小構造大作用

●朱達峰 (鄞州中學 浙江寧波 315101)

小構造大作用

●朱達峰 (鄞州中學 浙江寧波 315101)

美國數學家波利亞在擬定解題計劃時，特別強調:“假如你找不出已知和未知的關系，就考慮輔助條件”．這里所指的輔助條件，就包括構造思想．

構造法是構造思想的重要體現，就是在直接求解某一問題有困難時，根據已知條件，設計出“搭橋”、“鋪墊”性方案，從而使問題獲解;或把原問題轉化成新問題去解決．在高中數學中，許多問題的解決都需要通過這種“搭橋”、“鋪墊”．下面舉例說明，供參考．

1 構造函數

就是構造常見的函數，通過利用函數的奇偶性、單調性、周期性、對稱性等性質解決難以解決的數學問題．

2 構造向量

就是構造與題目相關的向量，利用向量模、夾角、向量不等式、向量的代數和幾何上的特性等有關知識來解決問題．

3 構造圖形

就是構造與題目相關的幾何圖形，這個幾何圖形可以是平面圖形或空間圖形，通過利用幾何圖形的幾何特性(平行或垂直等)、圖形中的長度或角度關系等來解決相關的問題．

解 如圖2，設點 A，B在x軸上的射影分別為M，N，延長MA到點 A'，延長 NB到點B'，使得

AA'=MA，BB'=NB，從而

圖2

4 構造整式

就是構造相應的整式，通過搭建整式這個“橋梁”，以達到簡化、解決問題的目的．

5 構造方程

就是構造與題目相應的方程，把要解決的問題轉化成求解方程，通過對方程的研究達到解決問題的目的．

例5在正四面體ABCD中，動點M在△ABC內，且點M到平面BCD的距離與到點A的距離相等，則動點M的軌跡是 ( )

A．橢圓的一部分 B．雙曲線的一部分

C．拋物線的一部分 D．一條線段

解如圖3所示，在平面ABC內建立直角坐標系．設動點M(x，y)，正△ABC的邊長為 2a，則A(0，a)．過點M作平面BCD的垂線，垂足為N，再作 ME⊥BC，連結NE，則∠MEN即為二面角A-BC-D的平面角，且sin∠MEN=．由已知可得

圖3

6 構造模型

就是構造與題目相關的熟悉的數學模型，通過對模型的研究來解決相應的數學問題．

運用構造法解題，是一種創造性的思維活動．它需要解題者根據所研究問題的結構特征，運用類比、聯想等方法，靈活地將問題遷移到新問題中去，因此思維要求比較高．經常有意識地進行這方面的訓練，能增強學生的解題能力，同時還可以強化應用思想與方法去解決數學問題的意識．