試論初中數(shù)學(xué)概念的有效性教學(xué)

●王建利 (店口鎮(zhèn)第二初級(jí)中學(xué) 浙江諸暨 311835)

試論初中數(shù)學(xué)概念的有效性教學(xué)

●王建利 (店口鎮(zhèn)第二初級(jí)中學(xué) 浙江諸暨 311835)

數(shù)學(xué)概念是人們對(duì)數(shù)學(xué)現(xiàn)象和過(guò)程的認(rèn)識(shí)在一定階段上的總結(jié)，是以精煉的思維形式反映數(shù)學(xué)對(duì)象的本質(zhì)屬性．面對(duì)數(shù)學(xué)概念高度的抽象性、邏輯性和嚴(yán)密性，只有讓學(xué)生準(zhǔn)確理解知識(shí)的形成發(fā)展過(guò)程，使他們?cè)谥R(shí)的遷移過(guò)程中正確地掌握數(shù)學(xué)概念．然而在日常教學(xué)活動(dòng)中，“一個(gè)定義，三項(xiàng)注意”式的概念教學(xué)方式依然普遍存在．教師往往在快速拋出一個(gè)新概念后便通過(guò)大量的例子進(jìn)行辨析，讓學(xué)生在不斷反復(fù)中指正定義．這種重結(jié)果、輕過(guò)程的教學(xué)方式常常導(dǎo)致課堂教學(xué)氣氛沉悶，學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念覺得枯燥乏味甚至一知半解．?dāng)?shù)學(xué)概念生來(lái)就那么枯燥嗎?數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史告訴我們，每一個(gè)重要數(shù)學(xué)概念的形成和發(fā)展，都有著豐富的歷程．

筆者認(rèn)為，在概念教學(xué)中，教師首先要更新教學(xué)觀念，以育人為出發(fā)點(diǎn)，從激發(fā)學(xué)生興趣入手，培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)能力．教師要善于從學(xué)生的實(shí)際生活和己有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，通過(guò)創(chuàng)設(shè)問題情景，揭示概念提出的背景，演示其抽象、概括的過(guò)程．從學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律出發(fā)，精心設(shè)問，通過(guò)問題引導(dǎo)學(xué)生對(duì)概念的領(lǐng)悟．在教與學(xué)的過(guò)程中，通過(guò)問題引領(lǐng)，增加學(xué)生的參與機(jī)會(huì)，強(qiáng)化參與意識(shí)，提高參與質(zhì)量，使學(xué)生由被動(dòng)接受變?yōu)橹鲃?dòng)探索，在對(duì)知識(shí)的探究過(guò)程中加強(qiáng)學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解，培養(yǎng)他們主動(dòng)獲取知識(shí)的能力．

1 從生活經(jīng)驗(yàn)中形成概念

數(shù)學(xué)概念作為具有概括性、抽象性、精確性等特征的思維形式，在學(xué)習(xí)中，無(wú)論是概念形成的方式，還是概念同化的方式，都需要以學(xué)生頭腦中已有的某些具體的、特殊的對(duì)象作依托，使之能借助經(jīng)驗(yàn)事實(shí)，變得容易理解．

