函數零點問題初探

●胡東芳 (浦江中學 浙江浦江 322200)

函數零點問題初探

●胡東芳 (浦江中學 浙江浦江 322200)

函數零點問題可以和二次函數根的分布、三次函數的圖像或極值以及單調性等進行“交匯”編制試題．在平時教學過程中，應重視連續函數在某個區間上存在零點的判定方法，能利用函數的圖像和性質判斷函數零點個數，重視數形結合、分類討論和轉化與化歸的數學思想方法的滲透．筆者就函數零點問題作了以下探究，供參考．

1 概念回顧

對于函數y=f(x)，使f(x)=0的實數x叫做函數y=f(x)的零點．因此零點并非是一個點，而是使得f(x)=0的實數x的值．方程f(x)=0有實根?函數y=f(x)的圖像與x軸有交點?函數y=f(x)有零點．

2 實戰演練

類型1求參數范圍問題

例1已知a是實數，函數f(x)=2ax2+2x－3－a．如果函數 y=f(x)在區間［－1，1］上有零點，求a的取值范圍．

分析本題屬于二次函數根的分布問題，因此可按照零點的個數來進行分類討論．亦可轉化為二次函數圖像在［－1，1］上與x軸的交點個數問題．

當f(1)·f(－1)≤0，即1≤a≤5時，y=f(x)也恰有1個零點在［－1，1］上．

當y=f(x)在［－1，1］上有2個零點時，由題意可得

(1)當0＜t＜1時，求函數f(x)的單調區間、最大值和最小值;

(2)求證:對任意的 t＞ －1，總存在 x0∈(－1，t)，使得x=x0是關于x的方程f'(x)=g(t)的解，并就t的取值情況討論這樣的x0的個數．

綜上所述，當－1＜t≤2或 t≥5時，f'(x)=g(t)在(－1，t)上有 1個解;當 2＜t＜5時，f'(x)=g(t)在( －1，t)上有2個解．

故對于任意的t＞ －1，總存在x0∈( －1，t)，使得x=x0是關于x的方程f'(x)=g(t)的解．

評析本題綜合性強，變量x的范圍涉及參數t，可按照零點的個數進行分類討論．本題可謂是將分類討論的數學思想體現得淋漓盡致．

類型3三次函數的零點問題

借助三次函數的性質可知，當三次函數不存在極值，或極大值小于0，或極小值大于0時，三次函數有唯一零點;當三次函數的極大值或極小值中有一者等于0時，三次函數有2個零點;當三次函數的極大值大于0且極小值小于0時，三次函數有3個零點．

綜上所述，a=1．

評析本題與例2的共同點是零點所在的區間還含有參數，所不同的是本題考查的最高次為三次．結合函數與導數的知識，是高考的熱點問題．

類型4二次函數與其他函數結合的零點問題

例4已知函數f(x)=(x2+ax+a)·ex(a∈R)．

(1)求f(x)的單調區間與極值;

(2)設 g(x)=f(x) －t(t∈R，a＞2)，若函數g(x)在［－3，+∞)上有3個零點，求實數t的取值范圍．

解(1) f'(x)=ex(x+2)(x+a)．

①若a=2，則f'(x)≥0，因此f(x)在R 上單調遞增，無極值;

②若a＞2，則f(x)在(－∞，－a)和(－2，+∞)上單調遞增，在(－a，－2)上單調遞減，于是f(x)的極大值為 f(－a)=ae－a，極小值為 f(－2)=(4 －a)e－2;

③若a＜2，則f(x)在(－∞，－2)和(－a，+∞)上單調遞增，在(－2，－a)上單調遞減，因此f(x)的極大值為(4 －a)e－2，極小值為 f( －a)=ae－a．

3 總結

在新課程改革背景下，函數零點問題以新增知識的身份出現．解決函數零點問題的基本方法是按照零點個數進行分類討論或分離變量，但涉及到具體問題時2種解法又各有所長．以上諸題均是筆者在教學實踐中親歷的題目，希望引起同行的關注．