編制復合函數應慎重

●陸麗濱 (湖州市第二中學 浙江湖州 313000)

編制復合函數應慎重

●陸麗濱 (湖州市第二中學 浙江湖州 313000)

文獻［1］提出了一個貌似推理與幾何畫板沖突的問題，文獻［2］從導數的角度證明了理論的正確性．筆者發現:近年來眾多參考資料對復合函數試題的編制存在不少問題．復合函數在高中階段是一個不予詳細定義的數學概念(選修2-2中粗略地介紹了復合函數的定義)．而現行浙江教育出版社出版的高一各種參考資料、作業本中，依舊有不少例題、習題，涉及到用復合函數的觀點去分析和解決問題．筆者就最近看到的一些復合函數問題，通過分析發現，其中有很多與之相關的試題并不嚴密，本文就這些問題來一個“吹毛求疵”，以求此類命題能做得更加“完美”．

1 高中階段較為合適的復合函數定義

在人教A版選修2-2中，對復合函數的定義為:

定義1一般地，對于2個函數y=f(u)和u=g(x)，如果通過變量u，y可以表示成關于x的函數，那么稱這個函數為函數y=f(u)和u=g(x)的復合函數，記作 y=f［g(x)］．

注以上定義是不夠精細的，未指明內外函數中量的聯系．因此用下列定義作為高中復合函數的定義更為精確，這樣的定義為現在高中復合函數定義的一般共識，譬如文獻［3］、文獻［4］中提到的．它的特點是言簡意賅、通俗易懂，符合高中數學的教學要求，還容易被學生接受．

定義2設外函數y=f(u)的定義域為Df，內函數 u=φ(x)的值域為 Zφ．若 Df∩Zφ≠φ，則稱函數y=f［φ(x)］為x的復合函數(D表示定義域，Z均表示值域，如:Dfφ表示復合函數 y=f［φ(x)］的定義域)．

注不是任意2個函數都能進行復合．只有當Df∩Zφ≠φ時，2個函數才能進行復合運算．例如:y=f(u)=log3u，u=φ(x)= －2 －x2，可得 Df=(0，+∞)，Zφ=(－∞，－2］，Df∩Zφ=φ，因此 y=f［φ(x)］=log3(－2－x2)沒有意義．

2 復合函數試題編制須慎重

評析在文獻［2］中，選登1解答無誤，但其認為此函數不是復合函數．因為y=是一個復合函數除以另一個復合函數所構成的函數，不能表示成函數y=f［φ(x)］的形式，因此不是復合函數．筆者認為是不正確的．無論是從人教版選修2-2的定義還是我們共識的定義2來說，此函數都是復合函數．令:u=φ(x)=2－x，y=f(u)=logu(3－u)，可知 Df={u|0＜u＜3，u≠1}，Zφ=R．顯然，Df∩Zφ≠φ．由定義 2 得，f［φ(x)］=log(2－x)(x+1)是復合函數．

例2已知函數

(1)若函數f(2x)的定義域為［－1，1］，求函數f(x)的定義域;

(2)若函數 f(2x)的定義域為［1，2］，求函數f(log2x)的定義域．

評析(1)以下是參考資料上給出的“正解”:

由 －1≤x≤1，得

(2)本題來自文獻［5］，文獻［5］對此提出了質疑，文獻［6］和文獻［7］隨后對質疑進行了否定．通過例2第(2)小題可知，從f(2x)→f(x)→f(log2x)的第一步就是有疑問的，因此原題的答案是不確定的，文獻［5］的質疑是正確的．

3 總結

(1)從例1可知，在教學時需認清復合函數的概念．

(2)從例2、例3、例4可知，編制復合函數y=f［g(x)］，其定義域為 C={x|x∈Du，g(x)∈Df}．由此，若x∈C，則內函數值域 Zu={u|u=g(x)，x∈C}，顯然，Zu?Df，若 Df?Zu，則有 Zu=Df．對于例3，如果加條件f(x)的定義域是函數y=的值域的子集，那么原解就正確了．

對于沒有給出解析式的復合函數，已知其定義域，一般不能求出外函數的定義域．但是如果還滿足:復合前，外函數的定義域是內函數值域的子集，那么求出的內函數值域就是外函數的定義域．對于復合前，內函數的值域是R的復合函數，由復合函數的定義域求出的內函數值域必定是外函數的定義域．諸如f(kx+b)之類的復合函數．讀者不妨舉例一試．

(3)筆者認為，涉及到復合函數求外函數定義域的問題，學生的認識水平很不樂觀，缺乏對本質的深刻理解．出現這些狀況的主要原因在于方法上的不足以及與復合函數知識在教材中的設計設置有關．

(4)在編制復合函數題時，可參考《高中數學新課程標準》第48頁:能利用給出的基本初等函數的導數公式和導數的四則運算法則求簡單函數的導數，能求簡單的復合函數(僅限于形如f(ax+b))的導數．不宜人為拔高或超綱．

［1］ 秦顯明．幾何畫板與我們的推理起沖突［J］．數學通訊，2010(3):33．

［2］ 王兵權，梁東強，湯敬鵬，等．評析問題186［J］．數學通訊，2010(6):37-38．

［3］ 趙光耀．復合函數定義形式的討論［J］．北京工業職業技術學院學報，2004(1):85-88．

［4］ 湯敬鵬，湯先鍵．關于求f(x)的爭論綜述［J］．數學教學研究，2001(9):33-36．

［5］ 張國治．一道不容忽視的錯解［J］．中學生數學，2006(9):5．

［6］ 吳玉萍．“錯解”其實沒有錯［J］．中學生數學，2007(5):4．

［7］ 田富德．一道例題解答之我見［J］．中學生數學，2007(5):3．