考慮運動副間隙的機構動態特性研究

白爭鋒，趙 陽，趙志剛

（哈爾濱工業大學 航天學院航天工程系，哈爾濱 150001）

由于裝配、制造誤差和磨損，運動副中的間隙是不可避免的，在機構運行期間，間隙不可避免地存在于各活動鉸接處，活動鉸關節元素存在失去接觸的現象，待再接觸時會產生碰撞。間隙使實際機構與理想機構的運動發生偏離，降低了機構運動精度，而且容易引起沖擊動載荷，影響系統載荷傳遞，以及造成運動副的破壞和失效。隨著精密機械工程和航天工程的發展，對精確預測系統動力學行為的要求越來越迫切，含間隙機構動力學已經成為國內外機械工程、宇航工程界迫切要解決的關鍵問題之一［1－5］。為了研究含間隙機構的動態特性，本文建立了一種改進的間隙非線性接觸碰撞力的混合模型，同時采用修正的庫侖摩擦模型描述間隙處的摩擦作用，并將其嵌入到機械系統動力學分析軟件ADAMS中，以含間隙四連桿機構為研究對象，建立含間隙機構動力學模型并進行動力學仿真，詳細的研究了含間隙機構的動態特性。

1 含間隙機構動力學建模

運動副鉸間間隙會引起相連兩體的內碰撞，在機構運行期間，運動副包含有間隙，體與體之間的連接產生了松動，運動副關節元素存在失去接觸的現象，進入到自由運動狀態，待再接觸時會產生碰撞，因此間隙總是要包含著一定的接觸和碰撞過程。含間隙機械系統動力學建模的關鍵是如何把間隙模型嵌入到系統的動力學模型中，這需要考慮間隙運動副的真實描述和間隙接觸碰撞過程的正確描述。

1.1 運動副間隙的矢量模型

如圖1所示，間隙矢量模型［6，7］通過在平面旋轉鉸中引入一個間隙矢量來表達旋轉鉸的真實潛在行為。在該模型中，間隙矢量代表了旋轉鉸所連接的兩相鄰構件連接點的精確的相對位置，可以有效處理間隙運動副連接點相對位置的變化。

間隙矢量定義在一個局部浮動笛卡爾坐標系中，以軸承的回轉中心為間隙矢量的基準起始點，間隙矢量的方向指向軸和軸承相對運動時的潛在接觸點，該潛在接觸點構成了軸與軸承的相對碰撞點對。間隙矢量的大小被嚴格限制在以軸承回轉中心為圓心且以軸和軸承的徑向尺寸公差為半徑的間隙圓內，因此間隙矢量大小的變化能夠反映構件的加工誤差［6］，并且矢量大小的變化能夠反映間隙運動副元素是否接觸。

對含間隙旋轉鉸，間隙大小用軸承與軸半徑之差來描述，則間隙為：

圖1 運動副間隙矢量模型示意圖Fig.1 Revolute joint with clearance

其中Ri為軸承半徑，Rj為軸半徑。

1.2 運動副間隙的接觸碰撞力模型

旋轉間隙鉸接觸碰撞過程中的接觸碰撞力模型是含間隙機構動力學分析所必須考慮的重要內容之一。本文建立一種改進的間隙非線性連續接觸碰撞力的混合模型，是Lankarani-Nikravesh模型與改進彈性基礎接觸模型的混合。

Lankarani-Nikravesh模型［8］采用通用的 Hertz接觸力表達公式并考慮了阻尼影響且能夠描述碰撞過程中的能量損失。其表達式為：

式中，方程右邊第一項代表碰撞過程的彈性變形力，第二項則描述了碰撞過程中的能量損失行為，式中的K為碰撞體的接觸剛度系數，由Goldsmith通過兩個球形體的碰撞實驗測得，其表達式為：

其中v和E分別表示泊松比和楊氏模量，Ri和Rj分別為兩球的半徑。

式（2）中的系數D為碰撞過程的阻尼系數，為相對碰撞速度，D的表達式為［8，9］：

其中ce為恢復系數；（－）為撞擊點的初始相對速度。

由于式（3）阻尼系數的推導過程中假設恢復系數ce≈1，所以得到的表達式只能表示大的恢復系數，而無法表示小的恢復系數，文獻［10］對此作了改進，得到了修正后接觸阻尼與恢復系數之間的關系如式（4），該阻尼系數不受碰撞恢復系數的限制。

