阿基米德定律背后的原理
——談浮力 體積和質量的起源

羅開明 黃 剛

(贛州市南康中學 江西贛州 341400)

羅會仟

(中國科學院物理研究所 北京 100190)

力學之父阿基米德最為人熟知的故事就是他因發現皇冠的秘密而欣喜若狂地上街裸奔.這個秘密就是，當把物體完全浸沒在水中時，物體即使有相同重量但不同材質，體積便不同，那么排出的水量也不一樣.由此得出阿基米德定律:浸在液體(或氣體)里的物體受到向上的浮力作用，浮力的大小等于被該物體排開的液體的重量.這條定律又稱為浮力原理，實際上它并不完美，若仔細推敲里面一些詞語將會發現諸多隱含的物理原理.本文從阿基米德定律出發，繞到其背后去看一看究竟還有什么奧妙.

1 浮力的起源

先來看看阿基米德領悟到的秘密和阿基米德定律的異同之處.阿基米德把皇冠完全浸沒在水中，由于皇冠里面摻了銀，而且銀的密度要比金小，因此同等重量的皇冠體積就要更大一些，故而排出的水量要比純金打造的皇冠完全浸沒時排出的水量大.阿基米德這個秘密說明的是，同等重量的物體密度大小可以通過排出的水量來衡量.要這么做的原因也在于物體的外形不規則，也就難以測量其體積.換而言之，阿基米德發現的不過是采用排水量來測量不規則外形物體體積的一種辦法——排出水的體積等于物體外形的體積.至此，仍然無法看出浮力如何衍生出來，甚至令人覺得阿基米德發現的秘密和浮力根本沒有任何關系.

再來看看阿基米德定律，它和牛頓第二定律類似.這條定律實際上就是對浮力的定義:浮力的方向是豎直向上的，浮力的大小等于物體排開的液體的重量.用公式表述就是f=ρgV排.由此可見阿基米德當年發現的秘密和所謂阿基米德定律的共同點在于——利用排開液體的體積可以計算液體的質量，從而進一步計算排開液體的重量［1］.如今人們已很清楚，浮力實際上就是浸在液體中的物體受到的所有液體壓力的合力，其根本起源在于液體中不同深度的壓強不同，而造成液體壓強不同的最根本的原因在于液體本身具有重力.假如液體連同浸在其中的物體一起處于失重狀態，那么很顯然物體將不再受到任何浮力.因為各處液體對物體的壓強為零或說液體本身已不受到重力(選液體和物體系統為參考系，這是一個非慣性參考系)，但是此時物體仍然排開了一定體積的液體.明白了浮力的真正起源，便很容易理解這個問題了.也可以換一個角度來看浮力原理，如前所述它和牛頓第二定律非常類似，即定義了力的方向和大小.浮力原理即是

其中m'是排出液體的質量，g是液體的重力加速度.因此和牛頓第二定律F=ma相比，這兩個定律本質上完全一致.浮力原理又可以理解為，浮力等于液體的等效質量乘以其等效重力加速度.等效質量指的是排開液體的質量，等效重力加速度指的是液體所在參考系里物體的重力加速度.如此進一步明確了浮力的起源:對于選定的參考系，若液體具有一定的重力加速度，它會對浸在其中的物體產生壓力，如果上下壓力不同，其所有壓力的合力就將形成浮力，它的方向和重力加速度方向相反，大小等于排開液體的等效重量.推而廣之，若在失重的太空中，讓液體通過圓周運動而產生向心加速度，那么它就會對浸在其中物體產生離心方向的浮力，而這個浮力的方向原則上并不一定是豎直向上——因為在太空中無法分辨“向上”還是“向下”.

2 體積的起源

如前所述，阿基米德發現的秘密，就是完全浸沒在液體中的固體體積等于排開液體的體積，即V固=V排.要特別小心的是，這里的V固不過是固體外形的體積而已，并非等于組成該固體所有固態物質的體積.據說有個老婦人也拿了個金球要阿基米德鑒定真假，結果阿基米德給出的結論是，這不是純金的球.老婦人很氣憤，隨即一刀劈開了球，原來球是空心的，組成球的材料卻仍然是貨真價實的純金.阿基米德失誤在于把空心部分的空氣體積也作為固體體積了.這個事例說明，不同的物質形態，其體積起源是有所區別的.

固態物質，主要有晶態、非晶態和準晶態.晶體又分為單晶和多晶.下面文中所說固體皆指晶體.單晶體之所以有規則的外形，是因為從微觀尺度上來看晶體內部的原子堆積是具有規則的周期結構的.組成固體的原子直徑一般是nm量級.而固體材料中原子間距即原子間隙一般要比原子本身尺度大得多.因此固體體積大部分來源于原子間隙，不同的原子排列方式會給出不同密度、不同外形、不同硬度的材料.金剛石和石墨就是典型的例子，兩者微觀尺度上都是碳原子的規則陣列，但金剛石中碳原子排列方式是密堆結構，而石墨則是層狀結構，原子排列方式的不同導致金剛石的硬度要遠大于石墨，當然它們的密度也大不一樣.為什么原子排列方式可以多種多樣呢?這主要是因為原子外層價電子數和能量不同，從而形成了豐富的化學鍵結構.這些化學鍵的根本成因就是電子 －電子之間的庫侖相互作用.也就是說，庫侖相互作用使得原子按照一定的方式規則排列，并存在較大的間隙，從而在宏觀上使得固體有了一定的體積.此外，原子自身的體積也是庫侖相互作用形成的，原子核大小只有10－6nm，電子直徑要更小，它們和原子的直徑相比都要小得多.實際上，原子的直徑約等于電子在原子核外運動形成的電子云直徑，也即原子核和電子間庫侖相互作用的最大間距.由此可見，固體的體積最根本的來源就是電荷之間的基本相互作用——庫侖相互作用.

