系，可近似得到

2.3 球桿系統的電機模型

球桿系統中的電機響應速度很快且電機轉角θ(t)對電壓u(t)的響應時間常數也很小，故可將電機數學模型近似為一個純增益K［6］.

則整個球桿系統等效傳遞函數框圖，如圖3所示.

圖3 球桿系統等效傳遞函數框圖

為簡化模型，可將KRg/L的值近似為1.由圖3可知，整個球桿系統的傳遞函數為

3 根軌跡控制

根軌跡的主要思想就是通過分析系統的開環零極點位置，來分析閉環系統的特性，通過增加極點或零點的方法(校正器)，根軌跡以及閉環系統的響應都發生改變.

球桿系統的傳遞函數為

為了便于討論和仿真，要求系統調整時間ts≤1 s，最大超調量Mp≤10%.

首先確定閉環期望極點sd的位置，由最大超調量:

可以得到ζ≈0.6.設θ為位于第二象限的極點和0點的連線與實軸方向的夾角.由ζ=cos(θ)可以得到θ=0.938306.

又由

可以得到ωn=6.76641.于是可以得到期望的閉環極點為6.76641(-cosθ± jsinθ).

未校正系統的根軌跡在實軸和虛軸上，不通過閉環期望極點，因此需要對系統進行超前校正，設控制器為

其次，計算超前校正裝置應提供的相角，已知期望的閉環主導極點和原來的極點的相角和為

因此校正裝置應提供的相角為

再次，設計超前校正裝置，已知θ=0.938306，對于最大值α值和γ角度可由下式計算得到

所以有 γ =0.469135.

按照最佳確定法作圖規則，在球桿系統根軌跡計算圖中畫出相應的直線，如圖4所示.

圖4 球桿系統根軌跡計算圖

求出超前校正裝置的零點和極點，分別為

校正后系統的開環傳遞函數為

4 實驗結論及分析

實時控制實驗采用了深圳固高公司的實驗平臺，在Simulink環境下運行，結果如圖5～7所示.

圖5 沒有校正的球桿系統根軌跡圖

圖6 有校正的球桿系統根軌跡圖

圖7 帶校正的球桿系統階躍響應

自動控制工程中的根軌跡法，經過融入球桿系統穩定性的重要因素后，在進行系統分析和設計中，使用根軌跡設計器使得分析和設計系統更加方便，能夠更加直觀地反映出校正前后的各項動態性能指標.

［1］劉艷軍，范路平.機床控制器中命令解釋程序的設計與實現［J］.重慶文理學院學報:自然科學版，2009，28(5):68-70.

［2］韓亞軍，黃貽培，梁雪峰.基于查詢表的一維比例積分模糊控制器的實現［J］.重慶文理學院學報:自然科學版，2009，28(3):59-61.

［3］Salvatore S，Esposito E，Miller J.Ball＆ beam control system［J］.IEEE Transactions on Automatic Control，2002，30(3):376-388.

［4］Qiu L，Zhou K M.Feedback control［M］.Prentice Hall，2005.

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