地基上下震動時高橋墩的動力屈曲

羅松南，宋君晗，馮 鑫

（湖南大學 機械與運載工程學院工程力學系，長沙 410082）

橋墩是橋梁的重要支撐構件，由于主要承受軸向壓力作用，穩定性問題是該類構件要考慮的首要關鍵問題。我國處于多發的強地震區域，由地震產生的地基運動對于高橋墩的動力穩定至關重要。目前高橋墩的設計大多基于靜力屈曲分析［1，2］，與動力屈曲設計存在較大差距。對于動力屈曲問題，有不少學者進行了先期研究。嚴東晉等［3］對結構沖擊屈曲準則提出了討論；Bakker［4］分析了懸臂圓柱在均布荷載下的剪切屈曲問題；這些研究為研究不同形式的沖擊荷載奠定了基礎。孫強等［6－8］較系統地研究了豎向諧荷載作用下樁的動力穩定問題。羅松南、李禮［9］研究了三角形沖擊載荷和矩形荷載作用下的高橋墩的動力屈曲。這些動力屈曲研究都限于橋面的沖擊荷載形式，而對地基運動引起的各種形式的動力屈曲研究甚少。

本文研究高橋墩在地震波引起的地基上下震動時的動力屈曲問題，考慮了大變形的影響，建立了非線性動力學基本方程式。通過數值算例得到了各種不同的地震震級、高橋墩柔度、橋面質量大小的位移響應曲線；給出了高橋墩動力屈曲的全過程；比較了不同柔度、不同橋面質量大小時高橋墩的動力失穩的臨界地震級別。可為工程設計提供依據。

1 基本方程式

將高橋墩簡化為如圖1所示的一端固支另一端簡支的等截面受壓圓柱，將橋面質量、行駛車輛質量簡化為一個質量塊，并設其質量為M0（根據文獻［12］中給出了公路橋梁構件的自重標準的確定取值），柱長為l，柱的橫截面直徑為d。當柱體發生變形時，設中面位移為u0（x，t）和w0（x，t），則柱內任一點位移u，w可表示為（不考慮剪切變形的影響）：

應用本構方程和幾何方程以及應力與內力之間的關系可得內力與位移的關系為：

其中，E為材料的彈性模量，A為柱體的橫截面面積，I為橫截面對y軸的慣性矩，ρ為材料的質量密度。α稱為非線性因子，當考慮非線性時α=1，當不考慮非線性時α=0。

對整個結構進行受力分析，利用簡單的超靜定梁求解方法使B點的撓度為零，得出上支座的支座反力的表達式為：

取柱體的任一截面的上半部分進行受力分析，如圖2所示，圖中的N，Q，M分別為x截面上的軸力，剪力和彎矩。分別考慮x方向力的平衡和繞o'點的力矩平衡有：

將式（3）和式（4）代入式（6）和式（7）可得到用位移表示的非線性動力學的基本方程式時，有：

該問題的邊界條件為：

設該問題的初始條件為：

2 求解方法

設基本方程式具有如下形函數解：

上述形函數滿足邊界條件式（10）和式（11）。其中，（t）是通過已知地震波加速度波函數積分兩次得到的位移函數。

將式（14）至式（15）代入基本方程式（8）至式（9），并應用迦遼金積分，并對其進行整理，得到僅含時間變量的動力控制方程：

其中，a1，a2，a3，a4，b1，b2，b3，b4為伽遼金積分后的有關常數。

由式（16），式（17）通過數值計算可以得到位移U（t），W（t）。

采用四階龍格－庫塔法，計算過程中控制迭代步長將關于時間的微分方程變為代數方程進行數值求解。給定柔度λ，地震加速度a，橋面質量M0等參數來求解u（x，t），w（x，t），繪出高橋墩在地基上下震動時的響應曲線，分析各種參數對響應的影響規律。參照文獻［11］中Ellishakoff的觀點，采用B－R準則確定高橋墩失穩的臨界地震加速度，即高橋墩在地基上下震動時在微小地震加速度增量作用下引起劇烈響應，則認為結構屈曲，對應的值為臨界地震加速度。由此給出高橋墩的動力失穩的臨界地震加速度和失穩時刻。

3 數值求解

表1 地震震級劃分（單位：gal；1 gal==1 cm/s2）Tab.1 dividing of seismic grade（unit：gal；1 gal==1 cm/s2）

