追尋數學無痕教育

無痕教育，是指“把教育意圖與目的隱蔽起來，通過間接、暗示或迂回的方式，給學生以教育的一種教育方式”（見盧克謙《無痕教育：具有美學韻味的教育方式》）。無痕教育的提出，雖來源于德育領域，但其所彰顯出來的人性化和科學性光輝足可以指導一切學科教學行為。蘇霍姆林斯基曾說過：“造成教育青少年困難的最重要原因，在于把教育目的在學生面前以赤裸裸的形式進行”，“把教育意圖隱蔽起來，是教育藝術十分重要的因素之一”。

數學是研究客觀世界中數量關系和空間形式的一門科學，具有高度的抽象性、嚴密的邏輯性和應用的廣泛性三大特點。小學數學屬于初等數學的范疇，揭示的是現實世界中最簡單的數量關系和圖形關系等知識，小學數學課程在內容呈現上具有由淺入深、由易到難、循序漸進和螺旋上升的特性。數學的學科特性以及兒童學習的心理規律為數學教學中實施無痕教育提供了可能性。那么，在小學數學教學中如何實施無痕教育？

一、不知不覺中開始——數學教學內容的整體把握

讓學生在不知不覺中開始學習，是無痕教育追尋的基本境界。實施無痕教育的前提是教師對所教內容的整體把握。因為小學數學學科的教學內容具有整體性和系統性，每冊教材、每個教學單元、每一節課時、每一個知識點的內容之間都有著內在的聯系。優秀的教師總是能夠瞻前顧后，把握所教內容與以前學習內容以及將來學習內容之間的實質性聯系，為學生選準合適的認知起點，讓學生在不知不覺中開始新知的學習。

【案例1】蘇教版二年級上冊《認識乘法》引入新知片段

師：今天我們到動物學校去參觀，在這塊場地上你發現有幾種動物？

生：有兩種動物，是雞和兔。

師：這些雞和兔，它們今天是怎樣排列的？

生：我發現兔總是2只靠在一起的。

生：我發現雞總是3只圍在一起的。

師：大家觀察得真仔細！我們想知道有幾只兔，有幾只雞，該怎么辦呢？

生：我數一數，1、2、3、4、5、6，有6只兔。

生：我這樣數，2、4、6，有6只兔。

師：你為什么可以這樣數呀？

生：因為兔子是2只2只在一起的。

師：是啊！2只2只地數，還可以這樣數呢——1個2，2個2，3個2。（圖像對應閃爍）

生：我還可以算出來呢！2＋2＋2＝6。

師：是啊！在這道連加算式里我們也可以2個2個地數。（引導學生看算式數3個2）

上述教學片段中，教師通過一幅情景圖，讓學生不知不覺中再現了已有舊知（同數相加），激活了生活經驗（每份同樣多），并在不知不覺中引出新知（求幾個相同加數還可以用乘法算），直指新知的數學本質（乘法的本質即是幾個幾）。

從教育心理學角度看，教學的起始階段應明確學生“現在在哪里”，確立合適的學習起點。有了對教學內容的整體把握，就有了對學生原有認知與學習狀態的準確了解，就有了對學生生活經驗與思維體驗的適度理解。有了這樣的教學前提，就能夠進一步明確將要把學生“帶向哪里”以及“如何走向那里”，從而無痕地將學生引向新知的邊緣，讓學生對新知學習的需求油然而生。

二、潛移默化中理解——兒童學習心理的深度洞察

有效的數學教學必然建立在對兒童學習心理準確把握的基礎之上。小學階段兒童的認知屬于皮亞杰說的具體運算思維階段，其最大特點是思維離不開具體事物的支持，這也導致小學兒童的感知覺、觀察和記憶均處于初步的發展水平，其學習數學的動機和興趣很不穩定。在這樣的前提之下，兒童學習數學的過程，需要充分借助形象直觀的教學手段，充分利用新舊知識的相互作用，以順應兒童的學習心理，讓兒童在不露痕跡的學習中獲得新知的意義。

【案例2】蘇教版二年級下冊《一位數乘兩位數》新知教學片段

教師首先出示情景圖——兩只猴子摘桃，每只猴子都摘了14個，引導學生提出問題“一共摘了多少個桃”，并列出乘法算式2×14。接著，教師讓學生獨立思考，自主探索計算方法。有的學生看圖知道了得數，有的學生用加法算出得數，有的學生用小棒操作擺出了得數，也有少數學生用乘法算出了得數……

教師組織學生交流、匯報計算方法，在分別肯定與評價的同時，結合學生的匯報，邊講解邊用教具、學具演示計算過程，并板書。最后，教師引導學生觀察初始豎式，通過講解讓學生掌握簡化豎式的寫法，再讓學生運用簡化豎式進行計算練習。

上述案例中，在教具演示、學具操作、圖片對照等直觀刺激下，學生通過幾何直觀的方式，對算理的理解可謂十分清晰。但是，當學生還流連于直觀形象的算理時，教師要求他們馬上面對十分抽象的算法，直接運用抽象的簡化算法進行計算。筆者認為，教師應讓學生在充分體驗中逐步完成動作思維→形象思維→抽象思維的發展過程，在不露痕跡中理解算理，形成算法。即在形成了初始豎式后，不應過早抽象出一般算法，而應讓學生運用初始模式再計算幾道題，并組織學生進行觀察，在交流中實現從直觀到抽象的無痕提升。如，某教師在學生理解了14×2的初始豎式后，組織完成如下計算：