因此，在教學(xué)中應(yīng)通過(guò)創(chuàng)設(shè)情境，喚起學(xué)生的興趣．在現(xiàn)實(shí)問題情境中，通過(guò)親身體驗(yàn)，在感性認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)上，借助分析、比較、綜合、抽象、概括等思維活動(dòng)，使學(xué)生逐步擺脫無(wú)意識(shí)、粗糙、膚淺的自發(fā)性概念，向科學(xué)概念發(fā)展，達(dá)到理性認(rèn)識(shí)的飛躍．例如數(shù)軸概念的教學(xué)，課前可讓學(xué)生動(dòng)手做一把有刻度的直尺，課堂上讓學(xué)生通過(guò)對(duì)各自制作的直尺加以比較，發(fā)現(xiàn)直尺的長(zhǎng)短、寬窄以及材料等都無(wú)關(guān)緊要，最主要的是要把尺做得直(至少是有刻度的一邊要做得直)，然后確定一個(gè)刻度為起點(diǎn)(零點(diǎn))，接著按照確定的方向依次標(biāo)上刻度，寫上相應(yīng)的數(shù)字．然后，教師在黑板上畫出一把舍去了寬窄的“直尺”．在此基礎(chǔ)上，教師又出示沒有標(biāo)上刻度的溫度表(或蓋住刻度)，問學(xué)生如何給它標(biāo)上刻度．學(xué)生發(fā)現(xiàn)，同樣要在同一直線上確定零點(diǎn)，按某一方向標(biāo)上刻度，只是其刻度還需要向相反方向標(biāo)．學(xué)生通過(guò)動(dòng)手做、動(dòng)腦想來(lái)認(rèn)識(shí)數(shù)軸的本質(zhì)特征，對(duì)原點(diǎn)的選定、方向和單位長(zhǎng)度的確定賦予了豐富的生活意義，對(duì)數(shù)軸概念的理解、數(shù)形結(jié)合思想的認(rèn)識(shí)也就比較深刻．又如:在講解“線段的比”這一概念時(shí)，筆者安排了以下幾個(gè)步驟:

(1)做一做．

在講授“線段的比”這一節(jié)課的前一天布置任務(wù):每人畫一幅平面示意圖:“我們的班級(jí)”或“我的小書房”．

(2)說(shuō)一說(shuō)．

在開始上課時(shí)，請(qǐng)部分學(xué)生在實(shí)物投影儀下展示自己畫的示意圖，說(shuō)說(shuō)自己是怎么畫的．

筆者提出問題:怎樣才能畫得更好(概念的引出水到渠成)．

在這個(gè)例子中，概念的獲得從課內(nèi)延伸到了課外，使學(xué)生有機(jī)會(huì)經(jīng)歷和體驗(yàn)數(shù)學(xué)知識(shí)的產(chǎn)生、形成過(guò)程．每位學(xué)生在畫圖時(shí)，還沒有學(xué)習(xí)“線段的比”這一內(nèi)容，因此會(huì)遇到一些困難，例如怎樣構(gòu)圖，如何刻畫物體與物體之間的位置關(guān)系，如何用圖形描述物體的大小等等，這些都具有一定的挑戰(zhàn)性，使得該學(xué)習(xí)活動(dòng)具有一定的思維容量，促使學(xué)生由生活經(jīng)驗(yàn)產(chǎn)生聯(lián)想．

2 從實(shí)踐活動(dòng)中理解概念

發(fā)揮實(shí)踐活動(dòng)在教學(xué)中的啟智功能．通過(guò)實(shí)踐活動(dòng)創(chuàng)設(shè)問題情景，以問題解決為主線，引導(dǎo)學(xué)生動(dòng)手操作、動(dòng)眼觀察、動(dòng)腦思考、動(dòng)口表達(dá)，促使學(xué)生多種感官并用，讓學(xué)生建立清晰的表象，進(jìn)行比較、分析、概括等一系列的思維活動(dòng)，進(jìn)而真正參與到知識(shí)形成和發(fā)展的全過(guò)程中來(lái)．

最近，筆者聽了一位教師的“一次函數(shù)”第一節(jié)課后，對(duì)數(shù)學(xué)概念教學(xué)感觸頗深．這節(jié)課是這樣安排的:

(1)活動(dòng)階段．

教師給出一組函數(shù)引導(dǎo)學(xué)生去觀察，找出它們的共性．例如:y=x+1，y= －x－1．

(2)探究階段．

讓學(xué)生提出這一組例子的共性假設(shè)，并依據(jù)這些假設(shè)檢驗(yàn)每一個(gè)例子．

(3)對(duì)象階段．

提出一個(gè)一般模式(由學(xué)生通過(guò)比較分析和概括歸納而得)y=kx+b(k≠0)，檢驗(yàn)是否每一個(gè)實(shí)例均屬于這一模式．

教師給出一次函數(shù)的定義，并對(duì)其進(jìn)行解釋，將這一函數(shù)表達(dá)式與學(xué)生已學(xué)過(guò)的正比例函數(shù)的概念聯(lián)系起來(lái)，這不僅可以說(shuō)明研究這個(gè)新函數(shù)的意義，而且還建立了函數(shù)概念的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)．

