“數學味”不是泡出來的

長期的課堂教學實踐使我們認識到：倘若在課堂教學中注重數學素材的揭示、教給學生數學知識的同時，還能揭示知識的發生過程，揭示解題方法和規律的抽象概括過程，讓學生較為深入地領悟數學的內涵（即“數學味”），一定能促進學生數學素養的全面提升。

要讓數學課有“數學味”，不是一種簡單的技巧，它不像“泡湯”一樣，只要把“數學”放到湯碗里攪拌一下，就會出現“數學”的味道，而應該對數學學科的內涵進行系統思考，并進行“智慧加工”，使之逐漸彌漫出“數學”的芳香，從而潤澤學生的數學素養。

一、融進課標，浸入教材，找尋“數學味”的配方

從教材的構成體系來看，數學教材由兩條“河流”組成：具體知識構成的、易于被發現的“明河流”和數學內涵構成的、具有潛在價值的“暗河流”， 它們是骨架與血脈的關系。有了數學內涵作靈魂，各種具體的數學知識才不會是孤立的、零散的東西。正因為有了數學內涵，“游離”狀態的知識才會凝結成優化的知識結構，形成一個有機的整體。我們只有做到“看書要看到底，書要看透，要看到書背面的東西”（蘇步青），充分挖掘教材中的靈魂——數學內涵，用數學內涵引領我們的課堂教學，才能高屋建瓴，提挈整個知識體系，進行再創造、再建構。

比如，一年級上冊“1-5的認識”(蘇教版)，教材首先提供了一幅參觀動物園的主題圖，然后利用集合思想來描述主題圖中1、2、3、4、5，引導學生正確建立“1-5”各數的概念。教材蘊涵著從不同的角度對數進行抽象的數學思想：第一個集合圖是一只完整的大象，第二個集合雖然也是完整的兩只河馬，但是一大一小，這說明計算物體個數不考慮物體的大小。第三個集合，已經不是完整的小鹿而是三只小鹿的頭。這說明，在確定一個集合的元素有多少時，不需要用完整的物體來表示，可以用物體的一個部分來表示，但這一部分必須是和物體存在一一對應的關系。第四個集合，表示的不再是地上的物體，而是天上飄浮的云，這說明對數的抽象無處不在，世界上到處充滿數。第五個集合，四個學生和一個老師的頭像，表明元素的多少與物體的屬性沒有關系。只有意識到這些“內涵”，我們的教學才能走得更遠，才能更具生長力。

從教學層次設計分析，數學課堂教學設計應分宏觀設計和微觀設計，我們的教學設計應充分從這兩個層面進行分析、思考。無論哪個層次上的設計，其目的都是為了讓學生“參與”到獲得和發展認知的數學活動過程中去。因此，教學設計不能只停留在數學認識過程中的“還原”，更應該有數學內涵的飛躍和創造。

以空間與圖形領域中“圖形與位置”（蘇教版）內容的安排為例。這部分內容主要包括二年級用“第幾排第幾個”等方式描述物體的位置，五年級用“數對”表示方格圖上點的位置，以及六年級用“方向和距離”表示平面圖上點的位置。上述內容中所蘊含的數學內涵主線是“依據小學生的年齡特點和認知水平，讓他們逐步感知數與平面圖形上點的關系，培養符號感，體會數形結合的基本方法和價值”。其中，用“第幾排第幾個” 等方式描述物體的位置，主要著眼于學生已有的生活經驗；用“有序數對”表示方格圖上點的位置，則是對生活經驗的提煉，也是對感性認識的提升；用“方向和距離”確定平面圖上點的位置，其基本思想與用“數對”表示點的位置是類似的，但它引導學生從不同角度豐富對相關數學內涵的認識。因此，這就需要我們搞清楚不同內容應概括怎樣的共性，相似內容應該區別怎樣的個性，而要順利地完成這一任務，必須依靠數學內涵作為核心指導，有了深刻的數學內涵作指導，才能設計出智慧靈動的教學思路，才能引發學生創造性的思維活動。

