Radon不等式的等價形式及其應(yīng)用

●李群芳 趙煥光 (溫州大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 浙江溫州 325035)

Radon不等式的等價形式及其應(yīng)用

●李群芳 趙煥光 (溫州大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 浙江溫州 325035)

Radon不等式［1］也稱權(quán)方不等式，是由捷克籍奧地利數(shù)學(xué)家Jahann Radon在1952年首先建立的．實際上，Radon不等式就是著名的H?lder不等式［2］的一種等價形式，該不等式在不等式證明中有著廣泛的應(yīng)用．本文第一部分利用凸函數(shù)f(x)=x1+m(其中m＞0)的Jensen不等式［2］給出3種應(yīng)用非常方便的Radon不等式的等價形式，并通過舉例說明它們在分式無理不等式證明中的巧妙應(yīng)用;第二部分利用Radon不等式證明一個能統(tǒng)一許多不等式的權(quán)方和不等式．

1 Radon不等式的等價形式

命題 1若 ai＞0，bi＞0(i=1，2，…，n)，m ＞0，則下述不等式成立:

2 Radon不等式在分式無理不等式證明中的應(yīng)用

注在文獻［3］中，利用切線方程證明了例3的(1)，(2)，(3)，其過程非常復(fù)雜．從上述證題過程可以看出，運用Radon不等式證明分式無理不等式具有一定的優(yōu)越性．

3 利用Radon不等式證明權(quán)方和平均不等式

注顯然，文獻［4］的主要結(jié)果定理1是權(quán)方和平均不等式的特例，文獻［5］與文獻［6］的部分結(jié)果也是權(quán)方和不等式的特例．

下面再舉例說明權(quán)方和不等式的其他應(yīng)用．

［1］ 劉培杰．?dāng)?shù)學(xué)奧林匹克試題背景研究［M］．上海:上海教育出版社，2006．

［2］ 匡繼昌．常用不等式［M］．濟南:山東科學(xué)技術(shù)出版社，2004．

［3］ 張宏．利用切線方程證明不等式［J］．中等數(shù)學(xué)，2009(4):6－12．

［4］ 季明銀．一類不等式的推廣［J］．?dāng)?shù)學(xué)通報，2008(1):60－61．

［5］ 羅邦華．問題1624的別證及推廣［J］．?dāng)?shù)學(xué)通報，2008(5):50．

［6］ 鐘建新．問題1748的推廣及應(yīng)用［J］．?dāng)?shù)學(xué)通報，2009(4):45－46．