(4)運(yùn)用新概念解決問題．

①舉出正反例強(qiáng)化概念．

②舉例，練習(xí)．

顯然，這種概念的引入注重知識(shí)的形成方式，主要反映學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念過(guò)程中真實(shí)的思維活動(dòng)．其中，活動(dòng)階段是學(xué)生理解概念的一個(gè)必要條件，通過(guò)活動(dòng)讓學(xué)生親身體驗(yàn)、感受直觀背景和概念間的關(guān)系;探究階段是學(xué)生對(duì)活動(dòng)進(jìn)行思考，經(jīng)歷思維的內(nèi)化、概括過(guò)程，在頭腦中對(duì)活動(dòng)進(jìn)行描述和反思，抽象出概念所特有的性質(zhì);對(duì)象階段是通過(guò)前面的抽象認(rèn)識(shí)到概念的本質(zhì)，對(duì)其進(jìn)行壓縮并賦予形式化的定義及符號(hào)，使其精致化，成為一個(gè)思維中具體的對(duì)象，在以后的學(xué)習(xí)中以此為對(duì)象進(jìn)行新的活動(dòng);運(yùn)用新概念解決問題要經(jīng)過(guò)長(zhǎng)期的學(xué)習(xí)活動(dòng)進(jìn)一步完善，包含反映概念的特例、抽象過(guò)程、定義及符號(hào)，經(jīng)過(guò)學(xué)習(xí)建立起與其他概念、規(guī)則、圖形等的聯(lián)系，有利于訓(xùn)練學(xué)生的推理能力．

3 從新、舊知識(shí)的聯(lián)系中領(lǐng)悟概念

問題是數(shù)學(xué)活動(dòng)的心臟．將數(shù)學(xué)概念的形成過(guò)程、形式化的數(shù)學(xué)概念及一些相關(guān)的材料轉(zhuǎn)化為富有生活意義的問題，形成問題情境，從而把學(xué)生帶入問題中，在問題的探究中構(gòu)建概念的心理表征．筆者在實(shí)踐中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)概念的問題化通常有以下2種方式:

其一，把概念的生成過(guò)程問題化．一個(gè)概念是如何引進(jìn)的，必要性和重要性何在．一個(gè)概念生成過(guò)程中的諸問題往往也是區(qū)分概念的本質(zhì)特征與非本質(zhì)特征的關(guān)鍵所在．因此，在教學(xué)中應(yīng)盡可能把知識(shí)的發(fā)生過(guò)程轉(zhuǎn)化為一系列帶有探究性的問題．例如，在進(jìn)行“圓”概念的教學(xué)中，一位教師在與學(xué)生的交互活動(dòng)中，從“車輪是什么形狀的”［3］這一問題出發(fā)，引出如下一系列問題:為什么車輪都做成圓形的呢?能不能做成方形或橢圓形之類的?為什么橢圓形輪子的車開起來(lái)會(huì)一高一低，而圓形車輪的車子開起來(lái)就不會(huì)一高一低呢?做一個(gè)最簡(jiǎn)單的車輪，要注意哪些問題?把圓概念的生成過(guò)程問題化，通過(guò)對(duì)這些問題的探討，達(dá)到對(duì)圓的本質(zhì)屬性的理解．

其二，把形式化的材料轉(zhuǎn)化為蘊(yùn)藏概念本質(zhì)特征、貼近學(xué)生生活、適合學(xué)生探究的問題．例如，在一元二次方程概念的教學(xué)課上，教師提出如下3個(gè)問題:

問題1剪一塊面積為9 cm2的正方形紙片，應(yīng)該怎樣剪?

問題2剪一塊面積為150 cm2的長(zhǎng)方形紙片，使它的長(zhǎng)比寬多5 cm，應(yīng)該怎樣剪?