眾所周知，固體中原子之間的共價鍵、離子鍵和金屬鍵都具有很強的鍵能，或者說它們之間的庫侖相互作用較強，因此固體的體積一般較難改變［2］.通過施加外界應力或者改變溫度，可以改變原子的振動能量、間距大小甚至排列方式，從而改變固體宏觀體積形狀，但體積變化相對值都很小.對于液體或者氣體，就大不一樣了.組成液體或者氣體的分子之間主要相互作用是范德瓦耳斯力，或稱分子鍵，它和化學鍵相比鍵能要小得多.這是液體或者氣體體積的主要成因，也說明液體和氣體的體積可以很容易地改變.而范德瓦耳斯力主要來自分子間偶極矩的相互作用.分三種情況:第一種，若偶極矩是分子自身的極性也就是電荷分布不均勻性造成的;第二種，極性分子可使另外非極性分子極化產生偶極矩;第三種，均為非極性分子其相互作用來自分子中電子運動中產生的瞬時偶極矩，它可以瞬時極化鄰近的分子并增強自身的瞬時偶極矩.偶極矩相互作用和電荷本身之間的相互作用相比，它只是個二級效應，其強度要弱很多，但其本質上還是庫侖相互作用形成的.因此，從微觀意義上來看，固體外形體積和流體體積的起源盡管有所不同，但其本質都來自于庫侖相互作用.阿基米德能把它們從宏觀意義上等同，確實寓意深遠.

3 質量的起源

在化學里，計算物質質量通常以它們的分子量或式量為基準，為此只需要弄清楚分子量的本質就知道了質量的起源.計算分子量的時候，一般是將各個原子的原子量按照原子配比加權得出，由此可見，原子之間的庫侖相互作用對分子質量貢獻可以忽略不計.那么原子量又如何得出呢?定義質子質量為1原子質量單位(u)，中子質量和質子質量幾乎相等.原子量一般等于或大于原子核質子數加中子數，大于的那一小部分來源于電子質量，電子質量是質子質量的，即電子也貢獻了一小部分原子量，而電子和原子核之間的庫侖相互作用對原子量幾乎沒有貢獻.那么，質子和中子的質量來自于什么?組成質子和中子的粒子是夸克，每個質子和中子都是由3個夸克組成的.有意思的是，3個夸克質量之和要遠小于質子或中子的質量.似乎質子或中子的質量就此“失蹤”了.經物理學家研究發現，夸克之間的相互作用要比庫侖相互作用強很多，稱之為強相互作用.質子和中子質量大部分就來自夸克之間的強相互作用.夸克之間的強相互作用非常奇怪，無論增大還是減小夸克之間的間距，都將大大增加它們之間的相互作用強度，這使得人們無法觀測到獨立的夸克;至于夸克的內部結構就更難探測了.總之，物質的質量大部分起源于質子和中子內部夸克之間的強相互作用，而并非是組成物質所有微粒質量的總和［3］.這里用到的一個原理就是愛因斯坦質能關系E=mc2，即相互作用能量和質量實際上存在等價關系.

至此，明白了浮力公式f=ρgV排=m'g中體積和質量的來源，它們一個來自于庫侖相互作用，一個來自于強相互作用.所謂相互作用，也就是力.也就是說，體積和質量都是起源于力.公式左邊是一個力——浮力，公式右邊物理量的基本含義其實還是力，因此所謂浮力公式就是力的定義和力的詮釋而已.至此，可以清楚地認識到阿基米德定律實際上就是說明了浮力和自然界其他相互作用力的比例關系.自然界各種力實際上都可以最終歸結為四類基本相互作用力，它們是強相互作用、弱相互作用、電磁相互作用和引力相互作用［4］.如今，物理學家已經可以把前三者相互作用很好地統一起來描述;而如何納入引力相互作用而得到終極理論模型，正是新世紀物理學最前沿的課題之一.

1 朱鋼，戴顯熹.廣義阿基米德定律的理論推導和適用條件.大學物理，2004，23(8):13 ～15

2 (美)L·鮑林著，盧嘉錫，等譯.化學鍵的本質.上海:上海科學技術出版社，1966.212～246

3 王青.再論質量的起源.物理，2009，38(10):699～706

4 馮端，金國鈞.凝聚態物理學中的基本概念.物理學進展，2000，20(1):1 ～ 21