二、關注過程，強化思維，品嘗“數學味”的芳香

數學的內涵往往呈隱蔽形式，沉積、凝聚在數學結論的背后，常常滲透在學生獲得知識和解決問題的過程中。著名數學家波利亞認為：“學習任何知識的最佳途徑，都是由自己去發現、探究，因為這種理解最深刻，也最容易掌握其中的內在規律、性質和聯系。”我們應該有效地引導學生經歷知識形成的過程，讓學生在觀察、實驗、分析、抽象、概括的過程中，積累數學活動經驗，提升數學思考的能力。只有如此，學生所掌握的知識才是鮮活的，這樣的學習才是充滿智慧的學習。我們應該引導學生在經歷數學學習的過程中去感受和理解數學內涵，促使學生對數學知識的理解達到領悟的水平。

在“用數對確定位置”一課的教學中，我引導學生經歷教學過程，努力使學生獲得有價值的思維空間，體驗到數學思考的價值魅力。

在學生掌握到用數對描述位置的基本方法后，我創設了這樣的問題，引發學生的數學思考：

“小明到公園游玩，他現在的位置是（3，4），你能在方格中找到這個點嗎？”“小明向東走了4格，你能找到他現在的位置嗎？”在得出小明現在所在的位置是（7，4）之后——

師：小明在運動之前的位置是（3，4），現在的位置是（7，4），你能看出這兩個數對之間的聯系嗎？

生1：我看出這兩個數對的后一個數都是4。

生2：后一個數之所以沒有變化，是因為他運動的前后都在同一行，所以后一個數都是4。

生3：我看出了前一個數由3變成了7，是因為他向東走了4格。

生4：用3加上4就是7了。

師：不簡單！假如小明向東走了20格，他的位置是多少？如果向東走了50格，位置又怎么表示呢？

師：這次，小明不是這樣運動的，他運動后的位置是（3，20），你知道他是怎么走的嗎？

生1：我認為小明是向北走的。

生2：我同意他的意見，而且是走了16格。

師：看得出，同學們對方格圖上點的位置變化已經掌握得比較清晰了。咱們的思考不妨再深入一點，以這個點（3，4）為例，你是怎么找到這個點的？

師：你認為哪幾根線可以決定這個點的位置？（生分別指出表示第3列的直線和表示第4行的直線）

師：咱們的思考不妨再深入一點，這兩根線又是由哪些線決定的呢？（生感受到問題很有意思，非常興奮）

經過短暫思考，有學生指向最左邊和最下面的兩條線。

師：其實，有了這兩條紅色的線，也就能決定圖中任何一點的位置。沒想到，我這一帶，竟帶出了一群中學生，這一知識咱們在中學的學習中將要進一步研究。

在此片段中，教師采取數形結合的方式，抓住運動前后數對的變化，引導學生分析、對比、想象、概括，得出了數對的變化規律，有機地訓練了學生觀察、對比、抽象、概括等多元的數學能力。教師讓學生在方格圖中找點，體會找點的方法，再通過“是怎樣的線條決定了方格圖中點的位置”，感悟縱橫交叉兩條線的作用，進而推衍橫軸和縱軸在確定位置中的作用，進一步滲透了坐標思想。課上一句“這一帶，竟帶出了一群中學生”，潤物無聲的思想滲透，讓學生在感受符號體系的過程中恰當地生成和滲透相應的數學價值，幫助學生建立起大數學的宏觀視野。

三、觸及思想，有機滲透，探問“數學味”的精髓

“在一切方法的背后，如果沒有一種生氣勃勃的精神，它們到頭來，不過是笨拙的工具。”這里的精神指的就是數學思想。從哲學角度來看，“思想”即“觀念”，即社會存在于意識中的反映。而所謂數學思想，是人們對數學研究統一的本質性認識，是指現實世界的空間形式和數量關系反映到人的意識之中，經過思維活動而產生的結果，是被人們反復運用和確認的、帶有普遍意義和相對穩定的特征，它直接支配著數學的實踐活動，是對數學規律的理性認識。由此看來，數學思想是數學內涵的核心，它決定了數學的經驗基礎、思考核心、發展目標。