由于Hertz接觸理論是基于凸面與凸面的接觸問題推導出來的，并且在處理大間隙非協調接觸中是可以得到令人滿意的結果的，然而實際旋轉鉸中間隙很小，并且是凸面與凹面的接觸，尤其在小間隙軸孔接觸時，得到的結果往往是不精確的。而且在以往的大部分文獻中，碰撞接觸剛度和阻尼系數都是根據兩個球形體碰撞情況簡單計算甚至根據經驗取一個常值，這和實際情況是不相符的［11－13］。文獻［11］采用了Winkler彈性基礎模型以及Hertz的二次壓力分布假設，提出新的適合描述圓柱間隙鉸的載荷－位移關系，得到了基于改進彈性基礎模型的圓柱間隙鉸載荷FN與變形量δ的關系如下：

其中式（5）中E*為復合彈性模量，表達式為：

該模型不僅能應用于有較大間隙情況的接觸問題，也能應用于有較小間隙情況的接觸分析，拓展了間隙接觸分析。通過與有限元數值計算結果對比，發現該簡化模型比目前通常采用的Hertz模型具有更好的精度及更大的適用范圍［11］。

本文在其基礎上，提出了非線性剛度系數，通過求解基于改進彈性基礎接觸模型的間隙鉸載荷－位移關系曲線在某瞬時碰撞點附近的曲線斜率得到［14］，由式（5）進一步可以得到非線性剛度系數Kn為：

間隙接觸碰撞力模型的改進主要是在彈性接觸力基礎上增加某種形式的阻尼力，采用文獻［15］中的研究思想，以及結合基于改進彈性基礎模型的間隙鉸接觸碰撞力表達式，對式（4）阻尼形式進一步改進，在阻尼力模型中引入基于改進彈性基礎接觸模型推導的非線性剛度系數與Lankarani-Nikravesh模型剛度系數之比，則阻尼系數如下：

在以上研究基礎上，本文采借鑒文獻［15］中的研究思想，建立Lankarani-Nikravesh模型與基于改進彈性基礎接觸模型的混合模型，采用Lankarani-Nikravesh模型的形式，模型中的剛度系數應用基于改進彈性基礎接觸模型推導的非線性剛度系數Kn，以及在Lankarani-Nikravesh模型的阻尼力中引入改進彈性基礎接觸模型與Lankarani-Nikravesh模型剛度系數之比，從而混合模型碰撞過程中的阻尼系數為Dmod。因此運動副間隙接觸碰撞力混合模型的表達式為：

1.3 運動副間隙的摩擦力模型

運動副間隙切向接觸特性可以通過切向摩擦力模型來描述，本文考慮運動副間隙摩擦為干摩擦，不考慮潤滑。最為著名的摩擦力模型是Coulomb摩擦模型，該模型通常用于描述沖擊或接觸碰撞過程中的摩擦行為。為了能夠更加準確描述軸與軸承間的干摩擦行為，以及相對低速情況下出現的粘質和微滑現象，避免數值計算中速度方向變化時出現摩擦力突變，本文采用修正的Coulomb摩擦力模型，在該模型中提出了動態摩擦系數的概念，即摩擦系數不是一個常數，而是與切向滑動速度有關，是切向滑動速度的函數，切向摩擦力計算公式為：

在該模型中提出了動態摩擦系數的概念，即摩擦系數不是一個常數，而是與切向滑動速度有關，是切向滑動速度的函數，其公式表達為：

其中νt表示軸與軸承在碰撞點的相對滑動速度，即切向方向的速度分量，μd為滑動摩擦系數，μs為靜摩擦系數，νs為靜摩擦臨界速度，νd為最大動摩擦臨界速度。在區間［0，νd］采用heaviside階躍函數的三次多項式逼近。

動態摩擦系數的函數曲線如圖2。

2 含間隙機構動態特性仿真分析

2.1 機構仿真參數

基于上述含間隙運動副的間隙矢量模型和間隙接觸碰撞力的混合模型，以及修正的摩擦力模型，將其嵌入ADAMS軟件中，以一四連桿機構為對象，建立含間隙四連桿機構動力學模型并進行動力學仿真分析，研究含間隙機構動態特性。

