對水波干涉圖樣成因的再認識

馬新亞

(宿州第二中學 安徽宿州 234000)

當兩列周期相同的水波相遇時，在它們重疊的區域里，水面上出現了一條條相對平靜的區域和劇烈振動的區域．這兩種區域在水面上的位置是穩定不變的，而且平靜的區域和劇烈振動的區域交替出現．對于上述水波干涉圖樣的形成原因，教材上給出了這樣的解釋:“如圖1所示，兩組同心圓表示從波源發出的兩列波的波面，實線圓表示波峰，虛線圓表示波谷．如果在某一時刻，水面上的某一點(如圖1中的a點)是兩列波的波峰與波峰相遇，那么經過半個周期，一定是波谷與波谷相遇．波峰與波峰相遇時，質點向上的位移最大，等于兩列波的振幅之和;波谷與波谷相遇時，盡管質點的位移是向下的，但也是最大，也等于兩列波的振幅之和．因此，在這一點，兩列波引起的振動始終是加強的，質點的振動最劇烈，振動的振幅等于兩列波的振幅之和．如果在某一時刻，水面上的某一點(如圖1中的b點)是兩列波的波峰與波谷相遇，經過半個周期，就變成波谷與波峰相遇．在這一點，兩列波引起的振動始終是相互削弱的，質點振動的振幅等于兩列波的振幅之差．如果兩列波的振幅相同，質點振動的合振幅就等于零，水面保持平靜．虛線圓與虛線圓的交點，或者實線圓與實線圓的交點，是振動加強區，它們連成的區域用粗實線畫出;虛線圓與實線圓的交點為振動的減弱區，它們連線的區域用粗虛線畫出．從圖1中可以看出，情況與實驗結果是一致的．”

圖1

對于這樣的解釋，學生提出問題:“為什么虛線圓與虛線圓的交點，實線圓與實線圓的交點的連線上的所有點都是振動加強點，虛線圓與實線圓的交點的連線上的所有點都是振動減弱點?加強區和減弱區為什么會如圖中所示那樣穩定且交替的分布?”

2 對水波干涉圖樣成因的解釋

2． 1 平面簡諧波的波動方程

平面簡諧運動在一個方向上傳播所形成的波，叫平面簡諧波．若已知一列橫波(縱波情況類似)以速度v沿x軸正向傳播，波源O點的振動方程為

這就是波動方程．

2． 2 振動加強點和振動減弱點形成的條件

如圖2所示，設兩相干波相遇區域中任一點P到兩相干波源S1和S2的距離分別為r1和r2，波源S1和S2的初相位分別為φ1和φ2，則兩相干波在P點引起的兩分振動的相位差為

兩相干波在P點引起的合振幅為

當Δφ=2nπ時，A=A1+A2在該處發生相長干涉;

當 Δφ =(2n+1)π 時，A= │A1－A2│，在該處發生相消干涉．

圖2

2． 3 振動加強點和振動減弱點連接形成的線的曲線方程

對于圖2中所示的干涉，波源S1和S2同頻率、同振動方向、同相位，距離波源為r處的點的振動方程為

設兩相干波相遇區域中任一點P到兩相干波源S1和S2的距離分別為r1和r2，則兩相干波在P點引起的兩分振動的相位差為

兩相干波在P點引起的合振幅為

當 Δφ =2nπ，亦即當│r2－ r1│ =nλ(n=0，1，2，3，…) 時，A=A1+A2在該處發生相長干涉;

當Δφ =(2n+1)π，亦即當 │r2－r1│ =該處發生相消干涉．

現以S1和S2連線的中點O為坐標原點，以S1和S2連線為x軸，以過O點且垂直S1和S2連線的直線為y軸建立平面直角坐標系．設S1和S2的間距為d，現分幾種情況敘述振動加強點滿足的曲線方程．

(1)若│r2－r1│ =0，則加強點滿足的曲線為y軸，曲線方程為x=0．

(2)若│r2－r1│ =λ，則加強點滿足的曲線方程為

(3)若│r2－r1│ =nλ，則加強點滿足的曲線方程為

從以上的討論中可以看出，所有振動加強點連成的線是一系列不連續雙曲線，且到兩相干波源S1和S2距離差越大的點對應的雙曲線，其中心線越偏離S1和S2連線的中點O，且其漸近線斜率越小，以上結論同樣適用所有振動減弱點連接形成的線．

綜上所述，同頻率、同振動方向、同相位的兩波源S1和S2所形成的波在相遇區域中疊加，所有到S1和S2距離相等的點形成振動加強區，該區域在S1和S2連線的垂直平分線上;所有到S1和S2距離相差半個波長的點連線形成振動減弱區，該區域分布在以S1和S2連線的中點O為對稱的雙曲線上，曲線中心到中點O的距離為半個波長．所有到S1和S2距離相差一個波長的點連線形成振動加強區，該區域分布在以S1和S2連線的中點O為對稱的雙曲線上，曲線中心到中點O的距離為一個波長，曲線所對應的漸近線的斜率更小一些．以此類推便形成了教材上的水波干涉圖樣．