從宏觀角度看，小學數學思想按研究層次不同大致可分為以下幾類：一為哲學的（包括邏輯的）思想，如分析法、綜合法、演繹法、歸納法、類比法等；二為科學的思想，如試驗法、圖表法、假設法等；三為數學的思想，如化歸法、遞推法、列舉篩選法等。前者應當是整個數學教學的主線，是最上位的思想，但在具體的問題中，會涉及數學抽象、數學模型、等量替換、數形結合等數學思想。

數學思想的形成同樣有一個循序漸進的過程。只有經過理解、應用、質疑才能使學生真正領會，形成自覺運用數學思想的意識，建立起學生自我的“數學思想系統”。

比如，教學“三角形三邊關系”，在學生已經初步掌握了“兩邊之和大于第三邊”這一規律后，教師設計了這樣一個問題來驅動學生的思維向思想層面“躍升”：

“有兩根小棒，一根長7厘米，另一根長9厘米，可以把其中一根小棒剪成兩段，用拼的方法，你能將它圍成一個三角形嗎？”

學生帶著這樣的“任務”去思考，一會兒后——

生1：老師，不可以把短棒剪成兩根，因為“兩邊之和大于第三邊”是指較短的兩邊之和應該大于第三邊，只能把長棒剪成兩段。

生2：老師，我把長棒分成了4和5，3和6，2和7，1和8。

生3：老師，他說錯了，不可以分成1和8，因為，這樣分的話，兩條短邊是1和7，長邊是8，這樣兩邊之和就等于第三邊了。

師：了不起，不僅找出了答案，而且還洞察到其中的細微之處。相信同學們對今天所學的規律理解更為透徹了！

師：讓我們把這幾種情況畫下來，可以嗎？（如圖）

師：除了這幾種情況外，還有其他可能嗎？

生：（遲疑地）老師，剪開的兩條邊的長度還可以是小數嗎？

師：明白他的意思嗎？能不能舉一些例子？

生1：比如，9可以分成4.1和4.9，3.1和5.9。

生2：9可以分成2.1和6.9，9可以分成1.9和7.1。

生3：9可以分成2.12和6.88，9可以分成1.16和7.84。

……

師：這些都可以拼成三角形嗎？

生：能！這些都能滿足“兩邊之和大于第三邊”的條件。

師：太好了，你認為一共有多少種可能呢？

生：無數種。

師：讓我們把這些可能也用圖表示出來。想象一下，如果把這些點都描出來，這幅圖像什么？

生：像鳥巢。

生：像國家大劇院。

“無限這一主題不應被看成與小學數學完全無關的，如何能夠通過有關的內容幫助學生建立起關于無限的一些認識，就是小學數學的重要目標。”（鄭毓信《數學思維與小學數學》），在上述教學中，三角形三邊之間的關系在多種可能性中不斷地被強化，被“結構”，由邊的長度（整數、一位小數、兩位小數甚至于更多位小數）可能性的拓展，在學生腦中漸次形成一個“無數”點的集合，這不就是“極限思想”的有機滲透嗎？

不僅如此，兩條不斷變化著的短邊的長度與固定的長邊之間，形成了一個a+b>c（其中a ＜c， b＜ c）的不等關系，不也正好滲透了函數思想嗎？

四、縱橫貫通，有機融合，調節“數學味”的溫度

與“數學化”相對的是“生活化”。 數學“生活化”要不要？回答是肯定的！數學走向生活，這是教育的訴求，純粹例題式的教學起點，對于學生來說，不具有可攀性。于是，我們需要各種生活情境，需要借取現實素材。

但在這個過程中，我們不能遺漏一點：即使最簡單的數學，也是抽象的產物。有人問得好：你見過純粹的三角形而不是三角形物體嗎？你見過沒有大小的點，沒有寬度的線嗎？你能說出的那些數字，又在哪兒真實地看見過？所有這一切，都是從現實原形中提取出的“理想化”的思維產物。

