高層基礎隔震結構高寬比限值分析

祁 皚，商昊江

（福州大學 土木工程學院，福州 350108）

鑒于我國目前的技術條件，對于高層隔震結構的抗傾覆問題，限制其高寬比是一種有效的方法，文獻［1－3］對隔震結構高寬比限值進行了較為系統的研究，考慮了豎向地震動、地震動峰值、場地條件、隔震層剛度、橡膠墊布置方式等因素對隔震結構高寬比限值的影響，得到了一些定性的結論。文獻［4］采用與文獻［3］類似的研究方法，得到了基本一致的結論。文獻［5，6］采用單質點模型對隔震結構高寬比展開研究并得到了定量的結果，對于高層隔震結構，高階振型和彎曲變形不可忽視［7，8］，因此，本文采用文獻［9］推導的高層隔震結構3質點簡化計算模型，沿用文獻［5］關于隔震結構抗傾覆穩定性的思路推導高層隔震結構體系高寬比限值的計算公式，將結果與文獻［5，6］進行對比，并給出高層隔震結構的高寬比限值的建議值。本文還進一步討論了當隔震周期不等于臨界周期時高寬比限值的變化情況，以對高層隔震結構高寬比限值的變化規律有較全面的了解，并最終得到在設計中高層隔震結構高寬比限值的合理參考值。

1 高層隔震結構高寬比限值推導

1.1 基本假定和抗傾覆穩定條件

參照文獻［5］，假定：① 隔震支座布置對稱；② 隔震支座的水平剛度和豎向剛度與隔震支座面積成正比；③ 隔震層頂部梁板結構為剛性層。

抗傾覆穩定條件：① 隔震層邊緣的橡膠支座不出現拉應力；② 隔震層邊緣的橡膠支座最大壓應力不超過容許值；③ 隔震層在罕遇地震下的水平位移不超過容許值。

1.2 邊緣隔震支座受力分析

1.2.1 豎向力作用在邊緣隔震支座上產生的軸力

重力荷載代表值和豎向地震作用在邊緣隔震支座上產生的軸力NG和NFEv分別如式（1）和式（2）所示［5］：

式中，G為隔震層以上結構總重力荷載代表值，KvB為邊緣支座的豎向剛度，Kv為隔震層總豎向剛度，μ為豎向地震影響系數，分別等于 0（7 度）、0.2（8 度）、0.4（9度）［10］。

1.2.2 傾覆力矩在邊緣隔震支座上產生的軸力

文獻［9］中推導的等效3質點簡化模型計算模型的質量矩陣和剛度矩陣如式（3）所示，

計算傾覆力矩在邊緣隔震支座上產生的軸力采用式（3）的模型，為采用振型分解反應譜法，改變隔震層剛度，作等效三質點模型周期比RTIU=T11/TU1（T11為隔震結構基本周期，TU1為抗震結構基本周期）在1.6～3.0之間變化時的三階振型如圖1所示，從中可以直觀地看出，二、三階振型并無太大變化，而第一振型有較大變化。

為進一步分析等效三質點簡化模型的三階振型，以某15層框架結構為考察對象，Ⅱ類場地，特征周期為0.4 s，抗震設防烈度為8度，基本周期為1.48 s。

圖1 等效三質點模型三階振型Fig.1 Three modes of three-particle equivalent model

圖2 平均基底最大剪力比Fig.2 The ratio of the average maximum base shearing force

圖3 平均頂部最大加速度比Figure 3 The ratio of the average maximum acceleration at the top

結構在隔震以后一般都要求基底剪力減少一半以上，從圖2中可以看出此時周期比在2左右，這與文獻［11］“根據我國及世界各國對疊層橡膠墊隔震結構的試驗研究、設計、應用和地震考驗等方面的經驗，對一般多層隔震房屋，疊層橡膠墊的水平剪切剛度選取的合理范圍是使得RTIU=T11/TU1＞2（T11和TU1分別為隔震結構和抗震結構的基本周期）”的論斷相吻合，且此時頂部平均加速度比為0.33，即頂部加速度的減震效果也較好，綜合考慮以上各因素，同時考慮為保守估計高層隔震結構的高寬比限值，盡量取得傾覆力矩在邊緣隔震支座上產生的軸力的較大值，則取等效隔震結構周期比為2（下文無特別說明，均取RTIU=2），則三質點模型前三階振型為

