提取函數(shù)“框架”教學(xué)思想的構(gòu)建與應(yīng)用

摘 要：函數(shù)是學(xué)生中普遍反映最難學(xué)的內(nèi)容。因此，在教學(xué)實(shí)踐中，從函數(shù)入手，深入淺出，提取函數(shù)的“框架”，化抽象為具體，化“無形”為“有形”，提高了學(xué)生的抽象能力，也促進(jìn)了學(xué)生數(shù)學(xué)整體思想的形成，有助于學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的進(jìn)步和發(fā)展。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)效率；函數(shù)的框架；教學(xué)思想

中圖分類號(hào)：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1009-010X（2011）07-0042-03

一、提取函數(shù)的“框架”，化抽象為具體，化“無形”為“有形”

學(xué)生在學(xué)習(xí)函數(shù)時(shí)，往往受函數(shù)解析式的束縛，將變量的形式進(jìn)行變化以后，往往混淆不清，無從下手。函數(shù)難學(xué)與學(xué)生所處年齡階段的思維結(jié)構(gòu)也有關(guān)系。科學(xué)探究得出結(jié)論，少年期或初中階段主要是以經(jīng)驗(yàn)型為主的抽象邏輯思維；青年初期或高中階段主要是以理論型為主的抽象邏輯思維。[1]在初中起點(diǎn)五年制專科層次的全科型小學(xué)教師的函數(shù)教學(xué)中，筆者提出了函數(shù)“框架”的概念。以下是一個(gè)真實(shí)的教學(xué)片段：

例1： 求函數(shù)y=sin2x的周期。[2]

學(xué)生已有知識(shí)：正弦函數(shù)y=sinx的周期是2π，以及周期函數(shù)的定義：若f（x+T）=f（x），T為不為零的常數(shù)，則T為函數(shù)f（x）的周期。

問題解決過程：

生：將2x看成一個(gè)角，在后面直接加2π，得y=sin（2x+2π）

師：下一步呢？周期怎么算？還是2π嗎？

部分學(xué)生認(rèn)為就是2π，也有支吾不知道的。有人看到課本的解法后在嘀咕：為什么要把“2”提出來呢？

師：如果還是2π的話，按照這種方法，那么把2x改成3x，4x，等等，結(jié)果不都是2π嗎？這種現(xiàn)象禁不住讓人懷疑啊！（這么一說，學(xué)生也覺得是有點(diǎn)不對(duì)，開始動(dòng)搖）課本上是把2提出來寫成2（x+π）的形式，括號(hào)里的才是要求的周期。按照這種方法，如果是sin3x，sin4x那么就要把3，4提出來，也就是要把x前的倍數(shù)提出來以后，與x相加的那個(gè)數(shù)才是函數(shù)的周期。（至此，學(xué)生能記住解法，視覺沖突很強(qiáng)烈，但是仍然不知其所以然。期待進(jìn)一步解釋。）

師： 聯(lián)系周期函數(shù)的定義：f（x+T）=f（x）進(jìn)行如下分析：

f（x+T）=f（x）中：從形式看上，就是用x+T這個(gè)整體作為變量代替x，函數(shù)值不變，與x相加的數(shù)就是周期。所以，我們?cè)谇蠛瘮?shù)周期時(shí)，一定要出現(xiàn)x+T這個(gè)整體。所以上述例題中要提出2。（這種類型學(xué)生很快就掌握了方法，也認(rèn)為都會(huì)解了，覺得容易。）

易得函數(shù)的框架為f（）=（）2+1。所以，f（x）=x2+1。

運(yùn)用二：求函數(shù)定義域。

分兩種情形，

第一類：已知f（x）的定義域，求fφ（x）的定義域。

例3：已知f（x）=ax2+3x+1的定義域?yàn)?[-1， 2]，求f（x2-1）的定義域。

分析：函數(shù)的框架是f（）=a（）2+3（）+1，函數(shù)的定義域指的就是x的范圍。f（x）的括號(hào)里只有一個(gè)x，此時(shí)的范圍就是“f（）”括號(hào)里整體的范圍。因此，f（x2-1）中，應(yīng)有-1≤x2-1≤2，解不等式即得f（x2-1）的定義域。

第二類：已知fφ（x）的定義域，求f（x）的定義域。

例4：已知函數(shù)f（x+1）的定義域?yàn)閇-2， 3]，求f（x）的定義域。

分析：f（x+1）中x的范圍為[-2， 3]，于是x+1的范圍[-1， 4].即為“f（）”括號(hào)中整體的范圍。所以，f（）中x的范圍為[-1， 4]，即為f（）的定義域。

運(yùn)用三：復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)數(shù)。

在高等數(shù)學(xué)中，復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)數(shù)的步驟學(xué)生往往出現(xiàn)遺漏，或者分不清求導(dǎo)的先后順序。在此，筆者也引入框架對(duì)應(yīng)的整體思想，幫助理解和把握。

復(fù)合函數(shù)一般形式：y=f[φ（x）]，導(dǎo)數(shù)y＇=f＇[φ（x）]φ＇（x）dx。即將φ（x）看成一個(gè)整體，先在f（）的框架里對(duì)φ（x）求導(dǎo)。第二步，再在φ（x）的框架里對(duì)x求導(dǎo)。最后兩步相乘。如果φ（x）又是一個(gè)復(fù)合函數(shù)，那么，繼續(xù)求導(dǎo)數(shù)，依次類推，最后所有的求導(dǎo)步驟全部相乘。

例5：已知函數(shù)f（x）=sin[（lgx）2+3]，求f＇（x）。

分析：復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)數(shù)是將分解的基本初等函數(shù)按照由外向里的順序分別求導(dǎo)數(shù)再相乘的。因此，我們也可引入框架，讓求導(dǎo)的先后順序更加明了。該函數(shù)的框架為f（）=sin[lg（）2+3]：先求對(duì)數(shù)，再平方加3，最后再求正弦值。因?yàn)榧右粋€(gè)常數(shù)不影響導(dǎo)數(shù)，所以對(duì)數(shù)值平方再加3可當(dāng)成一步求導(dǎo)。按照由外向里的順序求導(dǎo)為：先對(duì)正弦求導(dǎo)，再對(duì)平方加3求導(dǎo)，最后對(duì)對(duì)數(shù)求導(dǎo)。然后全部相乘。即：

由此可以看到，函數(shù)框架的思想和方法，確實(shí)能使思路更加清晰，做題更加簡(jiǎn)捷，也不易出錯(cuò)。尤其是能更深層次的理解函數(shù)的抽象意義，舉一反三，提高學(xué)習(xí)效率，培養(yǎng)數(shù)學(xué)能力。筆者會(huì)在今后的教學(xué)中，結(jié)合全科型小學(xué)教師的自身特點(diǎn)以及培養(yǎng)模式的特殊性，將繼續(xù)摸索，探究，尋找更有效的教學(xué)方法，讓愛好數(shù)學(xué)的學(xué)生在全科型的培養(yǎng)模式下學(xué)有所長(zhǎng)，“全”中有“專”。

參考文獻(xiàn)：

［1］林崇德.學(xué)習(xí)與發(fā)展［M］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2002.

［2］［3］湖南省教育廳組織編寫.五年制專科層次小學(xué)教師培養(yǎng)教科書 數(shù)學(xué)（第2冊(cè)）［M］.湖南科學(xué)技術(shù)出版社，2010，（3）.

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文