二維八態波茨模型的動力學指數

雷曉蔚

(重慶文理學院物理系，重慶 永川 402160)

波茨(Potts)模型是 R.B.Potts在1952年提出的.假設模型有N個格點位置，分別標上1，2，…，N，每個位置i和一個自旋量σi相對應，σi可以有q個取值，分別為1，2，…，q，兩個相鄰的自旋 σi和 σj相互作用的能量為:-Jδσiσj，這里 J是相互作用常數，而

伊辛(Ising)模型就是q=2的Potts模型的特殊情況.Ising模型是描述鐵磁體自旋狀態的兩態物理圖樣模型，Potts模型是解決多態問題的物理圖樣模型，具有可分析復雜組織和可視化仿真等能力.當q為偶數時可映射為Spin-{1/2(q+1)}Ising模型;q為奇數時可映射為Spin-{1/2(q-1)}Ising模型，這些模型對超導超流等問題的研究有著重要的意義.目前，Potts模型已廣泛應用于如材料的晶粒生長［1］、計算機的數據聚類［2］等領域.

1973 年 Boxter［3］指出對于二維純凈 Potts模型，在q＞4時相變是一級的，而在q≤4時卻是連續相變.隨著材料科學的發展，人們越來越關注具有淬火摻雜的物理系統的臨界性質［4-10］，這種摻雜可以用在模型中引入隨機作用鏈來表示，隨機摻雜對純系統的耦合產生顯著影響.二維q態隨機鏈Potts(RBP)模型是研究淬火無序性對純凈體系影響的一個典型模型［11］.當q＞2時，系統的比熱臨界指數α＞0，無序性就像施加了一個有效擾動;當q＞4時，它將原系統的一階相變轉變成二階.這種新的二階相變對于各類模型是否都適用，又是屬于哪一普適類，國內外研究者對此展開了討論，結果表明可用磁臨界指數來檢驗其普適性［11-14］.但是由于所得臨界指數值存在誤差，所以對無序系統的普適臨界行為一直存有懷疑.對Ising模型的研究表明，無序幅r(無序程度)只有取到最佳值時，由純凈態和滲流態的不穩定的固定點引起的交叉效應才可以被忽略［15-16］，此時，磁臨界指數的偏差可以消除，無序系統臨界現象的普適性就顯示出來了，但是動力學指數z會隨無序幅的變化而有所不同.文獻［8］和［11］對RBP模型的臨界普適性展開了研究，計算了磁臨界指數和動力學臨界指數z，但是模擬時間只有300到500個蒙特卡羅步，對于一個無序摻雜的動力學過程來說太短了，另外，所選格點尺寸最大也只有128，這樣得到的指數就不夠準確.

本文對二維q=8的Potts大格點模型展開大規模數值模擬研究.系統從完全有序態出發，演化時間最多達15萬個蒙特卡羅步(Monte Carlo Step，即 MCS)，格點尺寸 L=280，以短時動力學標度形式為基礎，通過測量賓德累積量U(t)，來確定動力學指數z.

1 模型和標度形式

二維正方格點隨機鏈q態Potts模型的哈密頓量為

這里kB表示玻爾茲曼常數，T表示溫度，Kij=T代表最近鄰鏈的無量綱耦合，J是相互作用常數，＜i，j＞表示最近鄰相互作用.Kij由K1和K2決定=r是一個表征無序程度的無量綱常數，稱為無序幅(disorder amplitude).r=1對應純凈Potts模型，其臨界點Kc=ln(1+);r=∞對應滲流極限，自對耦無序體系的臨界點 Kc滿足方程［17］:

這里K1c和K2c分別表示K1和K2的臨界值.顯然，隨機鏈作用的新的二階相變的臨界點會隨無序幅r和態參量q的不同而不同.

本文研究自對耦Potts模型從完全有序態出發的短時動力學演化過程，通過測量磁化及其二階矩來獲得賓德累積量，從而可獨立地確定動力學指數z.

q態Potts模型的磁化及其二階矩分別定義為

賓德累積量U=M(2)/M2-1.

當演化時間t和格點尺寸L足夠大，而約化溫度τ=(K1-K1c)/K1c足夠小時，Janssen等人用 ε 展開得到［18］:

M(k)為磁化的k階矩，β和ν是由平衡態定義的臨界指數，z為動力學臨界指數，b為任意標度因子，m0是初始磁化強度，對完全有序初態m0=1.忽略有限尺寸效應，當系統處在臨界點(τ=0)上時，M(t)∝ tβ/νz.賓德累積量 U 的標度形式與磁化M的類似，但還與格點尺寸L有關［19］，可表示為U(t，L)∝td/z，這里d表示空間維度，這樣就可以根據賓德累積量來測出動力學指數z.

2 模擬結果

系統從完全有序初態出發，采用周期性邊界條件，用Metropolis抽樣方法構造蒙特卡羅迭代過程.模擬的格點尺度達280，演化時間最多達到15萬個蒙特卡羅步，取200個隨機數的樣本作平均，無序幅r分別取3、4和10.

圖1 從有序態出發，L=280，q=8的 Potts模型U(t)關于蒙特卡羅迭代時間t在雙對數坐標下的演化，實線為數據線，虛線為冪次擬合線.圖a給出r=3和4，圖b給出r=10的無序摻雜系統.

圖1中實線表示U(t)的數據線，虛線表示冪次擬合線.由圖1可見，擬合效果很好.用最小方差擬合法擬合出曲線的斜率k=d/z，結果分別為0.671(9)、0.591(7)和 0.428(7)，括號內的數值代表漲落，算出 z分別為 2.98(5)、3.38(4)和4.67(5)，可見z值會隨無序幅的變化而不同.文獻［8］計算出3態和8態Potts系統在最大無序幅r=8時的z均為2.60(3)，這與我們的計算結果差異較大.經過分析，發現文獻［8］中模擬所取時間僅為500mCS.由圖1可明顯看出，冪次擬合與數據線直到1000mCS左右才能較好符合，如果只測到幾百個MCS，將會帶來較大誤差.如果我們只取圖1數據中的前幾百個MCS，則將得到與文獻［8］吻合的結果.

一個值得注意的結果是，動力學指數z會隨無序幅r的變化而不同，r越大對應的z值也越大，說明越無序摻雜的系統，動力學過程越緩慢.同時二維RBP系統的z明顯大于二維Ising模型的 z(z=2.16)［20］，表明二維 RBP 模型與二維Ising模型不屬于同一普適類.

3 結論

本文采用短時動力學蒙特卡羅數值模擬方法，對二維八態波茨大格點模型展開大規模數值模擬研究.采用Metropolis算法和周期性邊界條件，系統從完全有序初始狀態出發，通過測量賓德累積量U(t)，在標度分析基礎上，由U(t，L)∝得到了較為可靠的動力學臨界指數z.結果表明:z與無序幅r的取值有關，r越大對應的z值也越大，說明動力學過程越緩慢.與r=3、4和10 對應的 z值分別為 2.98(5)、3.38(4)和 4.67(5).由于二維RBP系統的z明顯大于二維Ising模型的z，這就通過數值方法證實二維RBP模型與二維Ising模型屬于不同普適類.

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