（1）水平地震作用產生的傾覆力矩在邊緣隔震支座上產生的軸力NMEh第j振型，第i質點受到的水平地震作用為：

第j振型，第i質點受到的水平地震作用對基底產生的彎矩為：

第j振型受到的水平地震作用對基底產生的彎矩為：

水平地震作用對基底產生的總彎矩為：

式中，

ms為除隔震層以外上部結構的總質量，hs為除隔震層以外上部結構的總高度，由于隔震層與各樓層的質量相近，而高度一般為各樓層的一半左右（1.5 m～1.8 m），所以，β=hb/hs，2β=mb/ms（hb和mb分別為隔震層的高度和質量）。

將式（4）、式（9）、式（10）代入式（8），得到：

式中，Gs除隔震層以外上部結構重力荷載代表值。

根據基本假定①，可以認為隔震層發生彎曲變形時，其中性軸通過寬度中心，則隔震層的轉動剛度為：

式中，B表示隔震層的寬度，Kvi為i支座的豎向剛度；n為橡膠支座的個數；ηi=2xi/B，xi表示支座i到隔震層形心的距離，則水平地震作用產生的傾覆力矩在邊緣隔震支座上產生的軸力：

（2）豎向作用產生的附加傾覆力矩在邊緣隔震支座上產生的軸力NMEv

與水平地震作用產生的傾覆力矩在邊緣隔震支座上產生的軸力類似，可得到豎向地震作用和重力荷載代表值產生的附加傾覆力矩在邊緣隔震支座上產生的軸力分別如式（14）和式（15）所示，

1.3 高寬比限值公式

1.3.1 邊緣隔震支座不出現拉應力時的軸力最不利組合

當以邊緣隔震支座不出現拉應力為控制條件時，豎向地震作用方向向上為不利。若要保證邊緣隔震支座不出現拉應力，必須滿足下式：

式中，荷載分項系數γEh取 1.3；γEv取 1.0；γG對結構有利時取1.0，不利時取1.2。將式（1）、式（2）、式（13）、式（14）和式（15）代入式式（16），整理得：

1.3.2 邊緣隔震支座壓應力不超過容許值時的軸力最不利組合

當以邊緣隔震支座壓應力不超過容許值為控制條件時，豎向地震作用方向向下為不利。若保證邊緣隔震支座壓應力不超過容許值，必須滿足下式：

式中，荷載分項系數γEH取 1.3，γEV取 1.0，γG取 1.2（對結構不利）；AB為一側邊緣隔震支座的總面積；［σ］為橡膠隔震支座壓應力容許值。

將式（1）、式（2）、式（13）、式（14）和式（15）代入式（18），整理得：

2 高層隔震結構高寬比限值公式與基本周期的關系

2.1 高層隔震結構高寬比限值從邊緣支座不產生拉應力控制過渡到壓應力不超過容許值控制的臨界周期 Tcr［5］

由式（17）和式（19）可知，當：

即：

時，高寬比限值由邊緣支座不產生拉應力控制。反之，高寬比限值由邊緣支座壓應力不超過容許值控制。參照文獻［5］，定義臨界周期：

Tcr與選用的隔震支座及建筑類別有關，容許壓應力［σ］按《抗震規范》對于甲類、乙類、丙類建筑分別是10 MPa、12 MPa和 15 MPa，但βb的取值跨越很大，如表1所示，考慮到高層隔震結構較多使用直徑400－1 000的普通隔震支座，并會使用一些鉛芯隔震支座，因此取有代表性的βb=3.5×106N/m3計算Tcr，表2給出了由式（22）計算的與不同建筑類別對應的Tcr。

