基于有限元能量流模型的復雜耦合結構中低頻段耦合損耗因子的計算

盧兆剛，郝志勇，鄭 旭

（浙江大學 能源工程學系，杭州 310027）

復雜耦合結構在汽車、船舶和飛機上廣泛存在，其典型特性是柔性體-剛性體-柔性體的混合連接。在低頻段，有限元方法對這種復雜耦合結構振動響應的預測是準確的，并得到了廣泛的應用［1，2］；在高頻段，由于各子結構模態密度的增加，有限元方法不再適用，統計能量分析成為解決該頻段問題的有效手段；但是在高頻和低頻之間還存在著一個“中頻”段，此頻段內，“剛性體”子結構由于模態密度較低，適用有限元的分析手段；“柔性體”子結構則由于模態密度大，適用于統計能量分析的方法，而單獨的有限元分析或統計能量分析都不適用于該中頻段的振聲分析。

如果僅僅使用有限元方法，存在以下兩個問題：

（1）由于中頻段內柔性體的模態密度大，為了獲取足夠的計算精度必須對其劃分致密的單元，導致計算成本急劇增加。

（2）由于某些不確定性因素，比如材料、加工和邊界條件的微小改變，會導致結構響應的不確定性。有限元方法作為一種確定性的分析方法在這種情況是不適用的。

如果僅僅使用統計能量分析方法進行分析，存在以下兩個問題：

（1）剛性體的模態密度低，不能為統計能量分析提供足夠的模態樣本數。

（2）連接方式不是統計能量分析中所提到的點、線、面的連接，耦合損耗因子經典理論公式無法直接計算。

為了克服上述弊端，能量流（功率流）有限元［3］、混合FE-SEA方法［4］等被應用在中頻振聲問題模擬和預測中。能量流有限元對一維振聲問題預測較為精確，對二位和三維問題的解決尚需深入研究［5］。對于后者，中頻段耦合損耗因子是最為關鍵的參數。但截至目前還沒有一個通用、簡便而有效的方法來獲得該參數。本文在有限元能量流模型的基礎上，得到復雜結構在隨機寬帶激勵下各子系統的頻域和空間平均的能量響應，并將其代入能量平衡方程，進而得到結構的耦合損耗因子。

如圖1所示的復雜耦合結構是兩個柔性體通過剛性體進行耦合，剛性體在兩個柔性體之間被認為是能量傳輸的通道。確定這種間接耦合的耦合損耗因子對整體結構的振聲問題分析是至關重要的，孫進才等［6］利用雙端口法推導了用結構平均導納表示的振動能量比，利用修正的能量平衡方程計算直接和間接耦合損耗因子。他們還利用了經典SEA中計算耦合損耗因子方法計算了多子結構連接的間接和直接耦合損耗因子。李湘南等［7］提出了利用FEA和SEA結合的方法計算非保守耦合連接結構的耦合損耗因子，他們對船舶機械設備連接處的氣泵效應使用帶有阻尼的聯接單元代替，而后計算出通過這個氣泵效應聯接的兩個子系統的能量比，從而獲得了聯結單元處的等效耦合損耗因子。Mace和Shorter［8］在有限元分析的基礎上構建了能量流模型，該模型可以用來獲取中低頻帶內強耦合結構之間的耦合損耗因子，相比較傳統方法其計算效率高，計算精度好。本文正是基于此能量流模型的基礎上對復雜耦合結構的中頻段耦合損耗因子進行的計算和仿真，并通過實驗進行驗證。

圖1 復雜結構示意圖，從左至右分別為子系統1，2，3Fig.1 The complex structure，subsystem 1，2，3 from left to right

1 理論基礎

1.1 能量平衡方程

復雜結構的能量平衡方程可以表示為：

對每個子系統分別進行激勵后可以得到方程：

其中：

〈〉是指當第對第j個子系統進行激勵時子系統i的空間和頻域平均的能量，ηij是此時子系統i對子系統j的耦合損耗因子。當i=j時，為該子系統的內損耗因子。分別對三個系統進行激勵，可以計算得到六個耦合損耗因子和三個內損耗因子等九個未知數。