圖4給出了當M0=2.7×106kg，λ=95（l=33.9 m）時，不同的地震波峰值amax對應的W（t）隨時間t的響應曲線。在amax較小的情況下，即為地震震級較小的情況下橋墩發生一定的橫向振動，但不會發生動力屈曲，橋墩始終處于穩定狀態。隨著地震波震級（或加速度峰值）的增大，橫向振動幅值明顯增大（失穩前大幅橫向振動幅值稱為Wmax）。通過計算比較可知，當amax=32.72 m/s2，t=9.16 s時，位移有突然劇增的現象出現，撓度趨于無窮大而使高橋墩失穩，因此，amax=32.72 m/s2可視為該高橋墩失穩的臨界地震加速度（稱為acr）；對應地震級別則為臨界震級。即當amax＞acrm/s2時，橋墩會在某一時刻不再振動，撓度不斷增大，使橋墩彎曲破環。圖4的響應曲線全面描述了地基上下震動時橋墩從穩定到小幅振動再到大幅振動直至失穩的全過程。由圖還可看出隨著加速度幅值（震級）的增加，失穩發生的時間越來越早，當amax=33.70 m/s2時，在8.1 s失穩。

圖5給出了當amax=52 m/s2，λ分別為100，95，85時，Wmax隨M0的變化曲線。隨著M0的增加，Wmax隨之增加。當λ=85，M0在 2.4×106kg－2.7×106kg時，高橋墩振動幅度變大，當M0＞2.7×106kg時高橋墩不發生振動，撓度持續增大，使橋墩彎曲破壞。

圖6給出了amax=52 m/s2時，M0分別為1.5×106kg、1.8×106kg、2.0×106kg時，Wmax隨λ的變化曲線；若M0為1.5×106kg，當λ＜105時，橋墩始終保持穩定狀態，位移響應為幅值較小的振動；當105≤λ≤113時橋墩有較大幅值的橫向振動；當λ＞113時，位移趨于無窮大，高橋墩會屈曲破壞。

圖7給出了當M0=2.4×106kg，λ=98；M0=2.7×106kg，λ=98；M0=2.7×106kg，λ=112時Wmax隨地震波的峰值amax的變化曲線。當M0=2.7×106kg，λ=112時，amax＜10 m/s2時，高橋墩只有較小的橫向振動，始終處于穩定狀態；10 m/s2＜amax＜20 m/s2時，高橋墩有較大幅值的橫向振動；amax＞20 m/s2時，高橋墩撓度趨于無窮大而屈曲破壞。amax=20 m/s2可視為高橋墩在此參數下的臨界地震加速度，對應的震級為臨界地震震級。圖中其它曲線具有類似的說明，不再贅述。

圖8給出了不同的M0時，臨界地震加速度峰值acr隨幾何參數λ的不同變化曲線。當λ較小時，臨界地震加速度隨λ的增大而迅速減小；但當λ較大時，臨界地震加速度隨λ的增加而緩慢減少。

圖9給出了不同的λ時，臨界地震加速度峰值acr隨橋面質量M0的變化曲線。當M0較小時，臨界地震加速度隨M0的增大而迅速減小；但當M0較大時，臨界地震加速度隨M0的增大而緩慢減少。

4 結論

本文對受到地基上下震動時混凝土高橋墩的非線性動力屈曲進行了分析，給出了不同的地基上下震動時候的位移響應曲線，描述了高橋墩的動力屈曲路徑，分析了各種幾何參數和載荷參數對動力屈曲的影響。

（1）不同的簡化質量M0，不同的幾何參數λ對應的高橋墩的臨界加速度acr和失穩時刻不同。當amax＜acr時，高橋墩只會發生較小或較大幅值的橫向振動；當amax＞acr時，高橋墩會因撓度趨于無窮大而動力屈曲破壞。

（2）當柔度系數λ越大時，高橋墩失穩的臨界地震加速度acr越小，且失穩時刻越早。

（3）當橋面簡化質量M0越大時，高橋墩失穩的臨界地震加速度acr越小，且失穩時刻越早

（4）根據臨界地震加速度對照表1和現在的橋墩穩定設計理論，當地基只有上下震動時，可知在大于8級甚至9級地震時，橋墩才可能會有較大程度的破壞；而對于較低級別地震，不會對橋墩產生破壞。但實際上地震產生的地基運動是復雜的，對于其它的地基運動形式，我們將作進一步的研究。

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