圖2 摩擦系數隨滑動速度的變化曲線Fig.2 Coefficient of friction vs.slip velocity

圖3 含間隙四連桿機構Fig.3 4 － bar mechanism with joint clearance

四連桿機構如圖3所示，連桿與隨動桿的轉動鉸B存在間隙。四連桿機構的參數如下：曲柄l1=550 mm，連桿l2=360 mm，隨動桿l3=640 mm，支架l4=210 mm，m1=3.625 3 kg，J1=0.102 143 kg·m2，m2=2.439 4 kg，J2=3.142 8 × 10－2kg·m2，m3=4.189 4 kg，J3=0.157 96 kg·m2，間隙大小為 0.5 mm，摩擦系數為0.1，恢復系數為 0.9，楊氏模量為 207 GPa，曲柄轉速為600 r/min。

2.2 仿真結果與分析

為了研究運動副間隙對機構運動特性的影響，取間隙為c=0.5 mm，對含間隙機構與理想不含間隙機構進行動力學仿真，隨動桿的動力學特性結果如圖4。

由圖4（a）可知，含間隙時隨動桿的角位移與理想鉸時隨動桿的角位移曲線幾乎完全重合，這表明間隙對機構的角位移基本沒有影響。由圖4（b）可知，考慮鉸間間隙時，隨動桿的角速度圍繞理想無間隙隨動桿角速度出現小的波動，但整體趨勢相同，說明鉸間間隙對隨動桿的角速度影響較小。然而，由圖4（c）可知，理想機構隨動桿角加速度曲線很光滑，但考慮鉸間間隙時，角加速度出現明顯的波動，存在許多峰值，并且幅值比理想機構增大，可知鉸間間隙對隨動桿的角加速度有較大的影響，對機構的運動精度產生較大的影響。分析可知由于軸與軸套之間存在間隙，因此產生了間隙碰撞力，是一種局部效應，每次碰撞時間極短，因此對角位移影響不大，但對角加速度影響較明顯。間隙碰撞力如圖5所示，由于間隙的存在，產生了脈沖式的間隙碰撞力，碰撞力幅值較大并且體現出高頻振蕩的特點。維持曲柄恒速轉動所需的驅動力矩也體現出相同的特點，如圖6所示。

圖4 含間隙機構動態特性Fig.4 Dynamic Characteristics of Mechanism with joint clearance

圖5 關節碰撞力Fig.5 Contact force in the joint

將本文改進的間隙非線性連續接觸碰撞力模型與基于Lankarani-Nikravesh模型進行含間隙機構動態特性仿真結果進行比較，基于Lankarani-Nikravesh模型的仿真結果如圖7所示。

圖6 維持曲柄恒轉速所需的驅動力矩Fig.6 Crank moment required to maintain the angular velocity constant

圖7 Lankarani-Nikravesh模型仿真結果Fig.7 Simulation results of Lankarani-Nikravesh model

比較圖7與圖4（c）、圖5可以看出，基于Lankarani-Nikravesh模型計算含間隙機構動態特性時，機構穩態工作時，加速度和碰撞力振蕩的更厲害，振蕩幅值更大。

進一步基于本文模型研究不同間隙大小對機構動態特性的影響，取間隙大小分別為0.25 mm，0.1 mm，0.01 mm進行動力學仿真分析，隨動桿加速度曲線的仿真結果如圖8。

圖8 不同大小間隙機構動態特性Fig.8 Dynamic Characteristics of Mechanism with different clearance size

由分析圖8可知，不同間隙大小時，隨動桿的動態特性差別很大。具體表現為：間隙越小，對隨動桿角加速度的影響降低，波動幅值變小，因而間隙越小，鉸間間隙碰撞力波動峰值越小。因此當鉸間間隙減小時，機構動態行為曲線變得更加光滑，表現為有較小的波動峰值，并且間隙越小，系統的動力學特性更趨向于理想機構。