從現實原形中提取出的“理想化”思維產物的過程，就是“數學化”的過程。“數學味”與“數學化”是密不可分的。

“數學化”是荷蘭數學家弗賴登塔爾教育思想的核心，有橫向數學化和縱向數學化之分。橫向數學化是“把生活世界引向符號世界”，縱向數學化是“在符號世界里，符號的生成、重塑和被使用”。可以這樣說，“橫向數學化”生成生活與數學的聯系，“縱向數學化”生成抽象數學知識之間的聯系。

弗賴登塔爾認為如果用二分法分別從橫向數學化和縱向數學化分類，數學教育可以分成四種類型，分別對應著四種不同的哲學觀：一是缺少橫向數學化，也缺少縱向數學化，是機械主義；二是橫向數學化得到成長，但縱向數學化不足，是經驗主義；三是橫向數學化不足，但縱向數學化被培養走來，是結構主義；四是橫向數學化和縱向數學化都得到成長，是現實主義。

數學課程改革倡導現實主義的教學，“橫向數學化”和“縱向數學化”要均衡發展。

例如，教學“減法的意義”這一內容，剛開始時，我們這么教：

出示情境圖。

師：請同學們認真觀察這兩幅圖，說一說，從圖中你看到了什么？

生：有5個小朋友在澆花，走了2個，剩下3個。

師：你真棒！誰再來說一說？

生：原來有5個小朋友在澆花，走了2個，還剩下3個小朋友。

師：太好了，你知道怎么列式嗎？

生：5-2=3。

老師滿意地點點頭，板書：5-2=3。

接著教學減號及其讀法。

在“數學味”課堂理念的支配下，我們可以組織這樣的教學：

出示情境圖。

師：仔細觀察這兩幅圖，從圖上你看到了什么？

生：我看到了5個小朋友在澆花。

生：有2個小朋友去提水了，剩下3個小朋友。

師：你能把兩幅圖連起來說一說嗎？

生：有5個小朋友在澆花，走了2個，還剩下3個。

師：同學們觀察得很仔細，描述得很具體！你們能根據這兩幅圖的意思提一個數學問題嗎？

生：有5個小朋友在澆花，走了2個，還剩下幾個？

師：對！大家能不能用圓片代替小朋友，將這一過程擺一擺呢？

（師在行走間指導學生擺圓片，并請一生將圓片擺在情境圖的下面。）

師：（結合情境圖和圓片說明）5個小朋友在澆花，走了2個，還剩3個，從5個圓片中拿走2個，還剩3個，都可以用一個算式來表示，那就是——

生：5減2等于3。

師：這里的5表示什么？2、3又表示什么？

師：同學們說得真好，在生活中存在著許多這樣的數學問題，5-2=3還可以表示什么呢？

生：有5只糖包，吃掉2只，還剩3只。

生：有5條小魚，游走2條，還剩3條。

……

這兩個教學片段，所體現的教學著力點是不一樣的，第一個片斷，屬于“就事論事”式的簡單教學，老師對教學的定位完全停留在知識傳授的層面上，在生活情境的牽引下得出了一道算式，在這里，“5-2=3”是對生活中某一個場面的算術表征，僅是一道算式而已。而第二個片斷，除了教學充分展開以外，更主要的是實現了“生活味”和“數學味”的有機融合，不僅關注了生活，而且滲透了初步的數學建模思想，既關注了橫向數學化，又實現了縱向數學化。且這種教學并不是簡單、生硬地進行，而是和低年級學生數學學習的特點相貼切的，由生活中具體、形象的實例開始，借助于操作予以內化和強化，而后通過思維能力發散和聯想加以擴展和推廣，賦予“5-2=3”以更多的“數學”（模型）意義。

(作者單位：江蘇省南京師范大學附屬小學)

責任編輯 孫恭偉

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