求解式（2）時，參數〈〉的獲得是關鍵所在。文獻［5，6］利用有限元計算各個有限單元振動速度的均方根，然后與各單元的集總質量求和，得出空間和頻域平均的子系統的能量，文獻［7］利用結構平均導納來計算子系統的能量比，代入能量平衡方程得到耦合損耗因子和內損耗因子。前者存在以下問題：由于要對各節點在每個頻帶步長下的位移或速度進行求和，計算成本大；對于模態密度較大的柔性體，各節點的頻率響應在高模態密度下的不確定性因素增加，導致計算誤差增大。而后者的不足之處在于，對于簡單子系統，其結構導納利用理論公式可以獲得，但是對于復雜子系統就需要通過實驗來獲取。在產品的概念設計階段，通過實驗獲取其結構導納從而得到間接耦合損耗因子的方法面臨很大的困難。而且，在經典統計能量分析中，點、線、面等連接導納是基于模態密度足夠大的假設基礎之上，在中低頻段，這種方法得到的耦合損耗因子是有誤差的。

文獻［8］通過對節點響應的能量表達式進行模態分解，在模態坐標中構建能量流模型，得到總系統及各子系統在隨機寬帶激勵下的能量。本文基于此能量流模型的基礎上，將得到的各子系統的能量代入能量平衡方程，求解得到各子系統的內損耗因子和耦合損耗因子。與文獻［5-7］中相比，并不需要求解每個節點自由度下的位移和每個單元的集中質量，提高了計算效率。

1.2 能量流模型［8］

如圖1所示的模型被分為3個子系統，假定激勵施加在子系統1上，利用能量流模型得到各子系統的能量表達式。過程如下：

（1）通過有限元計算得到系統整體及各子系統的質量及剛度矩陣，得出由節點響應表示的各子系統的能量表達式；

（2）通過整體模態分解，得到模態坐標中各子系統在時諧激勵下的能量響應表達式；

（3）考慮激勵力的功率譜密度，得到各子系統在寬帶隨機激勵下的能量表達式。

1.2.1 節點響應表示的子系統的能量表達式

根據各節點響應得到的整體系統以及子系統3的動能和勢能為：

其中，V，T分別為系統總動能和勢能，K，M為剛度和質量矩陣，u為節點位移響應矩陣。

1.2.2 系統在時諧激勵下的響應

對于子系統n的時域平均的輸入功率、耦合功率以及功率耗散可以由下式給出：

其中Fmn和Umn分別指子系統m與子系統n在耦合坐標系上的內力和位移。

1.2.4 隨機寬帶激勵力下各子系統的響應

系統激勵力及子系統r的頻域平均的能量方程為：

其中Sff為激勵力的功率譜密度，B為分析的頻帶范圍，Ω為頻帶范圍內的分析步長。

2 數值算例

2.1 模型概述

典型的中頻問題由柔性體和剛性體的混合連接。傳統的統計能量分析模型只考慮相鄰結構的功率流傳輸特性，卻忽略了柔性體之間通過剛性體的間接耦合。因此本文采用的數值算例由通過一個鋼梁耦合的兩塊鎂合金板組成，梁為三角鋼梁，結構各子系統的尺寸及材料參數如表1所示。

表1 各子系統尺寸及材料參數Tab.1 The size of each subsystems and the material parameters

梁兩端各有300 mm與鎂合金板通過5個螺栓相連接，螺栓孔位于鎂板窄邊中心線上，距窄邊30 mm處為第一個孔，而后以60 mm等間隔排列。

圖2 實驗對象及 測試設備圖Fig.2 The experiment sample and the test instruments

對如圖（1）所示的中頻結構在MSC.Nastran中進行模態分析，在2 000 Hz內得到其前37階整體剛度矩陣和質量矩陣，而后對三個子系統進行各自的模態分析，得到2 000 Hz內各子系統的模態參數，即各自的質量矩陣和剛度矩陣，代入由Matlab程序內求得A，S及P等矩陣參數，代入式（5）-式（7）中。式中功率譜密度的計算頻帶長范圍為10 Hz-2 000 Hz，計算步長為5Hz，求解 10 Hz-2 000 Hz內的〈Pin〉，〈V3〉和〈T3〉等共995組數據，由于是在整個子系統范圍內求解的〈V3〉和〈T3〉，可以認為其是空間平均的，所以可以認為式（2）中的〈〉 =〈V3〉 +〈T3〉。對三個子系統進行分別激勵，得到了式（2）中的三組〈〉。將此參數代入式（2）中，在Matlab程序中計算得到耦合損耗因子及內損耗因子。

