對“再談梯形與不等式”一文的看法

443300 湖北省宜都市外國語學校 范 鴻

對“再談梯形與不等式”一文的看法

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文［1］中，作者對構造一個特殊梯形，直觀地解釋一組著名不等式，這種創造性的研究精神值得數學愛好者學習.筆者仔細研讀，覺得文［1］構造梯形以及求特殊線段的過程較繁瑣，并且分一個梯形為兩個相似梯形的線段MN是怎樣得到的沒有講清楚，只是表達了該線段的客觀存在性.筆者發現一個更好的方法去構造這個梯形，也容易求出相應的特殊線段，現提出來供大家交流.

1 構造梯形，求四條特殊線段

構造如圖1所示的梯形ABCD，Rt△ABF≌Rt△FCD，AB=CF=a，BF=CD=b，(b＞a).

這是我們再熟悉不過的直角梯形了，美國第二十任總統伽菲爾德(Garfield)曾經用這個梯形證明了著名的勾股定理，也正是通過圖1計算四條特殊線段，可以直觀地解釋這組著名不等式.

以O為圓心，OF為半徑作⊙O，與BC，CD分別交于點 E，K.連接 AE，ED，AK.

然后過點E作GE⊥BC，GE分別與AK，AD交于點Q，G，過點O作OH⊥BC于H.

文［1］中，如圖2的梯形GEHO中存在平行上下底的線段MN，使梯形EMNG與梯形MHON相似.

2 文［1］中的MN如何作出?

如圖3，以 EG和 OH的長之和為直徑作⊙T，過 EG和 OH的分點作直徑的垂線與⊙T相交，則垂足與交點之間的線段就是EG和OH的比例中項MN.

如圖4，為便于說清楚作圖的過程，將梯形GEHO從原圖中抽取出來.過E任作一條射線，在該射線上依次截取GE=EP，PW=MN(這里MN是圖3中的)，

連接WH，過P作PM∥WH交EH于M，過M作GE的平行線交GO于N，

這樣完成了在梯形GEHO中作出線段MN，它能使梯形EMNG與梯形MHON相似.

顯然，作圖的原理是平行線分線段成比例定理.

雖然如此，但筆者覺得上述這樣在梯形GEHO中作出MN還是挺麻煩的，需要好幾步才能完成.

3 對梯形中兩條線段的構成再改進

基于前面的認識，對在圖1梯形中構造調和平均值線段、幾何平均值線段再改進.

如圖5所示，連接圖1中梯形ABCD的對角線AC，BD交于點Q，過點 Q作GE⊥BC于E，交AD于點G.再以 H為圓心，以OH的長為半徑作圓，交EG的延長線于點R.因為“平行截相似”，所以有:

也就是說過梯形對角線交點且平行兩底，與兩腰相交得到的線段GE是上下底a，b的調和平均值.

由前面1所述，調和平均值線段GE的端點E能分直徑BC的兩段BE=AB=a，EC=CD=b，

可以看出，在圖5中這樣構造調和平均值線段GE、幾何平均值線段RE要比文［1］中構造GE，MN自然，簡單，可操作性強.

1 王凱旋.再談梯形與不等式［J］.中學數學，2011，3(下)

20110404)

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