表1 橡膠隔震支座βbTab.1 The βbof rubber bearings

表2 不同建筑類別對應的TcrTab.2 The Tcrcorresponding to different building types

2.2 高層隔震結構高寬比限值與基本周期的關系

2.2.1 高層隔震結構高寬比限值由邊緣隔震支座不產生拉應力控制的情況（T11＜Tcr）

高層隔震結構的第一振型對應振子的絕對最大加速度：

式中，α1為第一振型地震影響系數。

將式（23）代入式（19）得：

令：

則式（24）變為：

由式（27）可看出，h/B隨著隔震基本周期T11的增加而增大。

2.2.2 高層隔震結構高寬比限值由邊緣隔震支座的壓應力不超過容許值控制的情況（T11＞Tcr）

將式（23）代入式（19）得：

把式（25）、式（26）代入式（28），則式（28）變為：

由式（29）可以看出，h/B也隨著隔震基本周期的增加而減小。可見，由邊緣隔震支座壓應力不超過容許值控制時，h/B與hs/B具有相同的單調性。

當不考慮豎向力（重力荷載代表值和豎向地震作用）產生的附加傾覆力矩時，MMEv=0，NMG=0，則由邊緣隔震支座不出現拉應力和壓應力不超過容許值控制下的高寬比限值公式分別為：

將式（27）、式（29）與式（30）、式（31）進行比較后發現，不考慮豎向力產生的附加傾覆力矩時，Δh=0，即h=hs。可見，h/B即為不考慮豎向力產生的附加傾覆力矩影響時得到的高寬比限值。為了簡便，近似地將高層隔震結構的高寬比限值用h/B來表示，當考慮豎向力產生的附加傾覆力矩時，可對已求得的h/B中的h按下式進行修正得到高層隔震結構設計時的實際最大取用高度（隔震結構布置確定以后，B則已知）。

2.2.3 高層隔震結構高寬比限值的計算公式

2.2研究表明，當T11＜Tcr時，高寬比限值h/B是隔震基本周期T11的增函數；當T11＞Tcr時，高寬比限值h/B是隔震基本周期T11的減函數。因此，T11=Tcr時，高寬比限值將取得最大值。由此結論可以得出高層隔震結構高寬比限值的計算公式如下：

式中，α1Tcr為隔震基本周期是Tcr時對應的地震影響系數。

則式（33）變為：

2.2.4 高層隔震結構高寬比限值與隔震基本周期的關系

為考察高層隔震結構在基本周期沒有取得臨界周期Tcr時的高寬比限值，作高層隔震結構高寬比限值與隔震基本周期的關系圖如圖4、圖5和圖6所示，○、+、☆、□、×、* 和△分別代表Tcr=0.25 s、Tcr=0.30 s、Tcr=0.35 s、Tcr=0.40 s、Tcr=0.45 s、Tcr=0.55 s和Tcr=0.65 s等不同場地類別。

從圖4、圖5和圖6中可以看出，圖中增、減函數的拐點對應的周期為Tcr，當T11＜Tcr時，高層隔震結構高寬比限值的降低并不明顯，尤其是場地條件較好的Ⅰ、Ⅱ類場地（Tcr=0.25 s～0.45 s），高層隔震結構高寬比限值幾乎與T11=Tcr時相等；而T11＞Tcr時高寬比限值的降低比較明顯。

因此，在設計時，如果僅從提高高層隔震結構的高寬比這一個角度考慮，建議將高層隔震結構的基本周期調整到臨界周期附近，或略微偏小的值，可使得其接近高寬比限值的極值。若高層隔震結構最大隔震基本周期都無法達到臨界周期，從圖4、圖5和圖6中可以看出其高寬比限值較極值也不會減少太多。

2.3 高層隔震結構的最大基本周期Tmax

2.3.1邊緣隔震支座的壓應力不超過容許值［σ］控制（T＞Tcr）的最大基本周期Tσmax

當高寬比限值由邊緣隔震支座壓應力不超過容許值［σ］控制時，高寬比限值由式（29）計算。由式（29）可以看出，若：

則：

所以，滿足式（36）的最大基本周期就是由隔震支座最大容許壓應力控制下高層隔震結構的最大基本周期Tσmax。可得：

當隔震支座選定以后，這個周期與設防烈度、建筑類別及隔震支座的選用有關，表3給出了各種情況對應的Tσmax。

表3 隔震支座容許壓應力［σ］控制的Ts maxTab.3 Ts maxconfined by the allowable compressive stress value of rubber bearings

