參數(shù)不等式的求解策略芻議

●仲濟(jì)齋 (連云港高等師范?？茖W(xué)校數(shù)學(xué)系 江蘇連云港 222026)

參數(shù)不等式的求解策略芻議

●仲濟(jì)齋 (連云港高等師范?？茖W(xué)校數(shù)學(xué)系 江蘇連云港 222026)

含參數(shù)的不等式是高中數(shù)學(xué)中比較重要的內(nèi)容．由于它的解法較多，技巧性也比較強(qiáng)，因此學(xué)生很難掌握，是學(xué)習(xí)的難點(diǎn)之一．因此掌握一些解題策略就顯得尤其重要，下面通過(guò)舉例來(lái)說(shuō)明幾種解題策略．

1 化繁為簡(jiǎn)

當(dāng)面臨一道結(jié)構(gòu)比較復(fù)雜、難以入手的題目時(shí)，要設(shè)法把它轉(zhuǎn)化為比較簡(jiǎn)單、熟悉的且易于解決的問(wèn)題．它遵循的原則就是將超越式化為代數(shù)式、無(wú)理式化為有理式、分式化為整式，同時(shí)高次向低次進(jìn)行轉(zhuǎn)化，從而達(dá)到以簡(jiǎn)馭繁的目的．

例1若p∈R且|p|＜2，不等式(log2x)2+plog2x+1＞2log2x+p恒成立，求實(shí)數(shù)x的取值范圍．

分析 若把不等式看成是關(guān)于log2x的一元二次不等式，則問(wèn)題很難處理．如將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為關(guān)于p的一次不等式，問(wèn)題反而容易解決．

2 整體與局部

有些問(wèn)題從局部分析難以入手，若跳出“局部”著眼“整體”，通過(guò)尋找局部之間的內(nèi)在聯(lián)系，則常?？墒箚?wèn)題“柳暗花明”．

例2已知1+3x+(a－a2)9x＞0在x∈(－∞，－1)上恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

分析若直接把a(bǔ)分離出來(lái)，則有點(diǎn)棘手．但

若把a(bǔ)－a2看作一個(gè)整體，則可迅速獲解．

3 分合并用

分與合是一種辨證關(guān)系，在解題中以分求合，以合制分，分合并用．分類是分合并用解題策略的一種具體體現(xiàn)，就是把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一系列彼此互斥的目標(biāo)，然后逐一地解決這些問(wèn)題，從而實(shí)現(xiàn)原問(wèn)題的解決．例如，一些不等式含有參數(shù)問(wèn)題的解與參數(shù)的變化有關(guān)，此時(shí)可根據(jù)參數(shù)的不同取值情況進(jìn)行分類討論．

4 等價(jià)轉(zhuǎn)換

等價(jià)轉(zhuǎn)換就是利用不等式的同解變形進(jìn)行解題，譬如利用命題

5 數(shù)形結(jié)合

華羅庚教授曾經(jīng)說(shuō)過(guò):“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形缺數(shù)時(shí)難入微;數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬(wàn)事休”．美國(guó)數(shù)學(xué)家斯蒂恩說(shuō):“如果一個(gè)特定的問(wèn)題可以被轉(zhuǎn)化為一個(gè)圖形，那么思想就整體地把握了問(wèn)題，并且能創(chuàng)造地思索問(wèn)題的解法”．

6 正難則反

解題一般總是從正面入手，但有些數(shù)學(xué)問(wèn)題如果從正面入手求解繁瑣、難度較大，那么不妨打破常規(guī)實(shí)行正難則反策略，轉(zhuǎn)化為考慮問(wèn)題的相反方面．這樣往往能絕處逢生，順利解題．

要比解原不等式簡(jiǎn)潔得多．為此可用反證法求解．

掌握以上幾種思維轉(zhuǎn)化的策略，有利于增強(qiáng)學(xué)生洞察問(wèn)題、處理問(wèn)題的能力．應(yīng)當(dāng)注意的是它們之間并不是孤立的，往往需要相互滲透、共同作用，這樣才能解決問(wèn)題．