問題3用一塊正方形紙片，在4個(gè)角上截去4個(gè)相同的邊長(zhǎng)為2 cm的小正方形，然后把4邊折起來(lái)，做成一個(gè)沒有蓋的長(zhǎng)方形盒子．若盒子容積為32 cm2，則正方形紙板的邊長(zhǎng)應(yīng)是多少?

通過(guò)學(xué)生動(dòng)手操作，把學(xué)生引向探求方程的本質(zhì)——求解．通過(guò)動(dòng)手與動(dòng)腦相結(jié)合，把數(shù)學(xué)拉到學(xué)生身邊，使數(shù)學(xué)變得親切，激起學(xué)生探求的欲望:問題1即:已知方程x2=9，求x;問題2即:已知方程x(x+5)=150，求x;問題3即:已知方程2(x－4)2=32，求 x．

4 從數(shù)學(xué)實(shí)例中鞏固概念

概念通常包括4個(gè)方面:概念的名稱、定義、例子和屬性．概念的典型性范例在學(xué)生概念的形成、理解和記憶中起著極為重要的作用．認(rèn)知心理學(xué)家羅斯甚至認(rèn)為:記憶中的種種概念是以這些概念的具體例子來(lái)表示的，而不是以某些抽象的規(guī)則或一些相關(guān)特征來(lái)表示的．?dāng)?shù)學(xué)概念的概括性、抽象性需要概念的典型性范例作支撐，才易被學(xué)生所理解．例如，在學(xué)習(xí)“平面直角坐標(biāo)系”時(shí)，可設(shè)計(jì)如下變式題組:

圖1

又如學(xué)完四邊形之后，將四邊形、平行四邊形、矩形、菱形、正方形、梯形這些四邊形通過(guò)圖表的形式給以歸納整理出來(lái)，通過(guò)形成一個(gè)清晰的體系(如圖1，圖2)便于學(xué)生理解和掌握．

由于數(shù)學(xué)概念的種類繁多、關(guān)系復(fù)雜，其本質(zhì)屬性各有千秋，因此形成了較多的定義方式．可以說(shuō)，對(duì)于不同定義方式揭示其本質(zhì)屬性的數(shù)學(xué)概念，其教學(xué)的程序也不一樣．以上只是筆者感受到的一些比較實(shí)用的教學(xué)方法，并不一定放之四海而皆準(zhǔn)．因此，在教學(xué)實(shí)踐中，應(yīng)不斷加強(qiáng)教學(xué)研究、學(xué)術(shù)交流，不斷提高數(shù)學(xué)概念的教學(xué)質(zhì)量，從而提高數(shù)學(xué)素質(zhì)教育的質(zhì)量，也為學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)打下扎實(shí)的基礎(chǔ)．

綜合以上思考，筆者認(rèn)為，初中數(shù)學(xué)概念教學(xué)應(yīng)以數(shù)學(xué)知識(shí)為載體，結(jié)合教學(xué)大綱和計(jì)劃，按照啟發(fā)、吸收、消化和發(fā)展的認(rèn)識(shí)規(guī)律進(jìn)行總體策劃，分階段、有步驟地貫徹實(shí)施．同時(shí)，立足于教材的知識(shí)結(jié)構(gòu)和教學(xué)設(shè)計(jì)，不斷完善和豐富數(shù)學(xué)思想的理念和觀點(diǎn)，在數(shù)學(xué)知識(shí)與數(shù)學(xué)思想方法之間建立有機(jī)的結(jié)合，形成完整的系統(tǒng)．只有切實(shí)關(guān)注數(shù)學(xué)概念的過(guò)程性生成，才能真正體現(xiàn)出數(shù)學(xué)教學(xué)的本質(zhì)和內(nèi)涵．

［1］ 張奠宙，王振輝．關(guān)于數(shù)學(xué)的學(xué)術(shù)形態(tài)和教育形態(tài)［J］．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2010(4):2．

［2］ 嚴(yán)運(yùn)華．?dāng)?shù)學(xué)概念形成的問題情景創(chuàng)設(shè)［J］．教學(xué)與管理，2005(6):65．

［3］ 侯新順．淺談初中數(shù)學(xué)概念教學(xué)［J］．中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2008(12):26．