2.3.2 隔震支座最大容許位移［Δ］控制的高層隔震結構最大基本周期TΔmax

由上文可知，高層隔震結構第一振型對應振子的位移應滿足下式：

（1） 當Tg＜T＜5Tg時

（2） 當T＞5Tg時

由式（41）中可以看出，TΔmax與建筑類別無關，但與設防烈度、場地類別、隔震層阻尼比和隔震層的最大容許位移有關，表4給出了各種情況對應的TΔmax值。

2.3.3 高層隔震結構最大基本周期的確定

高層隔震結構的最大基本周期應為：

將表3和表4中的數據進行比較，可得到表5中針對不同建筑類別、場地條件、隔震層阻尼比、設防烈度等工況下的最大基本周期TΔmax。

表4 最大容許位移［Δ］控制的最大隔震基本周期TΔmax（s）Tab.4 TΔmaxconfined by the allowed displacement of rubber bearings

表5 高層隔震結構的最大基本周期Tmax（s）Tab.5 The maximum periods of high-rise base-isolated structure

續表5

從表5中可以看出：（1）最大隔震基本周期Tmax可分為三種情況：①Tmax=Tsmax＞Tcr；②Tmax=TΔmax＜Tcr；③Tmax=TΔmax＞Tcr；（2）7度區和部分8度區，最大隔震基本周期由最大容許壓應力控制，與場地條件和隔震層的阻尼比無關，選擇［σ］較大的支座可以提高Tmax；8度區的其余部分和9度區，最大隔震基本周期由最大容許位移控制，與建筑類別無關，選擇［Δ］較大的支座可以提高Tmax。

3 高層隔震結構高寬比限值的確定

由以上研究可知，高層隔震結構的高寬比限值與高層隔震結構的基本周期、隔震層的阻尼比、隔震支座的布置、設防烈度、場地類別和建筑類別等參數有關。

由式（34）可得：

式中，T11為高層隔震結構的高寬比限值對應的基本周期，由下式確定：

其可以分為三種情況：

4 簡化

為使成果便于應用，對以上的計算過程和表中的計算結果進行分析后作與文獻［5］一致的簡化，并計算了βb=95.0，2.5，3.5 ×106N/m3（具有不同的臨界周期）的（h/B）max/η0值后發現相差不大，因此在表6中給出了βb=3.5×106N/m3且具有代表性的η0=0.515（相當于中間走廊、兩側房間的平面布置）時高層隔震結構的高寬比限值。

表6 高層隔震結構高寬比限值（h/B）max（βb=3.5×106N/m3）Tab.6 The limit of high-width ratio of high-rise base-isolated structure

5 結論

（1）臨界周期的值對高層隔震結構的高寬比限值的影響并不大；當T11＜Tcr時，高層隔震結構高寬比限值的降低并不明顯，尤其是場地條件較好的Ⅰ、Ⅱ類場地，高層隔震結構高寬比限值幾乎與T11=Tcr時的高寬比限值相等；而T11＞Tcr時高寬比限值的降低比較明顯。設計時，如果僅從提高高寬比限值這一個方面考慮，建議將高層隔震結構的基本周期調整到臨界周期附近，或略微偏小的值，可使得高寬比限值接近于極大值。

（2）在考慮豎向力產生附加傾覆力矩的情況下進行高層隔震結構設計時，可先求得在不考慮附加傾覆力矩的情況下得到的（h/B）max/η0，已知（hs/B）max/η0、寬度B和支座布置形式后，對求得的h進行修正，即得到設計中除隔震層以外上部結構的實際采用高度hs。

（3）高寬比限值隨隔震基本周期的變化規律、最大隔震基本周期的影響因素與文獻［5］的結構基本一致。

（4）本文得到的高層隔震結構的高寬比限值與文獻［5］中的數值相差不大。第2.2.4節在對高層隔震結構在基本周期沒有取得臨界周期的高寬比限值的探討后，得到的結論（2）進一步明確了高層隔震結構高寬比限值的取值范圍，便于設計人員在高層隔震結構設計中對結構高寬比的掌握。

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