師：我們來看黑板上的豎式。這些算式有什么共同的地方？

（學生分析豎式特點）

師：你們覺得像這樣寫怎么樣？

生：比較清楚。

生：清楚是清楚，不過有點煩，有些好像不要寫兩次的。

師：是啊，要是能簡單些就好了。

生：其實這個豎式積里十位上的數字可以移動到個位數字的左邊來，其余可以擦去的。

師：哦，你的想法挺好的！我們一起來看屏幕——（屏幕上動畫演示豎式由繁到簡的過程）你們看——這樣寫比原來是否是簡單多了？

生齊答：是！

師：我們以后列乘法豎式時，可以選擇簡單的方法來寫。剛才寫的三道豎式，你們能不能把它們改成簡單的寫法？

以上教學過程中，教師沒有立即讓學生用所謂的簡化豎式計算，而是在實際計算中使學生進一步理解一位數乘兩位數的算理，同時通過觀察、比較，找出這些初始豎式的共同點，進而產生簡化豎式的需要，在此基礎上自然引出簡化豎式。這樣的學習過程，學生在算理的理解過程中自己發現了計算規律，自己產生了簡化的需要，自己探索出了簡化豎式的寫法，在不露痕跡中充分體驗由直觀到抽象的過渡和演變過程，從而達到對算理的深層理解和對算法的切實把握。

對兒童學習心理規律的深度洞察是實施無痕教育的關鍵所在。在兒童數學學習的過程中，尤其在新知理解階段，在學科元素中融入兒童基點，能夠使新知學習更適合兒童的認知發展，為學生深度理解知識、發展技能和形成能力打下堅實的基礎。

三、循序漸進中掌握——學生學習過程的精心組織

學生學習數學的過程，既是在教師引導下的意義建構過程，也是在自身需求發展中的自主建構過程。無痕教育視野下的學生數學學習過程，更主要的體現為教師精心設計學生的學習進程。從某種意義上說，要使學習過程更貼近學生，更自然，就需要掌握“進”與“退”的藝術。適當的“退”和必要的“進”，能使得學習過程成為學生循序漸進地掌握知識和技能的過程。在課堂上，“進”“退”之間體現的是一種行云流水般的從容節奏，是一種水乳交融般的無痕狀態。

數學教學中“退”的策略主要有三方面：首先，退到學生的生活經驗。數學知識常常來源于現實生活。在教學過程中，教師如果能充分利用學生身邊的生活現象引入新知，讓數學教學符合生活實際，充滿生活氣息，會使學生對數學產生親近感，并激起探求新知的強烈愿望。其次，退到學生的已有舊知。教師可引導學生將已學過的舊知和與之相聯系的新知相比較，使學生通過復習舊知識從而更快地學會新知識。安排適當的舊知復習，能再現學生認知結構中的相關知識經驗，激活新舊知識之間的聯結點，為新課學習做好鋪墊。第三，退到學生的思維起點。數學教學是數學思維活動的教學，小學生的數學思維發展遵循著從形象思維到抽象思維過渡的規律。為使學生的思維得到有效的發展，教師在引導學生學習新知之初就應該為學生的思維發展尋找合適的起點。教師應根據不同年級的學生年齡特征尋找合宜的思維方式：低年級學生可以多一些操作和活動，以引發動作性思維；中年級學生可以充分利用表象的作用，不斷引發形象性思維；高年級學生可以不斷引導歸納和概括，以逐步發展抽象性思維。

數學教學中“進”的策略主要有三方面：首先，進到學生的認知結構。數學教學的本質是學生在教師的引導下能動地組建認知結構并使自己得到全面發展的過程。知識一旦形成結構，就具有穩定性和系統性。單一的知識只是散落的珍珠，而結構化的知識如同美麗的珍珠項鏈。由于認知結構是以一定的思維方式為指導構建起來的，故其本身蘊含著思維方法。在教學數學知識時，教師不能只停留在表面，而要提示知識所蘊含的方法和思想，提高學生的分析、比較、歸納、概括、推理等能力。其次，進到學生的思維深處。啟迪學生思維，發展智力、培養能力，建立良好的智能結構，是課堂教學的重要目標。這就要求教師精心設計教學的問題情境，引導學生積極觀察、思考、發現、探究、創造，使思維得到有效的發展。在引導學生進行課堂學習時，教師應做到層層遞進，步步深入，鼓勵學生創新求異，并及時肯定學生的新發現、新觀點、新見解，突破學生的思維定式，促使學生思維向縱深發展。第三，進到學生的實際應用。數學應用于實際，才會變得有血有肉、富有生氣，才能真正讓學生體驗到學習數學的意義和價值。數學教學要避免從概念到概念、從書本到書本，應該善于變“機械練習”為“生活應用”。通過實際應用，引導學生用數學的眼光去觀察、分析、解決生活中的問題，在生活中應用數學知識，增強對數學知識價值的體驗，強化應用數學的意識。

“進”與“退”的過程，是學生潛移默化地掌握知識技能的過程，是學生在不露痕跡中培養思維能力的過程，是學生在淡墨無痕中感悟數學思想的過程。從這個意義上說，數學教學的智慧就在于教師能在“進”與“退”之間游刃有余。

總之，數學無痕教育，是一種理想的教育，是一種智慧的教育。它不僅是一種教育方式，更是一種教育思想，是一種教育心理學的規律和原則，是一種教育的美學和哲學境界，是一種對教育本原的追尋。無痕教育，無聲無息，無縫無形；無痕教育，有情有理，有法有度。

無痕，是教育的自然和諧。