3 實驗驗證

本試驗采用功率輸入法［9］作為結構連接處耦合損耗因子的測量方法。該方法依次對每一個子系統進行激勵，并測量各子系統的振動能量和輸入功率，將測量結果代入能量平衡方程，進行矩陣逆變換求得耦合損耗因子和內損耗因子。實驗驗證以圖示的鎂板-鋼梁-鎂板耦合結構為研究對象，測量其連接處的耦合損耗因子，本文重點關注的是兩塊鎂板之間的間接耦合損耗因子。測量設備采用東方所INV306型智能信號采集處理分析系統。

測量時將實驗對象采用彈性軟繩懸掛，盡量滿足自由邊界條件，以減少邊界條件對能量傳遞的影響。為了能較為準確的模擬隨機寬帶激勵以及能量的空間平均，在三個子系統上分別選擇15點進行激勵，15個測點進行測量。

首先對子系統1進行激勵，對測點1利用力錘進行激勵，同時在測點1處布置加速度傳感器，同時測量子系統2和3上相對應測點的加速度譜。激勵點處的力譜和加速度譜進行互譜后取其虛部，由式（8）［10］在各個步長內進行積分得到頻域平均輸入功率，對不同測點的頻域平均輸入功率進行算術平均后就得到激勵子系統的頻域及空間平均的輸入功率〈〉。

子系統2和3的頻域及空間平均的能量由以下方法得到：首先將對應測點處的加速度譜進行自譜分析，而后通過式（9）進行積分得到頻域平均的能量，計算頻帶范圍仍是10 Hz-2 000 Hz，計算步長為5 Hz。

式中Sαf為加速度譜和力譜的互功率譜，Si，αα為第i個測點的加速度自功率譜。

4 結果及誤差分析

4.1 結果分析

如圖3所示，藍線代表通過有限元能量流方法得到的鎂板與鎂板之間的間接耦合損耗因子；紅色代表通過實驗方法得到的耦合損耗因子。在10 Hz-2 000 Hz的中低頻段內，這種典型的“中頻問題”的耦合損耗因子呈現出明顯的頻域“共振”特性。耦合損耗因子在低頻段要相對高一些，隨著頻率的增加，耦合損耗因子的峰值有逐漸下降的趨勢。通過對剛性梁以及系統整體模態進行分析，發現耦合損耗因子最大處，對應著剛性梁的固有頻率點。

在仿真得出的耦合損耗因子曲線上，最高點對應的是結構第七階固有模態，頻率點為449 Hz（圖4），說明此處兩塊鎂板之間有著最大的耦合損耗因子。通過對剛性梁進行局部模態分析發現，該剛性梁的第七階固有頻率為460 Hz，與此處的449 Hz基本吻合，由此可以得出結論：兩個柔性體之間的耦合損耗因子與其耦合的剛性體的固有特性密切相關。

4.2 誤差分析

（1）輸入功率測量時，由于激勵力的激勵處點和加速度拾取點的位置不能保證完全相同，此為誤差之一。

（2）由于板件為鎂合金材料，測量振動加速度需要利用強力膠水粘貼鐵片以吸附振動傳感器，由于膠水和鐵片的衰減，造成一定的信號測量誤差。

（3）一般情況下，振動傳感器都有一定的頻響誤差，在高頻時響應幅值的誤差最大。但本文考慮的主要是中低頻的信號，故理論分析，此頻響誤差較小。

5 結論

上述研究工作的意義在于，對工程中那些復雜連接的結構件進行振聲特性仿真時，在中頻段面臨著FEM方法計算成本過大且不精確，而SEA方法限于剛性體的模態稀疏，無法提供有效的統計樣本，仿真結果不準確的困難。為此，在考慮利用FEM-SEA混合方法進行該類問題計算時，需要獲取一個至關重要的參數—耦合損耗因子。本研究基于有限元能量流模型。利用能量平衡方程得到了復雜結構在中頻段的耦合損耗因子。通過實驗驗證了該方法的準確性。同時發現，這種復雜結構的耦合損耗因子在頻段內具有“共振”特性，結構的耦合損耗因子由“剛性體”的固有頻率所定。這為以后控制復雜結構在中低頻段的振聲特性提供了指導意義。

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