3 結論

由于裝配、制造誤差和磨損，運動副中的間隙是不可避免的，在機構運行期間，間隙不可避免地存在于各活動鉸接處，間隙使實際機構與理想機構的運動發生偏離，降低了機構運動精度。為了討論間隙對機構動力學特性的影響，本文建立了一種改進的間隙非線性連續接觸碰撞力的混合模型，并采用修正的庫侖摩擦模型描述間隙的摩擦作用，并將其嵌入到機械系統動力學分析軟件ADAMS中，以含間隙四連桿機構為研究對象，建立含間隙機構動力學模型并進行動力學仿真，詳細的研究了含間隙機構的動態特性。研究結果表明：

（1）間隙的存在使得機構的動態特性發生變化，具體表現為：對機構的角位移沒有影響；對機構的角速度有較小的影響；對機構的角加速度有較大的影響，角加速度出現明顯的波動，并且幅值比理想機構增大；因此間隙對機構的運動穩定性影響較大，也說明角加速度對間隙比較敏感。間隙的存在會增大運動副關節碰撞力，產生脈沖式的接觸碰撞力，碰撞力呈現出高頻振蕩的特點；

（2）間隙減小時，機構動態行為曲線變得更加光滑，表現為有較小的波動峰值，并且間隙越小，系統的動力學特性更趨向于理想機構。

（3）考慮運動副間隙的機構更加真實的反映了機構的動力學特性，能夠準確的預測含間隙機構的動力學特性，為研究機構的運動精度和機構設計提供了基礎。

（4）本文建立的改進的間隙非線性連續接觸碰撞力的混合模型能夠有效的描述含間隙機構的動態特性，并且計算效率較高，拓展了間隙鉸接觸碰撞動力學建模與含間隙機構動力學特性的研究，有利于工程實際應用。

［1］Flores P，Ambrosio J，Claro P.Dynamics Analysis for Planar Multibody Mechanical Systems with Lubricated Joints［J］.Multibody System Dynamics，2004，12：47 －74.

［2］Bauchau O A，Rodriguez J.Modeling of Joints with Clearance in Flexible Multi-body System ［J］.International Journal of Solids and Structures，2002，34：41 －63.

［3］Garcia Oeden J C.Analysis of clearance in multibody system［J］.Multibody System Dynamics，2005，13：401 －420.

［4］白爭鋒，趙 陽，田 浩.含鉸間間隙太陽帆板展開動力學仿真［J］.哈爾濱工業大學學報，2009，41（3）：11－14.

［5］劉才山，陳 濱.多柔體系統動力學碰撞研究中的若干基本問題［J］.振動與沖擊，1999，18（3）：5 －12.

［6］時 兵，金 燁.面向虛擬樣機的機構間隙旋轉鉸建模與動力學仿真［J］.機械工程學報，2009，45（4）：299－303.

［7］ Flores P，Ambrosio J，Claro H C P，et al.A study on dynamics ofmechanicalsystems including joints with clearance and lubrication ［J］.Mechanism and Machine Theory，2006，41：247－261.

［8］Lankarani H M，Nikravesh P E.A contact force model with hysteresis damping for impact analysis of multibody systems［J］.Journal of Mechanical Design.1990，112：369 －376.

［9］ Flores P，Ambrosio J，Claro J C P，et al.Influence of the contact impact force model on the dynamic response of multibody systems［J］.Proceedings of the Institution of MechanicalEngineers，PartK： JournalofMulti-body Dynamics，2006，220（1）：21－34.

［10］秦志英，陸啟韶.基于恢復系數的碰撞過程模型分析［J］.動力學與控制學報，2006，4（4）：294 －298.

［11］ Liu C S，Zhang K，Yang R.The FEM analysis and approximate model for cylindrical joints with clearances［J］.Mechanism and Machine Theory，2007，42：183 －197.

［12］陳鹿民，閻紹澤，郭 峰，等.多柔體系統動力學中的間隙接觸內碰撞［J］.精密制造與自動化，2003，（增刊）：65－67.

［13］ Liu C S，Zhang K，Yang L.Normal force-displacement relationship of spherical joints with clearances［J］.Journal of Computational and Nonlinear Dynamics，Transactions of the ASME，2006，（1）：160 －167.

［14］ Ravn P.A continuous analysis method for planar multibody systems with jointclearance［J］. Multibody System Dynamics，1998，2：1 －24.

［15］ Koshy C S.Characterization of mechanical systems with real Joints and flexible links ［D］. Wichita State University，2006.