對(duì)2類創(chuàng)新導(dǎo)數(shù)題的思考

●李洪洋 (東海高級(jí)中學(xué) 江蘇東海 222300)

對(duì)2類創(chuàng)新導(dǎo)數(shù)題的思考

●李洪洋 (東海高級(jí)中學(xué) 江蘇東海 222300)

筆者針對(duì)2類創(chuàng)新型導(dǎo)數(shù)題進(jìn)行了探索研究，現(xiàn)整理如下，以供參考．

創(chuàng)新類型1隔離直線

已知函數(shù)f(x)和g(x)，若存在常數(shù)k和b，使得函數(shù)f(x)和g(x)對(duì)其定義域內(nèi)的任意實(shí)數(shù)x分別滿足f(x)≥kx+b和g(x)≤kx+b，則稱直線l:y=kx+b為函數(shù)f(x)和g(x)的“隔離直線”．

問題思考1隔離直線“隔”在何處?如何尋求“隔點(diǎn)”?

根據(jù)“隔離直線”的定義，對(duì)其定義域內(nèi)的任意實(shí)數(shù)x，f(x)≥kx+b和g(x)≤kx+b同時(shí)恒成立，結(jié)合函數(shù)圖像知，曲線f(x)和g(x)上的點(diǎn)完全分布在直線y=kx+b的2側(cè)．因此，若2個(gè)函數(shù)圖像存在公共點(diǎn)，則該公共點(diǎn)就應(yīng)成為解題的關(guān)鍵．

問題思考2如何突破此類創(chuàng)新題?

根據(jù)題意，函數(shù)f(x)和g(x)對(duì)其定義域內(nèi)的任意實(shí)數(shù)x分別滿足f(x)≥kx+b和g(x)≤kx+b，此問題即為2個(gè)恒成立問題，因此只要找出隔離直線，再利用導(dǎo)數(shù)解決恒成立的相關(guān)問題．

問題思考3如何利用導(dǎo)數(shù)解決恒成立問題?

如果問題中給出了2個(gè)函數(shù)間的大小關(guān)系，即恒成立，那么可采用作差構(gòu)造新函數(shù)，然后再采用導(dǎo)數(shù)法(用導(dǎo)數(shù)法便于判斷新函數(shù)的單調(diào)性)證明．

思路1解出公共點(diǎn)，設(shè)出過該點(diǎn)的直線方程，根據(jù)滿足題意的條件求出直線方程．

例1設(shè)函數(shù)f(x)=x2(a ＞0)，g(x)=elnx．試探究f(x)與g(x)是否存在隔離直線?若存在，求出隔離直線的方程;若不存在，請(qǐng)說明理由．

分析求出函數(shù)f(x)與g(x)圖像的公共點(diǎn)，并設(shè)出過該公共點(diǎn)的直線的點(diǎn)斜式方程，根據(jù)題意將問題歸結(jié)為不等式恒成立問題，利用單調(diào)性(導(dǎo)數(shù)法判定)求解并證明．

解設(shè)F(x)=f(x)－g(x)=x2－elnx，則

評(píng)注隔離直線的解法是首先找出2個(gè)函數(shù)的公共點(diǎn)，采用構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性尋求函數(shù)的零點(diǎn)，得出公共點(diǎn)的坐標(biāo);其次將過公共點(diǎn)的直線設(shè)成點(diǎn)斜式，代入已知條件，能同時(shí)使2個(gè)不等式恒成立的直線，即為所求的隔離直線．

思路2求出過兩曲線公共點(diǎn)處的切線，則該切線即為隔離直線．

例2設(shè)函數(shù)f(x)=x2，g(x)=alnx+bx(a＞0)．

(1)若 f(1)=g(1)，f'(1)=g'(1)，求 F(x)=f(x)－g(x)的極小值．

(2)在第(1)小題的結(jié)論下，是否存在實(shí)常數(shù)k和m，使得f(x)≥kx+m和g(x)≤kx+m成立?若存在，求出k和m的值;若不存在，請(qǐng)說明理由．

分析求出2個(gè)函數(shù)圖像的公共點(diǎn)，并求出在該公共點(diǎn)處2個(gè)函數(shù)的切線，若這2個(gè)函數(shù)存在隔離直線，則該切線即為所求．

設(shè)h(x)=lnx+x－(2x－1)，即h(x)=lnxx+1，易知其在(0，1)上遞增，在(1，+∞)上遞減，于是h(x)=lnx+x－(2x－1)的最大值為h(1)=0，即lnx+x≤2x－1恒成立．故存在這樣的k和m，且k=2，m=－1滿足題意．

評(píng)注如果2個(gè)函數(shù)存在隔離直線，那么其思考步驟為:①求出2個(gè)函數(shù)圖像的公共點(diǎn);②求出過公共點(diǎn)處曲線的切線;③證明該切線即為隔離直線．

創(chuàng)新類型2相依切線

對(duì)于函數(shù)圖像上不同的2個(gè)點(diǎn) A(x1，y1)，B(x2，y2)，如果在函數(shù)圖像上存在點(diǎn) M(x0，y0)(其中x0∈(x1，x2))，使得點(diǎn) M 處的切線 l∥AB，則稱AB存在“相依切線”．特別地，當(dāng)x=時(shí)，又0稱AB存在“中值相依切線”．

問題思考如何解決直線的“相依切線”問題?

求出直線AB的斜率，利用導(dǎo)數(shù)求出A，B兩點(diǎn)間曲線切線的斜率，令兩斜率相等，建立相等關(guān)系，將問題歸結(jié)為方程是否存在根的問題．此時(shí)可構(gòu)造函數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)是否存在零點(diǎn)，可利用函數(shù)單調(diào)性求解，而函數(shù)單調(diào)性的判斷，最好的工具是導(dǎo)數(shù)．

(1)試用含有a的式子表示b，并求f(x)單調(diào)區(qū)間．

(2)試問:在函數(shù)f(x)上是否存在點(diǎn)A，B，使得它存在“中值相依切線”，若存在，求出A，B的坐標(biāo);若不存在，請(qǐng)說明理由．

分析第(2)小題可令直線AB的斜率等于曲線在A，B中點(diǎn)x0處切線的斜率，利用導(dǎo)數(shù)法判定該方程是否有解．

又 a＞0，所以 x＞1，即 f(x)在(1，+∞)上單調(diào)遞減．

綜上所述，f(x)在(0，1)上單調(diào)遞增，在(1，+∞)上單調(diào)遞減．

(2)在函數(shù)f(x)上不存在2個(gè)點(diǎn)A，B，使得它存在“中值相依切線”．

假設(shè)存在點(diǎn) A(x1，y1)，B(x2，y2)．不妨設(shè) 0 ＜x1＜ x2，則

以上2類問題都用到了新穎、別致的字眼，看似陌生，但經(jīng)過轉(zhuǎn)化，都可歸結(jié)為熟悉的問題．因此，只要我們相信一個(gè)原則:千變?nèi)f變，方法不變．創(chuàng)新題只是對(duì)以前問題稍加“化妝”，以一個(gè)嶄新面目出現(xiàn)，只要揭開其“面紗”，便可識(shí)別“真面目”．當(dāng)然能做到這一點(diǎn)，首先從心理上要能夠超越自我，勇于去接受新知并探求新知．